Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(13.2.2) Для этого отложим от точки т вправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ. Вероятность (13,2.2) есть не что иное. как вероятность того, что и случайная точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а р х х~ х~ Ф х ' вовне его: Рис. !3.2.!. Р(!Х вЂ” тл))~а) = =Р(Х ф АВ)'). Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений хп которые лежат ане отрезка АВ.
Это мы запишем следующим образом: Р(1Х вЂ” тл~)~а) = ~~ р, 1 "~-" !ж' (13.2.3)  — 31РХ л'л)з)=- Г (хз тл)зр, = — ~ !хз т„!зрп (13 2 4) г=! Так как все члены суммы (13.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения хп а только на некоторые, в частности на те. которые лежат вне отрезка АВ: 0,) ~з ~х,— т„~зри *!>' (13,2.8) ') Концы отрезка АВ мы в мего не включаем.
где запись 1х, — т„! )~а под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения 1, для которых точки х, лежат вне отрезка АВ. С другой стороны, напишем выражение дисйерсии величины Х По определению: НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА 33.21 Заменим под знаком суммы выражение )х, — т„~ через а.
Так как дла всех членов сУммы ~х~ — тх1)»а, то от такой замены сУмма тоже может только уменьшиться; значит, О, )» ~е азр~ — аз ~~'.~ рв (13,2.6) )хе-еех1>е 1хе-а 1>е Но согласно формуле (13.2.3) сумма, стоящая в правой части (13.2.6), есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, Ох ьазР(1Х вЂ” тх~)»а) откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство. 2. В случае, когда величина Х непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей р, элементом вероятности, а конечных сумм †интеграла. Действительно.
Р()Х вЂ” вгх~ ) а)= ~ у(х)юг'), (13.2.7) !х ~х1>е где у'(х) — плотность распределения величины Х. Далее, имеем: О, = ~ (х — тх)ЗУ'(х) дх = / ~х — тх)ТУ'(х)г(х ) ее ее ) ) (х — т 1зу'(х)Фх. (х-ах)>е где знак 1х — тх( ) а под интегРалом означает, что интегРиРованпе распространяется иа внешнюю часть отрезка АВ. ЗаменЯЯ 1х — тх~ под знаком интегРала чеРез а, полУчим: Ох)»аз ~ /(х)с(х =азР()Х вЂ” т„! ) а), )х-бй 1>« откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величин. Пример.
Лана случайная величина Л с матспзтическни ожиданием т и дисперсией а'. Оценить сверху вероятность того, что величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на Зо„. Решение. Полагая в неравенстве Чебышева а=За„, имеем~ '~ йоз Э' Ох 1 ') Знак ~ заменен знакоМ >, так как для непрерывной величины вероат ность точного равенства равна нумо. 19Е. С. Венецеле 290 пРедельные теОРемы теОРии ВеРОятностеп [Гл, 1а т. е.
вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше — . 1 9' П римечание, Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина Х выйлет за прелелы участка т„Заг, значительно меньше з-. Напри+ 1 мер, для нормального закона эта вероятность приблизительно равна 0,003. На практике чаше всего мы имеем дело со случайными величинами, значения которых только крайне редко выходят за пределы т +За . Если закон распределения случайной величины неизвестен, а известны только гл и е, на практике обычно считают отрезок т„+ Зе„ участком практически возможных значений случайной величины 1так называемое «правило трех сигма»).
13.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) В данном и' мы докажем одну из простейших, но вместе с тем наиболее важных форм закона больших чисел — теорему Чебышева. Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений случайной величины и ее математическим сжиланием. Предварительно решим следующую вспомогательную аадачу.
Имеется случайная величина Х с математическим ожиданием т„ и дисперсией 0 . Нзд втой величиной производится а независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных аначений величины Х. Требуется найти числовые характеристики этого среднего арифметического — математическое ожидание н дисперсию — и выяснить, как они изменяются с увеличением а. Обозначим: Х, — значение величины Х в первом опыте; Х,, — значение величины Х зо втором опыте, и т. д.
Очезьш1о, 'озок1 оно«1ь величин ХР Хт, ..., Х„пр ..1С1зз. ясг собой л независимых случайных величин, каждая из которых распределена по тому же закону, что и сама величина Х. Рассмотрим среднее арифметическое этих величин: 1=! У= — — — —. и Случайная величина г' есть линейная функция независимых случайных величин ХР Хя, ..., Х„. Найдем математическое ожидание з91 3АкОн ЕОльшнх чисел (теоземА чевы1пеВА) 1з.з1 и дисперсию этой величины . Согласно правилам и' 1 0 для определении ч и словых характеристик линейных функций получим: т =йь ['г'1= — 7 Лч(Х1! = — пт = т„; 1ъч 1 Итак„математическое ожидание величины 1' не зависит от числа опытов и и равно математическому ожиданию наблюдаемой величины Х; что касается дисперсии величины г'.
