Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Имеем: 7 (и,иг„ = 1) = . [(и!и!„ = — 1)(иг„и„, =- 1)) + + Р((иги! = 1) (Угь!Ун~ = — 1)) = 2рр. 250 числОВые ХАРАктеРистики Функции случАииых Величии [Гл. !е и, следовательно, Аии =(Р и) и!и!ли Таким образом, корреляционная матрица системы случайных величин Уг, Ут " Уи будет иметь вид: 1 р — и (р — и)т ..
(р е)и-! Ч ° ° (р Ч)и 1, (р т)и-3 ~Хи!и) ~ Дисперсия случайной величины Хи будет равна: Р [Хи]= ~~~ Р [У!]+2 ~Ч~' КЧ„=и+2 ~~ (Р д)1-! т=! г<! "Рl г</ или же, производя суммирование злементов, стоящих на одном расстоянии от главной диагонали, и — 1 Р [Хи] = в+2 ~' (л — А) (р,у)а. а=! П р и м е р 18. Найти асимметрию биномиального распределения Р(Х= гл) = С~р~(!~ ~ (и = 1 — р). (10,3.32) Решение. Известно, что биномиальное распределение (10.3.32) представляет собой распределение чиала появлений в л независимых опытах некоторого события. которое в одном опыте имеет вероятность р. Представим сз) юйн»о вели пе!у Х вЂ” чис,то появлений события и и опытах — как сулгну л случайных величин: Х= ХХь г=! где ' 1, если в г-м опыта событие поивилось, Х! = О, если в 1-м опыте событие не появилось.
По теореме сложения третьих центральных моментов Р! [Х]= ~Ч" Рт[Хг]. (10.3.33) Таким образом, величина У!У!Фи имеет два возможных значения +1 и — 1, которые она принимает с вероятностями соответственно рт+!ут и 2ре. Ее математическое ожидание равно: К =и[У,У ]=р +д 2ре=(р — р)и !"т+! ! г+т Легко доказать по индукции, что длн любого расстояния А между ша- гами в ряду Уь Ут, ..., Уи справедливы формулы: Р(У,У„в=1)=ра+Слра-ай!+С,'ра-'Ч' [ ..., Р(У!У!+а- — 1) = С'„р" 'д+С',р' 'д'+ ..., Т0.31 НРименения теОРем О числОВых хАРАктеРистикАх 251 Найдем третий центральный момент случайной величины Хг. Она имсет ряд распределения 9]1 р]р Третий центральный момент величины Хг равен: (9 — р)3 р+ (1 — р)3 р = — рхр+ игр = ру (д — р).
Подставляя в (10.3.33), получим: Рз [Х) = ~~', ргу(о — р) = пру(д — р). 1=1 Чтобы получить асимметрию, нужно разделить третий центральный мо- мент величины Х на куб среднего квадратического отклонения: нрр(р-р) р-р ЯА= (прв) з П р и м е р 19. Имеется и положительных, одинаково распределенных независимых случайных величин: ХР Х„..., Хге Найти математическое ожидание случайной величины Хг Х,+Х+ ... +Х Решение. Ясно, что математическое ожидание величины Уг суще- ствует, так как оиа заключена между нулем и единицей. Кроме того, легко видеть, что запои распределения системы величин (ХР Х,, ..., Х„), каков бы он ни был, симметричен относительно своих переменных, т. е.
не меняется при любой их перестановке. Рассмотрим случайные величины: Хг Хз ~х,-г,х-... х.х,' '= х,х.х,х....-гх,'"' Х„ х "~х,+х,.>'„, Очевидно, их закон распределения тоже должен обладать свойством сим- метрии, т. е. не меняться при замена одного аргумента любым другим и наоборот. Отсюдз, в частности, вытекает, что М[2г]=М[Уз]= ... =М[2я]. Вместе с тем нам известно, что в сумме случайные величины Хг, 2„..., ря образуют единицу.
следовательно, по теореме сложения математических ожиданий, М[Ъ]+М[Х]+ ... +М[Х ]=М [1]=1, откуда М[Р] И[К] М[т ] 1 ГЛАВА 11 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ 1!.1. Метод линеарнзации функций случайных аргументов В предыдущей главе мы познакомились с весьма удобным математическим аппаратом теории вероятностей — с аппаратом числовых характеристик. Этот аппарат во многих случаях позволяет находить числовые характеристики функций случайных величин (в первую очередь — математическое ожидание и дисперсИю) по числовым характеристикам аргументов, оставляя совершенно в стороне законы распределения. Такие методы непосредственного определения числовых характеристик применимы главным образом к ли н е й н ы м функциям.
На практике очень часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя и не является строго линейной. Ио практически мало отличается от линейной и при решении задачи может быть приближенно заменена линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах случайные изменения фигурирующих В иих величин выступают как незначительные «погрешности», накладывающиеся на основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов, оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных изменений. Действительно.
