Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Так как по условию теоремы при и-ьсо 0 — ьО, то при достаточно большом и Р(1)' т ~) е)(Ь, нли, переходя к противоположному событию, Р(1)г — т ~ (е) =Р че )1 — е, что и требовалось доказзть. 1З.Б. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли н Пуассона Известная теорема Я. Бернулли, устанавливающая связь между частотой события и его вероятностью, может быть доказана как прямое следствие закона больших чисел. Пусть производится и независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, вероятность которого в каждом опыте равна р. Теорема Я.
Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа опытов и частота события А сходится по вероятности к его вероятности р. Обозначим частоту события А в и опытах через Р* и запишем теорему Я, Бернг лзч ь вял формулы Р ( '1Р' — р ' < е) ) 1 —. е, (13.5.1) где е, б — сколь угодно малые положительные числа. Требуется доказать справедливость этой формулы при достаточно большом п.
г( о к а а а т е л ь с т з о, Рассмотргги независимые случайггые величины: Х, — число появлений события А в первом опыте; Хг — число появлений события А во втором опыте, и т. д. 296 ПРедельиые теОРемы теОРии ВеРОятнОстей 1гл «3 Все эти величины прерывны и имеют один и тот же аакон распределения. выражаемый рядом вида: где о = — 1 — р.
Математическое ожидание каждой из величин Х, равно р, а ее дисперсия ра (см. и' !0.3). Частота р' представляет собой не что иное, как среднее арифметическое величин ХР Хз, ..., Х„: и Х Хг р«* и, согласно закону больших чисел, сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих случайных величин.
Отсюда и следует справедливость неравенства (13.3.1). Теорема Я. Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема. устанавливающая свог!ство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется следующим образом: Если производится и независимых опытов и вероятность появления собыяьия А в 1-м опыте равна ро то при увеличении и частота события А сходится по вероятности н среднему арифметическому вероятностей рн Теорема Пузссона выводится из обобщенной теоремы Чебышева точно так же, как теорема Бернулли была выведена из аакона больших чисел. Теорема Пуассона имеет большое принципиальное значение для практического применения теории вероятностей.
Дило в том, что зачастую вероятностные методы применяются для исследования явлений, которые в одних и тех же условиях не имеют шансов повториться достаточно много раз, но повтоояются многократно при весьма разнообразных условиях, причем вероятности интересующих нас событий сильно зависят от этих условий. Например, вероятность поражения цели в воздушном бою существенно зависит Ог дальности стрельбы, ракурса цели, высоты полета, скорости стреляющего СаМОЛЕТи И ЦЕЛЯ Н Т. Д.
ОМПЛСК" ЭТЯХ «'СЛОВНН СЛНШКОМ МНОГОЧНСЛСП для того, чтобы можно было расьчигыва«ь на многократное осущесгвление воздушного боя именно в данных фиксированных условиях. 'г! все же, несмотря на это, в данном явлении налицо определенная у .ойчивость частот, а именно частота поражения цели в реальных воздушных боях. осуществляемых в самых разных условиях, будет 297 МАССОВЫЕ СЛУЧАИНЫВ ЯВЛЕНИЯ 1з.в1 приближаться к с р е д н е й в е р о я т н о с т и поражения цели, характерной для данной группы условий. Поэтому те методы организации стрельбы, которые основаны на максимальной вероятности поражения цели, будут оправданы и в данном случае, несмотря нз то, что нельзя омвндать подлинной массовости опытов в каждом определеннои комплексе условий. Аналогичным образом обстоит дело в области опытной проверки вероятностных расчетов.
На практике очень часто встречается случай, когда требуется проверить на опыте соответствие вычисленной вероятности какого-либо события А его фактической частоте. Чаше всего это делается для того, чтобы проверить правильность той или иной теоретической схемы, положенной в основу метода вычисления вероятности события. Зачастую при такой экспериментальной проверке не удается воспроизвести достаточно много раз одни и те же . условия опыта. И все же эта проверка мовкет быть осуществлена, если сравнить наблюденную в опыте частоту события не с его вероятностью для фиксированных условий, а со с р е д н и и а р и фи е т н ч е с к и и вероятностей, вычисленных для различных условий. 1З.б.
Массовые случайные явления и центральная предельная теорема В предыдуших и'и' мы рассмотрели различные формы закона больших чисел. Все эти формы, как бы они ни были различны, утверждают одно: факт сходимости по вероятности тех или иных случайных величин к определенным постоянным. Ни в одной из фори закона больших чисел мы не имеем дела с законами распрел е ле н и я случайных величин.
