Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 49
Текст из файла (страница 49)
б„, б, бу — главные средние квадратические отклонения соответствующих законов. В случае, когда направления главных осей не совпадают, можно составить композицию нескольких нормальных законов тем же методом, которым мы пользовались выше для двух законов, т. е. проектируя складываемые случайные векторы на оси одной и той же системы координат, На практике часто встречаются случаи. когда в числе законов. подлежащих композиции, встречаются так называемые «вырожденные» законы, т. е. законы, характеризующиеся эллипсом рассеивания, имевшим только одну полуось (другая равна нулю).
Такие «вырожденные» законы дают рассеивание только в одном направлении. При композиции таких законов нужно поступать так же, как при композиции обычных законов, полагая некоторые параметры (средние квадратические или вероятные отклонения) равными нулю. П р и и е р 1. Ошибка бомбометания вызвана совиестныи действием след ющих факторов: . н ) теяш1ческое рассеивание бомб; 2) неточность прицеливания яо дальиостя; 3) неточная наводка в боковом направления. Все вти факторы независимы.
Техническое рассеивание бомб дает единичный вллапс рассеивания в виде круга радиусом 20 »ь Ошибка прицеливания 284 законы глснгиднлвння окнкнни слкчлиных двгкмвнтов 1гл, ш по дальности действует только в направлении полета н имеет среднее квадратическое отклонение 40 лй центр рассеивания сдвинут вперед по полету на 5 м. Ошибка боковой наводки действует только в направлении, перпеидикуларном к полету, н имеет среднее квадратическое отклонейие 30 лл центр рассеивания смещен вправо на 10 м.
Найти параметры нормального закона, которому подчинена суммарная ошибка бомбометания, вызванная совместным действием всех перечисленных факторов. Решение. Так как главные оси всех перечисленных в задаче зллипсов (нз которых второй и третий вырождены) параллельны, то можно применить правило компознцнн нормальных законов с пезависнмымн составлявшими (формулы (12.8.9) ). Выбирая ось Оу по направлению полета, ось Окперпендикулярно к нему, имеем: и=10, т=8, 4 = 20з+30' = 1300, а, = 36,1(м), а„= 20 + 40т = 2000, а, = 44,7 (м). Пример 2.
Производится воздушная стрельба с самолета по самолету; рассеивание точек попадания рассматривается на вертикальной плоскости, перпендикулярной к направлению стрельбм. Причннм рассеивания точек попадания состоат в следующем: 1) ошибки, связанные с неоднородностью баллистики снарядов и колебаниями установки; 2) ошибки наводки; 3) ошибки, вызванные неточностью определения дальности; 4) инструментальные ошибки прицела. Главные оси рассеивания, вызванного первой причиной, расположены горизонтально н вертикально, и главные средние квадратические отклонения равны соответственно 1 и 2 хк ошибка наводки дает круговое рассекванне со средним квадратическим отклонением 3 лй ошибка, вызванная неточностью определеяня дальности, дает рассеивание только вдоль оси, наклоненной к горизонту под углом 30', со с. к.
о. 4 лн инструментальные ошибки прицела дают круговое рассеивание со с. к. о. 2 м. Систематические ошибки равны нулю. Требуется найти параметры закона распределения суммарной ошибки, вызванной всеми перечисленными факторами. Решение. Выбираем систему координат с горизонтальной осью Ок н вертикальной Оу.
Эти оси являются главными осями расклеивания для всех законов, кроме третьего (ошибки вследствие неточности определения дальности). Обозначим составляющие каждой ошибки в системе координат кОу соответственно: Параметры этих составляющих равны соответственно; и =и =и =и =-и„=т =т„=т =0; к~ ха ка к г~ ю уа г~ а =1; а =2; а =а ~3; а =а =2. х=1 ж=' к,=г ' х,=г,= Что касается величин а„, н а„, то их мы определяем, проектируя случайную точку (Хз. Г~) пз оси Ок н Оу по формулам (12.8.4): а =4 созт30 =12; аз = 4 з!и 30 = 4, и.а1 композиция нормальных законов нл плоскости 285 Ковффнцнент корреляции величин (Хь 1'6) найдем по формуле (128.5) .66 4а — 44 24 46 что и естественно, так как рассеивание сосредоточено на одной прямой н, следовательно, величины Х, и Га зависимы функционально.
Применяя теорему сложения дисперсий, имеем: .т =аз+а'„+аз, +ат =25; а„=5,09(м)! ат = ат +а +аз +аз =21; а„=4,58 (лг). Коэффициент корреляции г„„найдем, применяя теорему сложения корреляционных моментов: к„,=к,„+к„.„+к,„+к„, -о+о+, +о, 4Р З.! откуда 4 )4 3 2ра 24 6 66 462 Определим угол а, который составляет с осью первая главная ось рассеивания: 2 ° 0,297. 5,09. 4,58 5,092 — 4,582 2а 89'30'! а2н34'45'. По формулам (12.8.8) имеем: аа= )та соз а+г а„а!,з!п2а+атз!и а=5455 (м)! т алзгп а — Г уа ауз!п2а+а соз а 422 (лг).
ГЛАВА !3 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 13.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема В начале курса мы уже говорили о том, что математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Наличие этих закономерностей связано именно с массовостью явлений, то есть с большим числом выполняемых однородных опытов или с большим числом складывающихся случайных воздействий, порождающих в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону. Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубокой древности.
В какой бы области оно ни проявлялось, суть его сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понн- й: й й й й й й У Ю' ным и может ыть определенности.
В узком' "смысле чисел» в теории вероятностей понимается рял математических теоре .. в кажзоя ч.й которых для 1ех или иных условий устаназлиьастся факт приближения средних хзрактеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. В и' 2.3 мы уже формулировали простейшую из этих теорем— теорему Я. Бернулли. Она утверждает, что при большом числе опытов частота события приближается (точнее — сходится по вс"овтности) к вероятности этого события. С другими, более общими формами закона больших чисел мы познакомимся в данной главе.
Все они устанавливают факт и условия сходимости по вероятности тех или иных случайных величин к постоянным, не случайным величинам. 287 ззл! неваввнство чввышвва Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с »тими величинами. предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью. Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин.
а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Мы уже говорили о том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении некоторых условий. Эти условия, которые математически можно формулировать различным образом — в более нли менее общем виде, — по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных слагаемых было разномерно »голым, т.
е. чтобы в состав суммы не входили члены, явно преобладающие нзд совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой теми условиями, для которых устанавливается зто предельное свойство суммы случайных величии. Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей. Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но н оценивать точность этих прогнозов. В данной главе мы рассмотрим только некоторые, наиболее простые формы предельных теорем.
Сначала будут рзссмотрены теоремы, относящиеся к группе «закона больших чисел», затем †теоре, относящиеся к группе «центральной предельной теоремы». 13.2. Неравенство Чебышева Б ка ~ссгве леп ~ы, необходимой для доказатсльсгза т-орск, опшсяшихся к группе «закона больших чисел», мы докажем одно весьма общее неравенство, известное под названием неравенства Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием гл и дисперсией О„.
Неравенство Чебышева утверждает, что. каково бы ни было положительное число а, вероятность того «то величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на а, ограничена сверху величиной — : «я 288 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !ГЛ. 1З Доказательство. 1. Пусть величина Х прерывная, с рядом распределения хз (! х, ! хз !... 1хл р! К р ! рз! ° ° ° ! Рл Изобразим возможные значения велкчины Х и ее математическое ожидание т„в виде точек на числовой оси Ох (рис. 13.2.1), Задааимся некоторым значением а) 0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на а: Р (~ Х вЂ” т„()~ а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