иэ математики известно, что любая непрерывная дпфференцируемая функция в достаточно узких пределах изменения аргументов может быть приближенно заменена линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом. тем меньше. чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной. Если область практически возможных значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций.
Зная числовые характеристики аргументов, можно будет нанти числовые характеристики фучкои», Конечно, при этом мы получим лишь приближен- ы.е1 лнннлвизация етнкцин одного слячаиного лэггмянтл 253 ное решение задачи, но в большинстве случаев точного решения и не требуется. При решении практических задач, в которых случайные факторы сказываются в виде незначительных возмущений, налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда оказывается возможной именно в силу малости случайных возмущений.
Рассмотрим, например, задачу внешней баллистики о движении центра массы снаряда. Дальность полета снаряда Х определяется как некоторая функция условий стрельбы — угла бросания Ое, начальной скорости пе и баллистического коэффициента с: Х=<р(8е, пе, с). (1 1.1.1) Функция (11.1.1) нелинейна, если рассматривать ее на всем диапазоне изменения аргументов.
Поэтому, когда речь идет о решении основной задачи внешней баллистики, функция (11.1.1) выступает как нелинейная и никакой лннеаризации не подлежит. Однако есть задачи, в которых такие функции линеаризуются; это — задачи, связанные с исследованием ош и бок или п о гр е ш но степ. Пусть нас интересует случайная ошибка в дальности полета снаряда Х, связанмая с наличием ряда случайных факторов: неточностью установки угла 8е, колебаниями ствола при выстреле, баллистической неоднородностью снарядов, различными весами зарядов и т. д. Тогда мы зафиксируем определенные номинальные условия стрельбы и будем рассматривать случайные отклонения от этих условий.
Диапазон таких случайных изменений, как правило, невелик, и функция р, не будучи линейной во всей области изменения своих аргументов, может быть линеаризована в малой области их случайных изменений. Метод линеаризации функций, зависящих от случайных аргументов. находит самое широкое применение в различных областях техники. Очень часто, получив решение задачи обычными методамн «точных наук», желательно оценить возможные погрешности в этом решении, связанные с влиянием не учтенных при решении задачи случайных факторов.
В этом случае, как правило, задача оценки погрешности успешно решается методом линеаризации, так как случайные изменения фнгурнруюгинх в задаче величин обычно невелики. Если бы это было не так, и случайные изменения аргументов выходили за пределы области примерной линейности функций, следовало бы считать техническое решение неудовлетворительным, так как оно содержало бы слишком большой элемент неопрелеленности.
11,2. Линеарнзация функции одного случайного аргумента На практике необходимость в линеаризации функции одного случайного аргумента встречается сравнительно редко: обычно приходится учитывать совокупное влияние нескольких случайных факторов.
Опизко из методических соображение удобно начать с этого накболее ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ !гл. и простого случая. Пусть имеется случайная величина Х и известны ее числовые характеристики: математическое ожидание т„ и дисперсия О,. Дойустим, что практически возможные значения случайной величины Х ограничены пределами а, р, т. е.
Р(а < Х р) ж 1. Имеется другая случайная величина У, связанная с Х функциональной зависимостью: Ур р(Х)') (11.2.!) причем функция р хотя ке является линейной, но мало отличается от линейной на участке (а, р). Требуется найти числовые характеристики величины У вЂ” математическое ожидание тт ц дисперсию В . Рассмотрим кривую у = р(х) иа участке (а, р) (рнс. 11.2.!) н заменим ее приближенно касательной, проведенной в точке М с абсциссой т . Уравнение касательной имеет вид: у =у(е„)+Ф'(е„)(х — е„). Предположим, что интервал практически возможных значений аргумента (а, р) настолько узок, что в пределах этого интервала кривая и касательная различаются мало, так что участок кривой практически =УЖ можно заменить участком касательной; короче, на участке (а, р) функция у = р (х) и о ч т и л и н е й н а. Тогда случайные величины Х и У приближенно связаны линейной зависимостью: У=а(е )+а (е )(Х вЂ” е ), или, обозначая Х вЂ” и„= Х, 1'=(р(т )+ р'(т ) Х.
(11.2.3) Рнс. 1!.23, К линейной функции (11.2.3) можно применить известные приемы определения числовых характеристик линейных функций (см. н" 10.2). Математическое ожидание втой линейной функции найдем, подставляя в ее выражение (11.2.3) математическое ожидание аргумента Х, равное нулю. Получим: т, = ср (ек) (1 1.2.4) ') Функцию т на участке (а, р) предполагаем непрерывной и дифференцнруеиоя, ы.з! лннвавнзацня етнкцин нвсколькнх сль ииных авгхмвнтов 255 Дисперсия величины Г определится по формуле ~, =(р'(~ )Р ~ . (11.2.5) Переходя к среднему квадратическому отклонению, имеем: л =)~л'(тл)!е . формулы (11.2.4), (11,2.5), (11.2.6), разумеется, являются приближенными, поскольку приближенной является и сама замена нелинейной функции линейной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
