Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 53
Текст из файла (страница 53)
чтобы закон распределения величины (13.9.!) можно было считать приближенно нормальным. Тогда вероятность того, что случайная величина У попадает в пределы участка (а, р), выражается формулой Р(я ( У ( ~)=Ф*~ ~) — Ф* ~ ~ ), (13.9.2) где т„, а — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины 1', Ф* — нормальная функшюя распределения. Согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий (13.9.3) 20ь 308 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [ГЛ.
[З Таким образом. для того чтобы приближенно найти вероятность попадания суммы большого числа случайных величин на заданный участок, не требуется знать законы распределения этих величин; достаточно знать лишь их характеристики. Разумеется, это относится только к случаю, когда выполнено основное условие центральной предельной теоремы — равномерно малое влияние слагаемых на рассеивание суммы. Кроме формул типа (13.9.2), на практике часто применяются формулы, в которых вместо суммы случайных величин Х, фигурирует нх нормированная сумма ХХ вЂ” Хт, у [ 1 [=1 г — —— (13.9. 4) Очевидно г)41с.)=0; [)(х) =а,=1.
Если закон распределения величины 1 близок к нормальному с параметрами (13.9.3), то закон распределения величины Е близок к нормальному с параметрами т, = О, о, = 1. Отсюда Р(а < с. < р) = Фь (р) — Фь (а). (13.9.5) Заметим, что центральная предельная теорема может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным случайным величинам при условии, что мы будем оперировать не плотностями, а функциями распределения.
Действительно, если величины Х,. Хз, ..., Х„дискретны, то их сумма Х вЂ” также дискретная случайная величина н поэтому, строго говоря, не может подчиняться нормальному закону. Однако зсе формулы типа (13.9.2), (13.9.5) остаются в силе, так как в них фигурируют не плотности, а функции распределения. Можно джазать, что если дискретные случайные величины тудовлетворяют условиям центральной предельной теоремы, то функция распределения их нормированной суммы Е (см.
формулу (13.9.4)) при увеличении и неограниченно приолшкается к ноомальной функции распоелеления с параметрами т, = О, а, = 1. ж Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Лапласа. Если производится и независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. то справедливо соотношение Р ~а < < ~) = Фв (Р) — Ф*(а), (13.9.6) )/лрй где г — число появлений события А в и опытах, [)=1 — р. Доказательство.
Пусть производится и независимых опытов, в каждом из которых с вероятностью р может появиться событие А. Представим случайную величину 1' — общее число появлений события в и опытах — в виде суммы У=Х Хп 1 1 (13.9.7) где Х, — число появлений события А в 1-м опыте. Согласно доказанной в п' 13.8 теореме, закон распределения суммы одинаково распределенных слагаемых при увеличении их числа приближается к нормальному закону. Следовательно, прн достаточно большом и справедлива формула (13.9.5), где у — м Х= ат В и' 10.3 мы доказали, что математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в и независимых опытах равны: и =ир; Р =ирй (п=! — р).
Подставляя эти выражения в (!3.9.8), получим 1' — ар )' рл и формула (13.9.5) примет вид: Р~а ( ( ~) =Ф'(р) — Ф'(а). Теорема доказана. Пример 1. По полосе укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.
Р е ш е н и е. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданей! бомб в о!дальних сер!ах: 100 Х = Х, + Хх+ ... + Х100 — — ~~' Х1, 1=1 где Х! — число попаданий 1'-й серик. Условия центральной предельной теоремы соблюдены, так как величины Хь Хх,..., Х,00 распределены одинаково. Будем считать число и = 100 достаточным для того, чтобы можно было применить предельную теорему (на практике она ооычио применима и прн гораздо меньших и). Имеем: 100 х !00 ш = ~ щ =200, ~ Р1= ~чР 1,50=,'125.
1 ! 1=1 1=1 1зл! аоемтлы. выезжающие центеальнтю ппедельнкю теовемв 309 310 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕП [ГЛ. 13 Применяя формулу (13.9.6), получим; т, е. с вероятностью 0,82 можно утверждать, что общее число попаданий в полосу не выйдет за пределы 180 —: 220. Пример 2. Происходит групповой воздушный бой, в котором участвуют 50 бомбардировщиков и 100 истребителей. Каждый бомбардировщик атакуется двумя истребителями; таким образом, воздушный бой распадается иа 50 элементарных воздушных боев, в каждом из которых участвует один бомбардировщик и два истребителя. В каждом элементарном бою вероятность сбитня бомбардировщика равна 0,4; вероятность того, что в элементарном бою будут сбиты оба истребителя, равна 0,2; вероятность того, что будет сбит ровно одни истребитель, равна 0,5.
