Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Мы убедились в весьма важном свойстве нормального закона: прн композиции нормальных законов получается снова нормальный закон. Это — так называемое «свойство устойчивости». Закон распределения называется уев»ой«кзыл», если при композиции двух законов этого типа получается снова закон того же типа '). Выше мы показали, что нормальный закон является устойчивым. Свойством устойчивости обладают весьма немногие законы распределения.
В предыдущем и' (пример 2) мы убедились, что, например, закон равномерной плот- ности неустойчив: при композиции двух законов равномерной плотности на участках от 0 до 1 мы » получили закон Симпсона. Устойчивость нормального закона †од из существенных условий его широкого распространения на практике. Однако свойством устойчивости, кроме нормального, обладают н некоторые другие законы распределения. Особенностью нормального закона является то, что при композиции достаточно болшого числа практически произволь- ных законов распределения суммарный закон оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того, каковы были законы распределения слагаемых. Это можно проиллюстрировать, например, составляя композицию трех законов равномерной плотности на уча- стках от О до !.
Получающийся при этом закон распределения а'(з) изображен иа рис. 12.6.1. Как видно из чертежа, график функции п(л) весьма напоминает график нормального закона. (12.6.16) (12.6.16) Ри», !2.6,! ') Под «законами одного и того же типа» мы подразумеваем законы, различающиеся только масштабами по осям н началом отсчета по оси абсцисс. 12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов Дана система случайных величин (Х,, Хю ... Х„), подчиненная нормальному закону распределения (или. короче, «распределенная нормальноъ); случайная величина 1' представляет собой линейную функцию этих величин: )'= ~~ а,Х, + Ь. (12.7.1) Требуется найти закон распределения величины г. Нетрудно убедиться, что это нормальный закон.
Действительно, величина 1' представляет собой сумму линейных функций, каждая из которых зависит от одного нормально распределенного аргумента Х, а выше было доказано, что такая линейная функция также распределена нормально, Складывая несколько нормально распределенных случайных величин, мы снова получим величину, распределенную нормально. Остается найти параметры величины у — центр рассеивания лг„ и срелнее квадратическое отклонение о„. Применяя теоремы о математическом ожидании и дисперсии линейной функции, получим: лг = ~, а/вг,„,+Ь. г=1 (12.7.2) (12.7.3) от = ~ азот + 2 ~', а,а/г,/о, о,, г=1 ~ 1«/ /' где г// — коэффициент корреляции величин Хг, Х/, В случае, когда величины (Хн Х,, ..., Х,) некоррелироваиы (а значит, при нормальном законе, и независимы), формула (!2.7.3) принимает вид: о оо = ч атоз.
(1 2,7.4) Средние квадратические отклонения в формулах (12.7.3) и (12.7.4) могут быть заменены пропорциональными им вероятными отклонениями. На практике часто встречается случай, когда законы распределения случайных величин Х,, Хю ..., Х„, входяших в формулу(12.7.1), в то~нос~и ие извести~, и из~ест~ы то~ь~о их чис~о~~е характеристики: математические ожидания и дисперсии. Если при этом величины Х,, Х,, ..., Х„ независимы, а их число а достаточно велико. то, как правило, можно утверждать, что, безотносительно к виду законов распределения величин Хп закон распределения величины )' млч еинкыин от новмально васпвелвлвнных лвпмвнтов 279 280 законы влспзндплпння эвикции сль яиных лвгьмянтов 1гл.
и 12.8. Композиции нормальных законов ни плоскости Пусть в системе коордкнат «Оу заданы два независимых случайных вектора: У, с составляющими (Х,. У,) и )гя с составляющими (Хм Уз). Допустим, что каждый из них распределен нормально. причем параметры первого вектора равны «гж шу, ° «ж чу,. глин а параметры второго— «гх, «гу, «ю «ж г.с«с Требуется определить законраспределения случайного вектора У = Ъ',+)гт (рис. 1 2.8.1), составляющие которого равны: х=х,+х; р = 'г'. -1- у.. Ряс. !2.81. Не представляет трудности качественно доказать (аналогично тому, как мы зто слелалк для случая композиции двух нормальных законов в н' 12.6), что вектор )г также распределен нормально. Мы примем это положение без специального доказгтечьства.
Определим параметры закона распределения вектора Ъ'. По теореме сложения математических ожиданий «гл = г«л; + «г.г, ° «гт — — глж+ глж. (12.8.1) близок к нормальному. На практике для получения закона распределения, который приближенно может быть принят за нормальный. обычно оказывается достаточным наличие 5 †: 10 слагаемых в выражении (12.7.1). Следует оговориться, что зто не относится к случаю, когда дисперсия одного из слагаемых в формуле (12,7.1) подавляюще велика по сравнению со всеми другимИ; предполагается. что случайные слагаемые в сумме (12,7.1) по своему рассеиванию имеют примерно один и тот же порядок.
