Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 40
Текст из файла (страница 40)
227 ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 10.21 Так как величины Х, У независимы. щ,=щ„щ„и В [ХА[ = М [(Хà — щ„щ )т] = М [ХТУХ] — 2щ„щ М [ХУ]+щтщз. При неаависимых Х, У величины Хт. Уз тоже независимы'); следовательно, М [Х У ] = М [Х ] М Р ]. М [Х'у'] = щ щ (10.2.22) гг [ХУ] — М [Хз] М [» г] щзщз Но М [Ха] есть не что иное.
как второй начальный момент величины Х, и, следовательно, выражается через дисперсию: М [Хт] = су [Х]+ щт; аналогично М [У ] =В [У]+щ' Подставляя зти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21). В случае, когда перемножаются нентрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид: 0 [ХГ] = 1) [Х] О [У], (10.2.23) т.
е. дисперсия произведения независилсых ценщрарованных случайных величин равна произведению их дисперсий; 11. Высшие моменты суммы случайных величин В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения. 1) Если величины Х, Г независимы, то ["з [Х-т- ~] = рз [Х]+ 11з [1']. (10.2.24) Доказательство. Р,[Х+ у]=М[(Х+ у — щ„— щ,)з]= М [ [(Х щл) + (У щу)) =М [(Х вЂ” щ„)'1+ЗМ 1(Х вЂ” щ )з(Р— щ )] [ +ЗМ[(Хщл)()щу)1+11[(1в1) ') Можно доказать, что любые функции от независимых случайных величин также независимы.
1ба 228 числОВые хАРАктеРистики Функции случАйных Величин [гл. ш (10.2. 26) 12. Сложение некорре лир ов анны х случайных векторов Рассмотрим на плоскости ЛОу два некоррелированных случайных вектора: вектор )г2 с составляющими(Х,, У,) и вехтор Уз с составляющими (Х2, У2) (рнс. 10.2.1). Рассмотрим их векторную сумму: 1 1+1 2' т. е, вектор с составляющими: Х=Х,+Х, У =У,+Уз лу Ая Рис. 10.2.1. Требуется определить числовые характеристики случайного Ъ" — МатЕМатнЧЕСКИЕ Ожндаинятл.,аг. днСПЕРСИИ И КОррЕЛямомент составляющих: Р„. )'.)„, К „.
Вектора ционный откуда по теореме умножения математических ожиданий Рз !Х'+ У! = 1"з !Х!+ З)ьз !Х! рч !У1+ Зря !У! Р2 !Х!+ )ьз !1 ! Но первый центральный момент )ь, для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана. Соотношение (1 0.2.24) методом индукции легко обобшаегся на произвольное число независимых слагаемых: л 1 л (10.2.25) 2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой Ра !х+ У! =Ра !х1+Уч)У!+ 60 Ог, где с)„ 1) — дисперсии величин Х и У. Доказательство совершенно аналогично предыдущему. Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых: Аналогичные соотношения в случае необходимости легко вывести и для моментов более высоких порядков.
229 ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 20Л] По теореме сложения математических ожиданий к к+ к' Л2„=аг +Лг . По теореме сложения дисперсий А) Пк -+Пк, Докажем, что корреляционные моменты также складываются: К„=К,Л+К,„, (10.2. 28) где К, К вЂ” корреляционные моменты составляющих каждого нз кжр коз векторов У2 и Уа. Доказательство. По определению корреляционного момента: К„= М (ХУ1 = М 1(Х, + Х ) (У, + УД) = = М (Х,1',1+ М (ХТУ,)+ М (Х,У21+ М (ХТУ21. (10.2,29) Так как векторы Ун У2 некоррелированны, то два средних члена в формуле (10.2.29) равны нулю; два оставшихся члена представляют собой К„ и К„ : формула (10.2.28) доказана. формулу (10.2.28) иногда называют «теоремой сложения корре- ляционных моментов». Теорема легко обобщается на произвольное число слагаемых.
Если имеется две некоррелированные системы случайных величин, т. е. два и-мерных случайных вектора: Х с составляющими ХР Хт, ..., Хл, У с составляющими УР У,, ..., Рл, то их векторная сумма Л=Х+У имеет корреляционную матрицу. злемеиты которой получаются суммированием злементов корреляционных матриц слагаемых: К' =К',>'+К';7, (10.2.30) где К,У, Кгг, К22 обозначают соответственно корреляционные мо(к1 С > Э> менты величин (Уо ЛУ); (ХР Х;), (УР У;).
Формула (!0.2.30) справедлива как при (=/. так и при 1+/. Действительно, Составлявшие зектооа к. равны: л,=Х,+ У~," Е,=Х,+У, ~л Хл+1 л По теореме сложения дисперсий 1),, =В„,+П,, или в других обозначениях К(;) К(к() + К((У)) По теореме сложения корреляционных моментов при 1~/ К~~) К(к) + К(У) В математике суммой двух матриц называется матрица, элементы которой получены сложением соответствующих элементов этих матриц. Польауясь этой терминологией.
можно сказать, что корреляционная матрица суммы двух кекоррелироваккых случайных векторов равна сумме корреляционных матриц слагаемых: ~!К6~~ = ~~КЙ+ ~|КЮ~~. (10.2.31) Это правило по аналогии с предыдущими можно назвать «теоремой сложения корреляционных матриц». 10.3. Применении теорем о числовых характеристиках В данном и' мы продемонстрируем применение аппарата числовых характеристик к решению ряда задач.