Требуется: 1) найти вероятность того, что в воздушном бою будет сбкто не менее 35% бомбардировщиков; 2) оценить границы, в которых с вероятностью 0,9 будет заключено число сбитых истребителей. Р е ш е н и е. 1) Обозначим Х вЂ” число сбитых бомбардировщиков: зэ Х= ~~'., Хь 1=1 где Х1 — число бомбардировщиков, сбитых в 1-и элементарном бою. Ряд распределения величины Х1 имеет внд: 0,6 0,4 Отсюда и 0,4; 0 0,4 0,6=0,24; гик=50 0,4=20; к. ' к юг )к50 ° 0,24 гл 3,464. Применяя формулу (13.9.6) и полагая 8 = 50 (или, что в данном случае равносильно, 8 =со), а= 17, находим: Р (17 < Х) = — — Ф* ~ ) ю 0,807.
1, ( 17 — 20 т 2) Обозначим У число сб1пых .ютребитезей: зе У= ~ч~Р Г1, 1=1 где 1'1 — число истребителей, сбитых в 1-м элементарном бою. Ряд распределения величины г1 имеет вид; 0 )1 2 0,3 ~ 0,5 ! 0,2 сзас эопмнлы. иыплжлющне центпдльнмю пведельнтю теовемк 311 Отсюда находим математическое ожидание и дисперсию величины 1'с'.
гл = 0,9; Вт — — 0,49. с Лля величины ус гл = 50 ° 0,9 = 45; Вт = 24 51 Определим границы участка, симметричного торый с вероятностью 0,9 попадет величина 1; етого участка 1. Тогда Р((У тт~ < 1)=2Ф»~~ — ) с 1 т 1а ) Ф ( ' ) = 0,95 ,С 11 По таблицам функции Ф'с †) находим то 1 ат ) торого Ф'(х) =0,95; вто значение ориближеино х = 1,645, а„= 4,96, относительно сп = 45, в коОбозначим половину длины — 1 = 0,9, значение аргумента, для ко. равно — 1,645, а откуда 1= 814 ж 8. Следовательно, с вероятностью около 09 можно утверждать, что число сбитых истребителей будет заключено в пределах ьттх1, т.
е. в пределах от Зу до 53. ГЛАВА 14 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ 14.1. Особеяностн обработки ограниченного числа опытов. Оценки для неизвестных параметров закона распределения В главе 7 мы уже рассмотрели некоторые задачи математической статистики, относящиеся к обработке опытных данных. Это были главным образом задачи о нахождении законов распределения случайных величин по результатам опытов. Чтобы найти закон распределения, нужно располагать достаточно обширным статистическим материалом, порядка нескольких сотен опытов (наблюдений). Однако на практике часто приходится иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема — с двумя-тремя десятками наблюдений, часто даже меньше. Это обычно связано с дороговизной и сложностью постановки каждого опыта. Такого ограниченного материала явно недостаточно для того, чтобы найти заранее неизвестный закон распределения случзйной величины; но все же зтот материал может быть обработан и использован для получения некоторых сведений о случайной величине.
Например, на основе ограниченного статистического материала можно определить †хо бы ориентировочно — важнейшие числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию, иногда — высшие моменты. На практике часто бывает, что в и д закона распределения известен заранее, а требуется найти только некоторые и з р а и е т р ы, от которых он зависит. Например, если заранее известно. что закон распрелеления случайной величины нормальный, то задача обработки сводится к определению двух его параметров и и е. Если заранее известно, что величина распределена по закону Пуассона, то подлежит определению только один его параметр; математическое ожидание а.
Наконец. в некоторых зздачах вид закона распределения вообще кесуществен. а требуется знать только его числовые характеристики. В данной главе мы рассмотрим ряд задач об определении неизвестных параметров, от которых зависит закон распределения случайной величины, по ограниченному числу опытов. ыл! осоввниости оввазотки огяаиичвиного числ~ опытов 313 Прежде всего нужно отметить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, все~да будет содержать элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение мы будем называть оценкой параметра. Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины в л независимых опытах.
При очень большом числе опытов среднее арифметическое будет с большой вероятностью весьма близко к математическому ожиданию. Если же число опытов п невелико, то замена математического ожидания средним арифметическим приводит к кзкой-то ошибке. Зта ошибка в среднем тем больше, чем меньше число опытов. Так же будет обстоять дело н с оценками других неизвестных параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