Если эти условия соблюдены. то для величины 1 может быть приближенно принят нормальный закон с параметрами, определяемыми формулами (12.7.2) и (12.7.4). Очевидно, все вышеприведенные соображения о законе распределения линейной функции справедливы (разумеется, приближенно) и для того случая, когда функция не является в точности линейной.
но может быть лннеаризована. композиция ногмлльных законов нл плоскости 281 пьв1 По теореме сложения дисперсий ао =от„+ао, ат = ат -~- оз . У У~ Уг По теореме сложения корреляционных моментов К, =К,У,+К или. переходя к коэффициентам корреляции. Гага,а = Г,,„,а,а, + Г„,О„,ОУ„ (12.8.2) откуда г а а +г а а Му~ х, у| Му~ а, уз (12.8.3) (а +а )(а~~ + ) Таким образом, задача композиции нормальных законов на плоскости решается формулами (12.8.1), (12.8.2) и (12.8.3).
Эти формулы выведены для того случая, когда оба исходных нормальных закона (для векторов $', и )гт) заданы в одной и той же координатной системе хОу. На практике иногда встречается случай, когда нужно произвести композицию двух нормальных законов на плоскости, каждый иа которых задан в своей системе координат, а именно в своих главных осях рассеивания. Дздим способ композиции нормальных законов для этого случая. Пусть на плоскости хОу (рис.
12.8.2) даны два нормально распределенных некоррелированных случайных вектора У, и )гя. Каждый Рис. 12.8.2. из векторов характеризуется своим единичным эллипсом рассеивания: вектор )г,— эллипсом с центром в точке лгаа лгу, с полуосями а:„, а а нз которых первая образует с осью Ох угол а,; аналогичные характеристики для вектора )гт будут: т н шу„ат„а „а . Требуется найти параметры единичного эллипса рассеивания, характеризующего вектор )У=\',+(гт. Обозначим нх Так как положение центра рассеивания не зависит от выбора системы координат.
очевидно, по-прежнему будут справедливы соотношения: ш.т = гил, + глаи Иу —— глу,+шу. Для того чтобы найти элементы корреляционной матрицы вектора (г, спроектируем случайные точки, соответствующие векторам \Уз и )гт, на оси Ох н Оу. Пользуясь формулой (10.3.3), получим: + ат з(пв и л д 1 ат = ат в(пв а + ат сова а, У т З ж аз =а' сов'аз+аз в(пта, ю тс ча в' ат = аз в1пт а + аз совка . Ус 4 т Чс т' (12.8. 4) Коэффициенты корреляции составляющих векторов У' и (г в системе координат хОу найдем из соотношения (9.2.2): (п2а ( т — ат) глУ,— а а 18 2а ~а~» — ат ) 2 а а (12.8.5) Далее задача композиции нормальных законов на плоскости сводится к предыдущей.
Зная а„оу, г„у, можно найти углы, составленные осями суммарного эллипса с осью абсцисс, по формуле (9.2.2): 1к2а= 2г.„а„с, ') (12.8 8) с — с .т у н главные средние квадратические отклонения — по формулам (9.2.4): а = )/а'савва+г а а яп2а+атяп а, (12.8.7) а =~дата|и а — и „а а, яп2а+ а соева. ') Твк как тангенс имеет период и, то значения а, определяемые во формуле (12.8.6), могут различаться иа —, что соответствует двум главиыи 2 ' осям эллипса. 282 законы васпиеделення аинкцни сличднных лвгиментов 1гл. Уа композицня нОРЯАльных 3АкОнОВ нА плОскОсти 283 ж.в1 Последние соотношения справедливы не только лля средних квадратических отклонений, но и для пропорциональных им вероятных отклонений: Е = угЕтсозта+г Е Е з)п2а+Еяз1пта, 1 (12.8.8) Е =~ГЕ~ з)пта — г Е„ЕУЗ1п 2а+Е~ созза.
Перейдем к композиции произвольного числа нормальных законов на плоскости. С наиболее простым случаем композиции произвольного числа нормальных законов мы встречаемся тогда, когда главные оси рассеивания для всех законов, подлежащих композиции, параллельны друг другу. Тогда, выбирая координатные оси параллельно этим главным осям рассеивания, мы будем иметь дело с системамн независимых случайных величин, и композиция нормальных законов выполняется по простым формулам: л у, бз л (12.8.9) где б„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