то онз неограниченно убывает с увеличением числа опытов и прн достаточно большом и может быть сделана сколь угодно малой. Мы убеждаемся, что среднее арифметическое есть случайная величина со сколь угодно малой дисперсией и при большом числе опытов ведет себя почти как не случайная. Теорема Чебышева и устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического. Она формулируется следуюшим образом: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности и ее математическому ожиданию.
Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что случайная величина Х„ сходится по вероятности к величине а, если при увеличении п вероятность того, что Х„ и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что прн достаточно большом п Р( ) Մ— а ! с' в) ) 1 — Ь, где ь, Ь вЂ” произвольно малые положительные числа.
Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, ~ч' Х1 ! 1 что при увеличении и среднее арифметическое — сходится по и вероятности к т„, т. е ~в )1 — 3. (1б.3. Ц Р1 ~ — '' — т„ Докажем это неравенство. Г= щ1 и имеет числовые характеристики т=т; О Ви у и Применим к случайной величине г' неравенство Чебышева, полагая а=е: ~уу Р(~1 ту!>е1< у Кзк бы мало нн было число е, можно взять и таким большим, чтобы выполнялось неравенство — <б, ичу где и†сколь угодно малое число Тогда ~~е <в, ~=1 — — т и и откуда, переходя к противоположному событию, имеем: <е )1 — 6, 1=! — — т и у что и требовалось доказать. 1ЗА.
Обобщеннаи теорема Чебышева. Теорема Маркова Теорема Чебышева легко может быть обобщена на полее сложный случай, а именно когда закон распределения случайной величины Х от опыта к опыту не остается одним и тем же, а изменяется. Тогда вместо среднего арифметического наблюденных значений одной и той же величины Х с постоянными математическим ожиданием и дисперсией мы имеем дело со средним арифметическим и различных случайных величин, с различными математическими ожиданиями н дисперсиями. Оказывается, что и в атом случае при соблюдении некоторых условиИ среднее арифметическое является устойчнзыч и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.
292 пяедпльные тноянмы тпояин вавбятностяи 1гл. ~з Локавательств о. Выше было показано, что величина !зз! ововщнннзя твовимз чивышзвз. тзоззма панкова 29Э Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если ХпХ,...,Х,— независимые случайные величины с математическими ожиданиями тз, тз ~ ° ° ° ~ т.г и дисперсиями Вз!~ Е!ез~ ° ° . )Зз и и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом Е: О„, ( Е (У= 1, 2, ..., и), то ари возрастании н среднее арифметическое наблюденных значений величин Хп Хз, ..., Х„сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий').
Запишем зту теорему в виде формулы. Пусть е, в — сколь угодно малые положительные числа. Тогда при достаточно большом и ХХс .к! т М=! !=1 ( е ) 1 — ч. (13.4.1) Докавательство. Рассмотрим величину !=! )г = = л Ее математическое ожидание равно: п 2; в1„ т и а дисперсия г=! '1 То есть разность между тем н другим средним арифметическим сзодитса по вероятности к нулю. Применим к величине )с неравенство Чебышева: Р(1'г' — и ) )~ е).< —,, и„ или л ХХ! Заменим в правой части неравенства 113.4.2) каждую из величии Е),, большей величиной Е. Тогда неравенство только усилится: ( Как бы мало ни было е, можно выбрать и настолько большим, чтобы выполнялось неравенство — <31 с пе' тогда ( л ХХ! ;Е тл и л откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство 1!3.4.1).
Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит А. А. Маркову, Т е о р е м а М а р к о з а. Если имеются зависимые случайные величины Хи Хз, ..., Х„и если при п-+со „Г вЂ” ьб, то среднее арифметическое набл!виденных значений случайных величин Х,, Хм ..., Х„сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических озкиданий. Докааательство. Рассмотрим величину ~ Х! 294 пеедельные теоеемы теоеии вевоятностеи 1гл, !з теогема БеРнулли и иуассонА 1351 Очевидно, Применим к величине )г неравенство Чебышева: Р(1)' — ту~ )~е) ( — гт .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
