Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ие-"'с(и= / ве-м'Ыя=0; / и'е-е'с(и = !о ! 3 О'Э ~ е-и'с1тв = Р к. Произведем в двойном интеграле '(9.1.6) замену псрсиеннык, положиьч 19! НОРМАЛЬНЫН ЗАКОН НА ПЛОСКОСТИ э.п имеем: у(ку Г=— «»а (9.1.8) К =ге,а; Таким образом, доказано, что параметр г в формуле (9.1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин Х и У. Предположим теперь, что случайные величины Х и У, подчиненные нормальному закону на плоскости, не коррелнрованы; положим в формуле (9.1.1) г =О. Получим: (» ~ к ) 2 ( у к у ) 1 ыя ъа Г(Х у) — Е к У (9.1.9) Легко убедиться, что случайные величины (Х. У), подчиненные закону распределения с плотностью (9.1.9), не только не коррели- рованы, но и независимы.
Действительно, (к-гк )2 к (у-а )2 у 1 2» 1 2а у(х, у)==а " — е У =у,(х)у (у), а )'2я ау )У 2к 2 У уу-а~ к-а ~2 » н)~ . У(У~к)= — . Е у к ауУ1 — Г2У2к ак У-1,2 У.,„я Проанализируем одни нз этих условкых законов распределения, напоинер у (у ! х). Для этого преобразуем выражение плотности у (у(х) к виду; )! у(у;'к)= е ' ' 'У~ т. е. плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, а это значит, что случайные величины (Х.
У) независимы. Таким образом, для системы случайных величин. подчиненных нормзльному закону, из некоррелированности величин вытекает также нх независимость. Термины «некоррелнрованные» и «независимые» вслич1щы для случая нормального распределения эквивалентны. При г=дО случайные величины (Х, У) зависимы. Нетрудно убелиться. вычисляя условные законы распределения по формулам (8.4.6), что 192 ногмлльнып закон гаспгвдвлкния для систвмы величин 1гл. э Очевидно, это есть плотность нормального закона с центром. рас- сеивания ау ту~ „=т +г — (х — т ) (9.1.10) з средним квадратическим отклоненйем а~„=а 'г1 — г. 2 у У (9.1.1 1) Формулы (9.1.10) н (9.1.11) показывают, что з условном законе распределения величины У при фиксированном значении Х=х от этого вначення зависит только математическое ожидание.
но не дисперсия. Величина ту~„называется условным математическим ожиданием величины У при данном х. Зависимость (9.1.10) можно нзобравить на плоскости хОу, откладывая условное математическое ожидание ту,„по осп ординат. Получится прямая, которая называется линией регрессии У на Х. Аналогично прямая а х=т +г — (у — т„) 'у (9. 1.12) есть линия регрессии Х на У.
Линии регрессии совпадают только при наличии линейной функциональной азвисимости У от Х. При независимых Х и У линии регрессии параллельны координатным осям. Рассматривая выражение (9.1.1) для плотности нормального распределения на плоскости, мы видим, что нормальный закон на плоскости полностью определяется заданием пяти параметров: двух координат центра рассеивания т„, т , двух средних каздратических отклонений а„, ау и одного коэффициента корреляции г. В свою очередь последние три параметра а„, а и г полностью определяются элементачч корреляцяонной матрицы: дисперсиями )у„., Е), и коореляционным моментом К „. Таким образом, минимальное количество числовых характеристик системы — математические ожидания, дисперсии н корреляционный момент — в случае, когда система подчинена нормальному закону, определяет собой полностью закон распределения, т, е.
образует исчерпыеиюг4ую систему характеристик. Так как на практике нормальный вакон весьма распространен, то очень часто для полной характеристики закона распределения системы оказываетса достаточно задать минимальное число — всего пять — числовых характеристик. ззй эллипсы РАссеивАния пРиВедВнив нОРмАльнОГО ВАкОнА 193 9.2. Эллипсы рассеивамия. Приведение иормальиого ввкопа к каноническому виду Рассмотрим поверхность распределения, изображающую функцию (9.1.1).
Она имеет вид холма, вершина которого находится над точкой (т„, т„) (рис, 9.2.1). В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными оси 7(х, у). получаются кривые, подобные нормальным кривым распределения. В сечении поверхности распределения плоскостямк. Параллельными плоскости хОу, получаются эллипсы.
Напишем уравнеиив проекции такого эллипса на плоскость хОу: (х — то) ' 2г (х — то) (у — ту) (у — ту)о + — сопз(. ох о ооу оу или. обозначая константу Лт, (х — та)о 2г (х то) (У вЂ” ту) (У вЂ” т )о + — Лз. (9.2.1) оооу оу Уравнение эллипса (9.2.1) можно проанализировать обычными методами аиалитической геометрии. Применяя их. убеждаемся. что центр эллипса (9.2.1) находится в точке с координатами (т„, ту); что касается иаправления осей симметрии эллипса, то они со- ~а~у/ стазляют с осью Ох углы. определяемые уравнением 19 2а = о У ').