Некоторые из этих задач имеют самостоятельное теоретическое значение и найдут применение в дальнейшем. Другие задачи носят характер примеров и приводятся для иллюстрации выведенных общих формул на конкретном цифровом материале. Задача 1. Коэффициент корреляции линейно аави сии ых случайных величин. Доказать, что если случайные величины Х и»' связаны линейной функциональной зависимостью »к =аХ+д, то нх коэффициент корреляции равен+1 или — 1, смотря по знаку коэффициента а, Решение. Имеем: Ккт М(Х~»=(»»НХ тк)(» тг)1 Аеыы )( Х ~ д ат 3)» — иЯ((Х т )г] — а»т, где (к †дисперс величины Х. Для коэффициента корреляции кисеи выражение: Кку Г кт «к« (10.3.1) 230 числОВые хАРАктеРистики ФУнкций слУчАЙных Величин (гл, !е жуй пуименвния твопвм о числовых хлалхтеаистнкаи 231 Для определения ау найдем дисперсию величины У: О =О(аХ+Ь! =аЧ)„. „= 1а~ Подставляя в формулу (10.3.1), имеем: аВ а г лу у 1а1а„ (а( а Величина — равна +1, когда а положительно.
и — 1, когда а от1а! рицательно, что и требовалось докиать, Задача 2. Границы козффициента корреляции. Доказать, что для любых слу- чайных величин 1глу! ~~ 1' Реги ение. Рассмотрим слу- чайную величину." Я=а Х+а„У, где а, а — средние квадратиче- ские отклонения величин Х, У. Определим дисперсию величины Е. По формуле (!0.2.13) имеем: 2 2 Оа ауРл+ а,йу + 2алауКгу, чЯ У/ или Рне. 10.3.1. 2 я+ Оа = 2а.ау+ 2а„ауК„у.
Так как дисперсия любой случайной величины не может быть отрицательна, то 2а'„а„+ 2а,ауКлу )~ О. а„а,+К )~0, 1К !<а ау, или откуда слсловатсльнс 1г )(1, что и требовалось доказать. Задача 3. Проектирование случайной точки на пйоскоГл'и нз ппоизвольиню чпямаю Дана случайная точка на плоскости с координатами (Х, у) (рис. 10.3.1). Спроектируем эту точку на ось Оз, проведенную через начало координат под углом а к оси Ох. Проекция точки (Х, У) на ось Оз также есть случайная точка; ее расстояние Л от начала координат есть случайная величина. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию величины Л.
232 числовые хлвактегистики егнкции слгчаииых величин !гл. и Решение. Имеем: л =Х сова+?'з!па. Так как с есть линейная функция аргументов Х и Г. то ят, = ил соз а+ тт з!и а; О,=1) созга+1) з!пта+2К „з!пасоза= =О„созза+1) з1пта+К„„з!п2а, где йт, П„, К вЂ” дисперсии и корреляционный момент величин (Х, У). Переходя к средним квадратическим отклонениям, получим: от=от созга+ага!пта+г о о и!п2а. (10.3.2) В случае некоррелированных случайных величин (при г„„=О) от =аз созга+о„' з!пта. (10.3.3) Задача 4.
Математическое ожидание числа появлений события при нескольких опытах. Производится л опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления события А в 1-м опыте равна ро Найти математическое ожидание числа появлений события. Р е ш е н и е. Рассмотрим прерывную случайную величину Х— число появлений события во всей серии опытов. Очевидно, Х=Х,+Х,+ ... +Х„, где Х,— число появлений события в первом опыте, Хз †чис появлениЯ события во втором опыте, Х„ — число появлений события в и-и опыте. или, короче, Х= ХХн ! ! гд. Л,— число появлений событна з .'-и опыта'). Каждая из величин Х, есть прерывная случайная величина с двумя возможными значениями: 0 и 1, Ряд распределения величины Х, ииеет вид: (10.3.4) где о, = 1 — р, — вероятность непоявления событяч А в Г-и опыте. ') Иначе — характеристическая случайная величина события А в ~'-м опыте.
233 поимвиения теооем О числОВых хАРАктеРистикАх По теореме сложения математических ожиданий т,=м(Х1= Хт„, ь=ь "с зь.з1 (1О.3. 5) где т — математическое ожидание величины Хо Вычислим математическое ожидание величины ХР По определению математического ожидания ти, = 0 ' Рс + 1 ' Р ь = Ри Подставлия это выражение в формулу (10.3.5). имеем и те= Хрг (10.3.6) Рг = Рз = ° ° ° = Ри = Р формула (10.3.5) принимает вид (10.3.7) т =пр. Так как теорема сложения математических ожиданий применима к любым случайным величинам — как зависимым, так и независимым. формулы (10.3.6) и (10.3.7) применимы к любым опытам — зависимым и независимым.
Выведенная теорема часто применяется в теории стрельбы. когда требуется найти среднее число попаданий при нескольких выстрелах — зависимых или независимых. Математическое ожидание числа попаданий при нескольких выстрелах равно сумме веронтностей попадания при отдельных выстрелах. Задача 5. А(ясперс ия числа появлений события при нескольких независимых опытах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
