Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ск Пример 1. На плоскости задан отрезок дли- ны ? (рис. 10.1.1), вращающийся случайным образом [ так, что зсе направления его одинаково вероятны. Отрезок проектируется на неподвижную ось АВ. Определить среднее значение длины иноекцин огрезка. Р е ш е н и е. Длина ороекцин равна: С? ) =?]созе], Рие 10,1,1, где Угол а — слУчайнаЯ величина, РаспРеделеннаЯ с равномерной плотностью на участке 0,2и. По формуле (10.1.5) имеем: 2с 2 сЬ 2? l' 21 щ = М [1! соз О '] = ~ Н сс 2 ' 1 — — 1 ссз О Оса = — ж 0 63?К ,/ ' '2и з е тзл1 ылтвылтичвскон ожидании оинкции диспврсия оинкции 215 Пример 2.
Удлиненный осколок скаряда, который можно схемзтически изобразить отрезком длины й летит, вращаясь вокруг центра массы таким образом, что все его ориентации в пространстве одинаково вероятны. На своем пути осколок встречает плоский экран, перпендикулярный к направлению его движения, и оставляет в нем пробоину.
Найти математическое ожиданяе длины этой пробоины. Решение. Прежде всего дадим математическую формулировку утвер- Т ждения, заключающегося в том, что «все ориентации осколка в простран- г Р стве одинаково вероятны». Направление отрезка 1 будем характеризовать единичным вектором г (рис. 10.1.2). В Направление вектора г в сферической системе координат,свнзаиной с плоскостью Р, иа которую производится проектирование, определяется двумя углами: углом О, лежащим в плоскости Р, и углом т, лежащим в плоскости, перпендикулярной к Р. При равной вгрзятиости всех направлений вектора г все положения его конца на поверхности сферы единичного радиуса С должны обладать одинаковой плотностью вероятности; следовательно, элемент вероятности У(0 0)ВО "т, где У(0, т) — плотность распределения углов 6, т, должен быть пропорционален элементарной площадке Из на сфере С; эта элементарная площадка равна дз = ФО гГО соз у, онсуда у(0 т) НОВО АсозуФОду; у(0, т) =Асов у, где А — коэффициент пропорциональности.
Значение коэффициента А найдем из соотношения ~ ~ У(0,0)абдт-1, о а А= —. 1 Оя ' Таким образом, плотность распределения углов 6, р выражается формулой 1 0 0<0<2я, У(0, О) = — соз О при ~ я (10,1.15) Оя — < у < —. 2 2' Спроектируем отрезок на плоскость Р; длина проекции равна: 1' *1созу. 216 числОВые хАРАктеРистики Функигги случАиных Величин !Гл. !з Рассматривая )' как функцию двук аргументов 6 и 7 и применяя формулу (10.1.7), получим: 2% 2 2 (' Р уп и = М [1 сов р] = — [ г(6 ~ созз Р !ту — ~ созз 6 гГР— щ 0 73бй г 4я,/,) 2 4 э Х = 8 ~ соз ( 2 — 7) ~ = 8 ! з!н 6 [, а средняя площадь проекции и = М [8 ! з! и Е [[ то 2 8 7' 8 — л!6 соя у[э!пр[ЕР 4и,/,/ 2 ' З о 2 Таким образом, средняя площадь проекции произвольно ориентированной плоской фигуры на неподвижную плоскость равна половине плошади этой фигуры.
Рис. 108.3. Пример 4. В процессе слежения радиолокатором за определенным объектом пятно, изображающее объент, все время удери)ивается в пределах экрана. Экран представляет собой круг К радиуса Я. Пятно занимает нз экране случайное положение с постоянной плотностью вероятности. Найти среднее расстояние от пятна до центра экрана. Р с ш с н не. Обозначая расстояние О имеем П =)' Хг-! Г', .дс 1 Х, г — ноординаты пятнж /(х, у) = — в пределах круга К и равна нулю я)72 зз его пределами. Применяя формулу (10.1.7) и переходя в нн!ограде к полярным координатам, имеем: то Н и = — ! 1 )гхз -[- уз Их ггу = — 7 Пэ [ гэ П вЂ” )7.
и)7'./ ./ = я)7 /,/ 3 !х! о о Пример 5. Надежность (вероятность безотказной работы) технического устоойства есть опретелеиизя функция р(х, 1; х) трех парзметроэ, характеризующих работу регулятора. Параметры Х, у, Х представляют собой случайные величины с известной плотностью распределения у (х, у, 2). Танин образом, средняя длина пробоины, оставляемой осколком в экране, равна 0,735 длины осколка. П р и и е р 3.
