Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Таким образом, мы решили поставленную задачу и пришли к следующим выводам, Чтобы найти математическое ожидание почти линейной функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его математическое ожидание. Чтобы найти дисперсию почти линейной функции, нужно дисперсию аргумента умножить на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию арумента. 11.3.
Лннеарнзация функции нескольких случайных аргументов Имеется система и случайных величии: (Х, Х„..., Хл) н заданы числовые характеристики системы: математические ожидания шл шл ° . ° шл и корреляционная матрица Хп Х22 Хгл ~22 ' ' ' ~2л 0Х216= Хлл Случайная величина у есть функция аргументов Хн Ха...,. Х„: У=~(Хн Х,, .... Хл), (! 1 .3.1) причем функция е не лннейна, но мало отличается от линейной в области практически возможных значений всех аргументов (короче, «почтя линейная» функция). Требуется приближенно найти числовые характеристики величины у' †математическ ожидание ш н > персию О„.
Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию (1 1.3.2) У='т(ХН Л2, ..., Хл). линпаннзация егнкцнн 1гл, ц Для сравнения вычислим номинальное значение: Хаен — — 150 ~/ 981 (1 — 1,8 ° 10 1'4000) = 3975 (м). Разкость между математическим ожиданием и номинальным значением н представляет собой систематическую ошибку точки падения: й. = тл Хнок = 4007 3975 32 (м). Для определения дисперсии величины Х вычислим частные производные: = (1 — 1,8 ° 10 асН) — оэ 1/ — ° 1,8. 10 а с, — (1 — 1,8 ° 1О асН), К / 2Н оа )7 К дХ дН 3Х поо ОХ дс и подставим в эти выражения вместо каждого аргумента его математиче- ское ожидание: (у1) ' ' (оо ) ' ' (бс) По формуле (11.3.8) вычислим среднее квадратическое отклонение величины Х: ал — — 0429т.40т+264 1 +307т 005 =2944+6970+2355 11269, откуда е„ш 33,6 (м).
Сравнивая слагаемые, образующие ч, приходим к заключению, что наи- 2 большее из них (697,0) обусловлено наличием ошибок в скорости о,; следовательно, в данных условиях из рассмотренных случайных факторов, обусловливающих разброс точки падения бомбы, наиболее существенной является ошибка указателя скорости. Пр имер 2. Лбсцисса точки попадания (в метрах) ври стрельбе по самолщу выражается формулои Х = Ха+1,8е0+Ха, (!1.3.10) где Մ— ошибка наводки (м), в — угловая скорость цели (рад(сек), )3 — дальность стрельбы (м), Ха — ошибка, связанная с баллистикой снаряда (лг).
Величины Х„, ьь !), Ха представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями: т„,=О; ю =0.1; тд — — 1000; т,а=0 н средними квадратическими отклонениями: 4' ем=0.005' ел=50' яка=3 ла Подставляя в формулу (11.3.9) вместо веяичин Н, е, и с их математические ожидания, найдем математическое ожидание величины Х: жл = 4007 (м). утОчнение Рвзультдтов пл1 Нормированная корреляционная матрица системы (Х„, аь !), Хэ) (т. е. матрица. составленная из коэффициентов коррелацни) имеет вид: 1 0,5 0,3 0 1 0,4 0 1 0 1 1г~)! = Требуется найти математическое ожидание н среднее квадратическое отклонение величины Х.
Р е ш е н и е. Подставляя в формулу (11.3.10) математические ожидания аргументов, имеем: шл = 1,8 ° 0,1 ° 1000 = 180 (м). Для определения среднего квадратического отклоненна величины Х найдем частные производные: откуда ал и 17,6 (лг). 11.4. Уточнение результатов, полученных методом линеаризацни В некоторых задачах практики возникает сомнение в применимости метода лннеаризации в связи с тем, что диапазон изменений случайных аргументов не настолько мал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточной точностью лннеаризована. В этих случаях для проверки применимости метода линеарнзацни н для уточнения полученных результатоз может быть применен метод, основанный на сохранении в разложении функции не только линейных членов, но н некоторых последуюших членов более высоких порядков и оценке погрешностей, связанных с этими членами. Для того чтобы пояснить этот метод, рассмотрим сначала наиболее простой случай функции одного случайного аргумента.
