Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть случайная точка (Х, у) подчинена нормальному закону в каноническом виде. Вероятность попадания точки (Х, 1') в область Р выражается интегралом х' зл Р((Х, У)~Р)= —,, / / л '" г Илгу. (9.5.1) " " 1о> В отдельных частных случаях (например, когда область Р есть прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, или эллипс рассеивания, а также в некоторых других, имеющих меньшее практическое значение) интеграл (9.5.1) может быть выражен через известные функции; в общем же случае этот интеграл через известные функции не выражается. На практике для вычисления Ю вероятности попадания в область произвольной формы применяются следующие приближенные способы.
1. Область Р приближенно за- меняется областью, составленной из л прямоугольников, стороны которых параллельны главным осям рассеиваРис. 9.5.1, ния (рис. 9.5.1). Вероятность по- падание в каждый из таких прямоугольников вычисляется по формуле (9.3.3). Этот способ можно рекомендовать тогда, когда число прямоугольников, це которые приближенно разбивается цель Р, не слишком велико. 2. Вся плоскость лОу с помощью некоторой системы линий (прямых или кривых) заранее разбивается на ряд ячеек, вероятности нож|дания в которые могут быть выражены точно через цззсшны, функции, и вычисляется вероятность попадания в каждую ячейку. Такая система линий с соответствующими ей вероятностями попадания в ячейки называется сеткой рассеивания.
Работа с сеткой заключается в том. что изображение сетки накладывается на изображение цели, после чего производится суммирование вероятностей попадания в ячейки, накрытые целью; если цель накрывает часть ячейки, то берется часть вероятности попадания в ячейку, пропорциональная накрытой площади. Сетку рассеивания можно применять двояким образом: а) строить цель в масштабе сетки, б) строить сетку в масштабе цели. да! ВеРОЯтнОсть попАПАниЯ В ОБлАсть пРОизВОльнОЙ ФОРмы 203 о о 0 О а о и а о 0 / о / о и о а 1 И 0 1 I 0 / / / / 0 ! / 1 ! ! / / а ! и 0 / / 1 0 г г г г г о а и 0 О 0 / / и 3 г / / бгг 3 3 3 О 0 О о о а а и О О / / ! / / г г 7 б ! ! ! ! О 0 0 0 l 0 0 0 ! О 7 б Х 7 б Б /О 9 9 !о !а /О 8 7 Б г ! о / И !О 8 7 б 0 ! О Н !! 9 8 7 9 8 7 ! а о 1 ! ! г г // и !а /а 'Рис, 9.5,2. обычно удобнее построить цель в масштабе сетки.
Так как стандартная сетка строится для кругового рассеивания, а на практике Рассеивание в общем случае круговым не является, при построении цели в масштабе сетки приходится в общем случае пользоваться двумя разными масштабами по осям Ох и Оу. При этом способе Удобно иметь в распоряжении сетку рассеивания. выполненную на прозрачной бумаге, и накладывать ее на перестроенное изображение цели. Прямолинейная сетка рассеивания для одного координатного У"ла дана на рис. 9.5,2. Сторона ячейки равна 0,М= 0,133о. Если цель имеет сложные очертания и, особенно, если она сравнительно невелика. бывает обычно удобнее построить на изображении цели в том же масштабе ту часть сетки, которая занята целью.
Если же цель имеет сравнительно простые очертания и довольно велика (занимает значительную часть полного эллипса рассеивания), 204 ногмлльнып закон влспгвдвлпния для снствмы ввлнчин игл. э В ячейках проставлены вероятности попадания в них, выраженные в сороковых долях процента. 3. В случае, когда размеры области О невелики по сравнению со средними квадратическими отклонениями (не превышают 0,5 — 1 с. к. о. в направлении соответствующих осей), вероятность попадания в эту область может быть приближенно вычислена по формуле, не содерха ф жащей операции интегрирования. рассмотрим на плоскости хОу 1 малую цель П произвольной формы ,'Уа (рис.
9.5.3). Допустим. что размеры втой цели невелики по сравнению с вероятными отклонениями Е, Е . л По общей формуле (8.3.3) имеем: Р((Х, У) П)= ~ У (х. у)галл 2Уу. (9.5.2) (о2 где У(х, у) — плотность распределения системы (Х, У). Применим к интегралу (9.5.2) теорему о среднем значении: )2((Х У)'=П)=У(ло уо)~ ) 22лг(у=у(ло уе)оп Ф) где (ла, Уэ) — некотоРаЯ точка внУтРи области 0; 8о — площадь области П.
В случае, когда система (Х, у) подчинена нормальному закону в каноническом виде, имеем: 2 2 'о тз 2ат 2а~ Р((Х, Г) 2=0)= — о. в " 2. (9.5.3) 2чааа' При сравнительно малых размерах области Р плотность распределения у (х. у) в пределах этой области изменяется мало и практически может быть принята постоянной. Тогда з качестве точки (ле, у ) можно з2~брать л1об) ю то:«; з пределах обласгн П (например, приблизительный центр цели). Формулы типа (9.5.3) широко применяются на практике. Для областей, наибольшие размеры которых не превышают 0,5 среднего квадратического отклонения в соответствующем направлении. они дают вполне приемлемые по точности результаты. В отдельных случаях их применяют и для более крупных областей (порядка одного с. к.