Плоская фигура площади 8 беспорядочно вращаетсв в пространстве так, что все ориентации втой фигуры одинаково вероятны. Найти среднюю площадь проекции фигуры 8 на неподвижную плоскость Р (рис. 10.1.3). Решение. Направление плосностн фигуры 8 в пространстве будем характеризовать направлением нормали )!7 к этой плоскости. О плоскостью Р свяжем ту же сферичесную систему координат, что в предыдущем примере. Направление пормалк К к площадке 8 характеризуется случайными углами 6 и Р, распределенными с плотностью (10.1.5). Плолг щадь Х проекции фигуры 8 на плоскость Р равна 2а.ц математическое ожидание эвикции. дисперсия отнкции 217 Найти среднее значение (математическое ожидание) надежности устройства и среднее квадратическое отклонение, характеризующее ее устойчивость. Р е ш е н и е.
Надежность устройства р(Х, У, 2) есть функция трек случайных величин (нараметров) Х, у, Е. Ее среднее значение (математическое ожидание) найдется по формуле (1О;1.8): тр — — М [р(Х, У,2)] / / / р(х, у, г)У(х, у, г) Пхкудг. (10.1.16) По формуле (10.1.14) имеем: 7)р = 72 [р (Х, 1; 2)] = Ц / [р (х, у, г)] У (х, у, г) Лх Ыу Дг — жз Формула (10.1.16). выражающая срелнюю (полную) вероятность безотказноя работы устройства с учетом случайных величин, от которых зависит эта вероятность в каждом конкретном случае, иредставлает собой частный случай так называемой имтеграланой формулы аолнод зероллтнвгши, обобщающей обычную формулу полной вероятности на случаи бесконечного (несчетного) числа гипотез. Выведем здесь эту формулу в общем виде.
Предположим, что опыт, в котором может появиться или не появиться интересующее нас событие А, протекает в случайных, заранее неизвестных условиях. Пусть эти условия характеризуются непрерывными случайными величинами Хи Хг,..., Хв (10.1.17) плотность распределения которых у(хп ха, .... х„). Вероятность Рл появления события А есть некоторая функция случайных величин (10.1.17): Р„(Хн Хт, ..., Х„).
(1О. 1. 18) Нач нтжнт . 28ти сретнее значение этой вероятности или, другпмц словами, полную вероятность события А: Рл = М [Рл (Х,. Хе..., Хр)[. Применяя формулу (10.1.8) для математического ожидания функции, найдем: / ' ' ' ~ РА(Х! Х2' ' ' '' Х ) у (ХН Х2, *... Хв) вхтт)Х2 ... т'Хч (10.1.10) 218 числовыв хавзктввистики атнкцип слтчаиных наличны (гл, 1з формула (10.1.19) называется интегральной формулой полной вероятности.
Нетрудно заметить, что по своей структуре она сходна с формулой полной вероятности, если заменить дискретный ряд ги- потез непрерывной гаммой, сумму — интегралом, вероятность гипо- тезы — элементом вероятностиг у(х,, хг, ..., х„)дх,йх ... аВХ„, а условную вероятность события при данной гипотезе — условной вероятностью события при фиксированных значениях случайных ве- личин; Рл (х,, хз, ..., х„). Не менее часто, чем интегральной формулой полной вероятности, пользуются интегральной формулой полного математического ожидания. Эта формула выражает среднее (полное) математическое ожидание случайной величины Л, значение которой принимается в опыте, условии которого заранее неизвестны (случайны).
Если зтн условия характериауются непрерывными случайными величинами Х, Х, ..., Х„ с плотностью распределения у (Х1. хз, ..., х„), а математическое ожидание величины Л есть функция от величин Х1 Хг т,(Хн Хг...., Х„). то полное математическое ожилание величины Х вычисляется по формуле тз(Х1 ° Х2, Хз)4 (Х1, Х2, ' ' ' ° Хл) 4 Х14 Хг 44ХВ, (10.1. 20) которая называется интегральной формулой полного математического ожидания. П р я и е р 6.
Математическое ожидание расстояния В, на котором будет обнаружен объект с помощью четырех радиолокационных станции, зззнснт от некоторых технических параметров зтнх станций: Х,, Х,, Хь Х„ которые представляют собой независимые случайные величины с плотностью распределения У (х4, хз хз х4) У1 (ХВ) 444 (хз) 444 (хв) з 4 (х ). При фиксированных значениях параметров Х, =ко Х,=х„ХВ ХВ, Х4 — — х, мзтсмгаичесзое ожидание дальности обнаружения рвано т (х1 хз хз х4) теовемы о числовых хАРАктеРистикАх 219 4зл1 Найти среднее (полное) математическое ожидание дальности обнаружения.
Решение. По формуле (10.1.20) имеем: и ,[,[ ~~ гво («г «з' «з' «4) уг («г) уз («з) уз («з) 14 («4) л«ь л«4 л«з л«4. 10.2. Теоремы о числовых характеристиках В предыдущем и' мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