(9,2.2) 0 х о~ — о у 1 Это уравнение дает два значеиия углов: а и ан разли- и чаюшиеся на —. 2' Таким образом, ориентация эллипса (9.2.1) относи- л тельно координатных осей находится з прямой зависи- Рис. 9.2.1, мости от коэффициента корреляции г системы (Х, у); если величниы ие коррелирозаны (т. е. в данном случае и иезависимы). то оси симметрии эллипса паралле зьиы координатиым осям; в противном случае они составляют с координатными осями некоторый угол. ') Обоснование формулы (9.2,2) другим способом см. в и' 14.7. 13 Е. С. Веооцоло 194 ногмлльнып закон васпэядялнния для сисгнмы внлнчнп !гл. э Пересекая поверхность распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, и проектируя сечения на плоскость хОу. мы полу- чим целое семейство подобных и одинаково расположенных вллипсов с общим центром (т„, т„).
Во всех точках каждого из таких эллип- сов плотность распределения У(х, у) постоянна. Поэтому такие эл- липсы называются эллипсами равной плотности или. короче. эллипсами рассеивания. Общие оси всех эллипсов рассеивания называются глазными осями рассеивания. Известно. что уравнение эллипса принимает наиболее простой, так называемый «канонический» внд.
если координатные оси совпа- дают с осями симметрии эллипса. Для того чтобы привести уравне- ние вллипса рассеивания к каноническому виду, достаточно перенести начало координат в точку (т„. т ) и повернуть координатные осн на угол и, определяемый уравнением (9.2.2). При этом координатные оси совпадут с главными осями рассеивания, и нормальный закон на плоскости преобразуется к так называемому «каноническому» виду. Каноническая форма нормального закона на плоскости имеет вид: и ч~ 1 гр гаг УД я)= — е ! ч, 2ек еч где им и — так называемые главные средние квадратические отклонения. т. е. средние квадратические отклонения случайных величин (Е, Н), представляющих собой координаты случайной точки в системе координат, определяемой главными осями рассеивания ОЬ Оч.
Главные средние квадратпческие отклонения ае н и выражаются через средние квадратические отклонения в прежней системе координат формулами: ег =из созга+ ге е з!п2а+ег з!пги, ~ Е к ку У !) аз =из з1пги — ги и з!п2и+ег созга. ~ к кг У Обычно, рассматривая нормальный закон на плоскости. стараются заранее выбрать координатные оси Ох, Оу так, чтобы они совпали глас:и::..и осами рассеивания. При стон средние кзалратпч скг. отклонения по осям а„. а и булут главными средними квадратическкми отклонениями, и нормальный закон будет иметь вид: А~ „г(х, у)= — е к т. 1 гг гг (9.2.
б) 2«чкчг В некоторых слу аях координатные оси выбирают пзраллельно главным осям рассеивания, но начало коордкнат с центром рассеива- ') Вывод етых формул см. в главе 14, и' 14.7. эллипсы вассеивлния. пгиведенив новмлльного закона 195 ния не совмещают. Прн этом случайные величины (Х, у) также оказываются независимыми, но выражение нормального закона имеет вид: (к-е )«(у-е )« 1 2«г гог у(х.
у) = — е (9.2,6) 2«'««у Еу = р р'2 е, Е,=р )l2 е„; Величины Е„, Е называются главными вероятными отклонениями. Подставляя выражения е„, е через Е, Е„в уравнение (9.2.5), по лучим другую каноническую форму нормального закона: ж у1 -Р' — +— у ег ег У(х у)= " ° «Е»Еу В такой форме нормальный закон часто применяется в теории стрельбы.
Напишем уравнение эллипса рассеивания в каноническом виде: х« у« х' у« — + — = йг или — + — = 1, (9.2.8) (л«)~ (л«)а где й †постоянн число. Из уравнения видно, что полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям (а значит, н главным вероятным отклонениям). Назовем «единичным» эллипсом рассеивания тот из эллипсов равной плотности вероятности, полуоси которого равны главным средним квадратическим отклонениям е„ е . (Если пользоваться тическими, а главными вероятными отклонениями, то естественно будет назвать «единичным» тот эллипс. полуоси которого равны Е, Е:) Кроме единичного эллипса рассеквания иногда рассматривают еше «полный» эллипс рассеивания, под которым понимают тот из эллипсов равной плотности вероятности, в который с практической достоверностью укладывается все рассеивание. Размеры этого эллипса, разумеется, зависят от того, что понимать под «практической достоверностью».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