о.). Прн условии внесения некоторых поправок (а именно, замены величин а„, 2 несколько увеличенными значениями) область применимости этой формулы может быть расширена на области размером порядка лзух с, к, о. 2. Вероятность попадания в эллипсоид равной плотности Рассмотрим эллипсоид равной плотности В„, уравнение которого ха уа еа ьа' 2 а а ел ег Полуоси этого эллипсонда пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям: а=йе,; б=йаг; е=йе,. Пользуясь формулой (9.6.1) для У (х.
у. г), выразим вероятность Рас, 9.6Л, попадания в эллипсоид В» 1 (.с* у~ м т г г Р((Х. Ё. Л)~В„)= ч ) ~ ~ е т'" '" ахауае. (2и)я~алегчл У (в„) Перейдем от декартовых координат к полярным (сферическим) заменой переменных — = г соз 0 соз в, Х е» вЂ” =гсоз5з)пр, У е = г з1п 9. (9.6.5) 206 ногмальнын закон влспвиднлвння для снстимы ввлнчнн (гл. а Якобиан преобразования (9,6.5) равен: 7 = гзсозба„а а . Переходя к новым переменным. имеем: Р((Х, У, .с)~Вз)= 3 2 тк — / (' гтсоз бе ' ага~0 (2я) Интегрируя по частям, получим: гЗ Йр = 1// — (гте з Фг.
о е 'Нг 1 — $/ — „Ае ' ' (9.6.6) = 2Ф'(л)— 3. Вероятность попадания в цилиндрическую область с образующей, параллельной одной из главных осей рассеивания Рассмотрим цилиндрическую область С, образующая которой параллельна одной из главных осей рассеивания (например, оси Ох), а направляющая есть контур произвольной области О на плоскости хОу (рис. 9.6.2). Пусть область С ограничена двумя плоскостями е е и е = 'л.
Вычислим вероятность попадания в область С; это есть вероятность произведения двух событий, первое из которых состоит в попадании точки (Х, 1') в область О, а второе — в попадании величины Е на участок (е, т)). Тзк как величины (Х, У. Л). подчиненные нормальному закону в канонической форме, независимы, то незавпснмы н этн дза события. Поэтомт Р((Х, Р. г)сс)= =Р((Х.У) О)Р(.<гС 2)= =е ((Х,У1 О)Га*( ч ~ ф*(''Л, „ — Га,~ - 1а )1' (9.6.7) Рвс. 9.6.2. Вероятность Р((Х, г')~О) в формуле (9.6.7) может быть вычислена любым нз способов вычисления вероятности попадания в плоскую область. з.з1 ногмлльнын закон в пвоствлнствв тгех нзмвввнии 207 208 ногмлльныи закон елспгеделения длЯ системы Величин !Гл.
9 На формуле (9.6.7) основан следующий способ вычисления вероятности попадания в пространственную область О произвольной формы: область О приближенно разбивается на ряд цилиндрических областей О,, Ом ... (Рис. 9.6.3), и вероятность попадания в каждую Рис. 9.6.3, иэ них вычисляется по формуле (9.6.7). Для применения этого способа достаточно начертить ряд фигур, представляющих собой сечения области 0 плоскостями, параллельными одной иа координатных плоскостей, Вероятность попадания в каждую из них вычисляется по сетке рассеивания. В заключение данной главы напишем общее выражение для нормального закона в пространстве любого числа намерений и.
Плотность распределения такого закона имеет вид: л л — ~~~~ СИ (лз~мл )(л У(ХИ ХЗ..... Х„)= — ла (9.6.8) (2л) г где ~С~ — определитель матрицы С, С= ~(С,~(~ — матрица, обратная корреляционной матрице К, т. е. если корреляционная матрица К= Фц!!. то С.,=( — () ~.~ МИ Ц ~К!' где ~К~ — определитель корреляционной матрицы. а 8(И†иинор этого определителя.
получаемый из него вычеркиванием 1-й строки н У-го столбца. Заметим, что !С! = —. 1 !К!' Из обгцего выражения (9.6.8) вытекают все формы нормального закона для любого числа измерений н для любых видов зависимости между случайнымн величинами. В частности, при к=2 (рассеивание на плоскости) корреляционная матрица есть 2 а„ а„а г а2 У а„а г где г — коэффициент корреляции. Отсюда !С! = ,г г(1 2) ° !К! = агаг(1 — г') алг (1 — г') С= — г 1 аа (1 гг) аг(1 г) Подставляя определитель матрицы !С! и ее члены в (9.6.8), получим формулу (9.1.1) для нормального закона на плоскости, с которой мы начали и'9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