Случайная величина У есть функция случайного аргумента Х: ! =т(Х) (11.4.1) причем функции " сравнительно мало отличается от линейной на участке практически возможных вначений аргуьтента Х, но все же ( — ) = 1; ( — ) = 1,8лга — — 1800; Применяя формулу (11.3.7), имеем: а~. = (1 4) + (1800 ° 0 005) + (018. 50) + (1 3) + 2 1 1800 05 4 0 005 + + 2 ° 1 ° 0,18 ° 0,3 ° 4 ° 50+ 2 1800 ° 0,18 ° 0,4 ° 0,005 ° 50 = 16+ 81 + 81 + 9+ 36+ 21,6+ 64,8 ° 309, 4, 260 лннвлэнзлцня Функции [гл. и отличается настолько, что возникает сомнение в применимости метода линеаризации. Для проверки этого обстоятельства применим более точный метод, а именно: разложим функцию у в ряд Тейлора в окрестности точки и и сохраним в разложении первые три члена: у = р (х) = Р(и,)+ р'(и.,) (х — иу)+ 2 р" (и,Нх — и,)' (11 4 2) Та же формула будет, очевидно, приближенно связывать случайные величины У и Х: г =т(и )+ р'(и )(Х вЂ” и )+ —,Р" (и„)(Х вЂ” ) = =ср(и„)+э'(и ) Х+ — <р (и„) Ха.
(11.4.3) Пользуясь выражением (11.4.3), найдем математическое ожидание и дисперсию величины У. Примення теоремы о числовых характеристиках, имеем: иу = 'Р (иу) + — 'Р" (иу) М [Х'! = ~Р (ис)+ — ~Рч (иу) Е>к. (! 1.4.4) По формуле (11.4.4) можно найти уточненное значение математического ожидания н сравнить его с тем значением р(и„), которое получается методом линеарнзации; поправкой, учитывающей целине»- ность функции, является второй член формулы (11.4.4). Определяя дисперсию правой и левой части формулы (11.4.3), имеем: [2у=Ь'(и )[з(),+ 4 [Р" (и )Р1) [Х'[+ + |р' (и ) <рч (и ) К [Х, Хэ[, (1! .4.
5) О О е где К[Х, Хз! — корреляционный момент величин Х, Ха. Выразим входящие в формулу (11.4.5) величины через центральные моменты величины Х: П[Х [= М[х'! — [М[Х [! =1 [Х! — О, К [Х, Хт! = М [Х [Хз — М [Ха! ! ! = Рз [Х!. Окончательно имеем: Р)у =!9 (иу)! ))» 1 Ь гулх)! (рч [Х! Р)к)+ +' (и.);."(и.) р, [Х[. (11.4.6) Формула (11.4.6) дает уточненное значение лисперсин по сравнению с методом линеаризации; ее второй и третий члены представ- 261 уточнение Результлтов 11.41 р. [Х]=0; р, [Х]=3з»=30',.
н формула (11.4.6) принимает вид: 0 = [~р' (тх)]~ 0»+ — [р (тх) ] 0». (11.4.7) (1 1.4.8) формулой (11.4.8) можно пользоваться для приближенной оценки погрешности метода линеаризации в случае. когда аргумент распределен по аакону, близкому к нормальному. Совершенно аналогичный метод может быть применен по отношению к функции нескольких случайных аргументов: ) =4(ХН Х,, ..., Х), (1 1.4.9) Разлагая функцию у = г(хп хз, ..., лх) в ряд Тейлора в окрестности точки гл», тх, ..., гл и сохраняя в разложении члены не выше второго порядка, имеем приближенно: 1 =9(лг»1 ягх ° ° ° глхх)+ 7а ~ ) (Х1 — лг»1)+ 1=1 и или, вводя центрнрованные величины, где индекс лг по-прежнему обозначает, что в выражение частной производной вместо аргументов Х1 подставлены их математические ожидания глх. лают собой поправку на нелинейность функции. В формулу, кроме дисперсии аргумента 0», входят еще третий и четвертый центральные моменты рз [Х], р4 [Х].