Предельные законы распределения составляют предмет другой группы теорем — центральной предельной теоремы, которую иногда называют «количественной формой закона больших чисел». Все формы центральной предельной теоремы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Так как эти условия на практике весьма часто выполняются, нормальный закон является самым распространенным из законов распределения, наиболее часто встречающимся в случайных явлениях природы.-Он возникает во всех случаях, когда исследуемая случайная величина может быть представлена в аиде суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) элементарных слагаемых, каждое из которых в отдельности с"авнительно мало влияет на сумму. В теории стрельбы нормальный закон распределения играет особо важную роль.
так как в большинстве случаев практики координаты ~оч'к попадания и точек разрыва снарядов распределяются по нормальному закону. Объяснить это можно на следующем примере. лйв пгедельные теогемы теогин вегоятностеп 1гл ~з Пусть производится стрельба по некоторой плоской мишени, с центром которой (точкой прицеливания) связано начало координат, Точка попадания характеризуетсядвумя случайными величинами: Х и У. Рассмотрим одну иа них, например отклонение Х точки попадания от цели в направлении оси Ох. Это отклонение вызвано совокупным действием очень большого количества сравнительно малых факторов, как-то: ошибка наводки, ошибка в определении дальности до цели, вибрации орудия и установки при стрельбе, ошибки изготовления снаряда, атмосферные условия и т.
д. Каждая из этих причин создает элементарную ошибку — отклонение снаряда от цели, и координата снаряда Х может быть представлена как сумма таких элементарных отклонений: Х=Хг+ Хз.+ ... +Х,+ ..., (13.6.!) где Х„Хя, ... — отклонения, вызванные отдельными факторами. Так как этих факторов очень много, между собой они являются в основном независимыми и по влиянию на сумму отдельные слагаемые можно считать приблизительно равномерно малыми, то налицо условия применимости центральной предельной теоремы, и величина (13.6.1) должна подчиняться закону распределения, близкому к нормальному.
Остановимся несколько подробнее на нашем утверждении о приблизительно равномерно малом влиянии каждого из слагаемых на сумму. Смысл его в том, что среди элементарных ошибок стрельбы нет ни одной резко превалирующей над суммой всех остальных. Действительно, если бы такая ошибка была, нужно думать, что, составляя правила стрельбы или конструируя прицельный прибор, мы постарались бы ликвидировать эту ошибку и учесть заранее самую знзчительную причину, отклоняющую снаряд от цели. Неучтенные случайные факторы, создающие рассеивание, обычно характерны своей равномерной малостью и отсутствием среди ннх резко преобладающих. Именно поэтому закон распределения точек попадания снарядов (или закон распределения точек разрыва' снарядов при дистанционной стрельбе) обычно принимается нормальным '). Нормальный аакон распределения является доминирующим ие годики ь тсорзп стрельбьи по и со:ю;о,ж р тих п,ъ";х, и;щ мер в теории ошибок измерения.
Именно исходя из теории ошибок измерения нормальный закон и был впервые обоснован Лапласом и Гауссом. Действительно, в большинстве случаев ошибки, воаиикаю- ') В некоторых случаях стрельбы фзктичсскоо распределение аочек попадания на плоскоста может сильно отличаться от нормального, например, при стрельбе в резко геременных условиях, когда центр рассеивания н вероятное отклонение в процессе стрельбы заметно меняются.
Однако в таких случаях мы фактически имеем дело не с законом распределения координат точки попадания при одном выстреле, а со средним нз таких законов для различных выстрелов. 299 хАРАктепистические Функции !З.п щие при намерении тех или иных физических величин, распределяются именно по нормальному закону; причина этого в том.
что такие ошибки, как правило, складываются из многочисленных независимых элементарных ошибок, порождаемых различными причинами. Долгов время нормальный закон считался единственным и универсальным законом ошибок. В настоящее время взгляд на нормальный закон как на единственный и универсальный должен быть пересмотрен (опыт показывает, что в ряде процессов измерения и производства наблюдаются законы распределения, отличные от нормального), но все же нормальный закон остается самым распространенным и самым важным для практики законом ошибок. 13.7.
Характеристические функции д (1) = Лт' (еих). (13.7.1) где ( — мнимая единица. функция л'(С) представляет собой математи- ческое ожидание некоторой комплексной случайной величины (7 = еих. функционально связанной с величиной Х. При решении многих задач теории вероятностей оказывается удобнее пользоваться характеристическими функциями, чеч законами распределения, Зная закон распределения случайной величины Х, легко найти ее характеристическую функцию. Если Х вЂ” прерывная случайная величина с рядо» распределения х~ ) х, ! х, ... х„ 1 ! Р! (~ Р~ ( Ря °" Ри то ее характеристическая функция ч й(Г) = ~ е Ар„. *=г (13.7.2) Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы была доказана А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