Если зги моменты известны, то поправка к дисперсии может быть найдена непосредственно по формуле (11,4.6). Однако зачастую нет необходимости в ее точном определении; достаточно лишь знать ее порядок. На практике часто встречаются случайные величины, распределенные приблизительно по нормальному закону. Для случайной величины, подчиненной нормальному закону. 262 [ГЛ, 1! ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ Применяя к формуле (11.4.10) операнию математического ожида- ния, имеем: ту = т (лгх, глх, ° ° ° тхи) + л !=1 1 ~~/и ~<1 где КИ вЂ” корреляционный момент величин Хи Х, В наиболее важном для практики случае, когда аргументы Х,, Ха, ..., Хи некоррелированны, формула (11А.11) принимает вид: и лгу = т (глх ° лгх ° ° ° ° лгхи)+ 2 ~~ ~ — а) 0хл (11.4.12) Второй член формулы (11.4.12) представляет собой поправку на нелинейность функции.
Перейдем к определению дисперски величины У. Чтобы получить выражение дисперсии в наиболее простом виде, предположим, что величины Х,, Хи ..., Хи не только некоррелированны, но и независимы. Определяя дисперсию правой и левой части (11А.10) и пользуясь теоремой о дисперсии произведения (см. и' 10.2), получим: и и Для величин, распределенных по закону, близкому к нормальному, можно воспользоваться формулой (11А.7) и преобрдзовать выражение (11.4.13) к виду: '5~ ( дт ~и + 1 ~ ~ д*т )' у + + ~~~~ ( д д ) сух,0х..
(11.4.!4) 1</ Последние два члена в выражении (11А.14) представляют собой «поправку на нелинейность функции» и могут служить для оценки зочности метода линеаризации при вычислении дисперсии. ГЛАВА !2 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ 12.1. Закон Распределения монотонной функции одного случайного аргумента В предыдущих главах мы познакомились с методами определения числовых характеристик функций случайных величин; главное удобство этих методов в том, что они не требуют нахождения законов распределения функций. Однако иногда возникает необходимость в определении не только числовых характеристик, но и законов распределения функций.
Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи, относящейся к этому классу: задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них. Имеется непрерывная случайная величина Х с плотностью распределения у (х). Другая случайная величина 1' связана с нею функциональной зависимостью: У = ф (Х) ').
Требуется найти плотность распределения величины 1'. Рассмотрим участок осп абсцисс (а, Ь), на котором лежат все возможные значения величины Х, т. е. Р(а<Х<Ь)=1, В частном случае, когда область возможных значений Х ничем не огрзничена, и = — со; Ь =+-со. Способ решения поставленной задачи зависпт от поведения функции ~у на участке (а, Ь): возрастает ли она на этом участке или убывает, или колеблется. ') Функцию т предполагаем непрерывной и дифференцируеиоуь 264 законы яаспяидилвния эвикции слячапнык аягтминтов 1гл. В данном и' мы рассмотрим случай, когда функция у =р(х) на участке (а, Ь) монотонна '). При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.
1. Функция у =э(х) на участке (а, Ь) монотонно возрастает (рис. 12,1.1). Когда величина Х принимает различные значения на участке -(а, б), случайная точка (Х, У) перемешается только по Р/х) кривой у=у(х); ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой. Обозначим д (у) плотность А распределения величины У. Для того чтобы определить л"(у), най- У дем сначала функцию распредех ления величины Г: 0(у)=Р(К< у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
