Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Решение. Пользуясь той же формулой, что и в предыдущем примере, найдем математическое ожидание числа выстрелов до 2-го попадания: 2 т = — 6,67. 0,3 Пример 11. Вероятность обнаружения объекта радиолокатором с ро- стом числа циклов обзора растет по закону: Р(л) = 1 — 0,8», где л — число циклов, начиная с начала наблюдения. Найти математическое ожидание числа циклов, после которого объект будет обнаружен. Р с ш е н н с. Пользуясь ргзультатами задачи 1О данного параграфа получим: т„= 1~~~ [1 — Р(л)) =~ 0,8 = — 8-=5. л=о л=з П р и и е р 12. Для того чтобы выполнить опрелеленную задачу по сбору информации, в заданный район высылается несколько разведчиков. Каждый посланный разведчик достигает рзйона назначения с вероятностью 07.
Для выполнения задачи достаточно наличия в районе трех разведчиков. Один разведчик с задачей вообще справиться не может, а два разведчика выполняют ее с вероятностью 0,4. Обеспечена непрерывная связь с районом, н дополнительные разведчики йосылаются, только если задача еще ие выполнена. 246 числОВые хАРАктеРистики Функций слУЯАйных Величин 1гл. 1а Требуется найти математическое ожидание числа разведчиков, которые будут тюсланы.
Решение. Обозначим Х вЂ” число прибызших в район разведчиков, которое оказалось достаточным для выполнения задачи. В задаче 1О данного п' было найдено математическое ожидание числа опытов, ко~орое нужно для того, чтобы достигнуть определенного результата, вероятность которого с увеличением числа опытов возрастает по закону Р(п). Зто математическое ожидание равно: и»= ~ч'~~ [1 — Р(А)], В нашем случае; Р(0)=0; Р(1)=О; Р(2)=0,4; Р(3)=1; Р(4)=Р(5)= ... 1. Математическое ожидание величины Х равно: и = М [Х] = ~'~~ [1 — Р (А)] = 1+ 1+ 0 6 = 2 6. л=о Итак, для того чтобы задача была выполнена, необходимо, чтобы в район йрибыло в среднем 2,6 разведчика.
Теперь решим следующую задачу. Сколько разведчиков придется в средпем в ы с л а т ь в район для того, чтобы их в среднем прибыло и„) Пусть послано )г разведчиков. Число прибывших разведчиков можно представить в виде Х=Х+Х + ... +Х где случайная величина Хг принимает значение 1, если Рй разведчик прибыл, н О, если не прибыл, Величина Х есть не что иное, как сумма случайного числа случайных слагаемых (см.
задачу 11 данного п'). С учетом етого имеем: М [Х] = М [Х ] М [)г], откуда М [Х] 2,6 М [У]= М [г„] [Х,] яо М [Х~] = Р, где Р— вероятность прибытия отправленного разведчика (з нашем случае р = 0,7). Величина т„ нами только что найдена и равна 2,6. Имеем: т = М [ г'] = — ' ю 3,7!.
2,6 0,7 Пример 13. Радиолокационная станция просматривает область пространства, в которой находится Аг объектов. За один цикл обзора она обнаруживает каждый из объектов (независимо от других циклов) с вероятностью р. На один цикл требуется время -. Сколько времени потрсбуетса ня то, чтобы из 1У объектов обнаружить в среднеи А? Р е ш е н и е. Найдем прежде всего математическое ожидание числа сбнаруженных объектов после и циклов обзора. За л циклов однц (любой) вз объектов обнаруживается с вероятностью Р 1 (1 )л [э.з] пРименения теОРем О числОВых хАРАктеристикАЛ 247 а среднее число объектов, обнаруженных за и циклов, ио теореме сложения математических ожиданий (см.
задачу 5 данного п') равно: М(Х) =А](1 — (1 — р) ]. Полагая ]1](1 — (1 — р)") = А, получим необходимое число циклов л из уравнения л (1 )л решая которое, найдем: ( й) [а (1 — г) откуда время, необходимое для обнаружения в среднем к объектов, будет равно: Пример 14. Изменим условия примера 13. Пусть радиолокационная станция ведет наблюдение за областью только до тех пор, пока не будет обнаружено А объектов, после чего наблюдение прекращается или продолжается в новом режиме. Найти математическое ожидание времени, которое для этого понадобитсв. Для того чтобы решить эту задачу, недостаточно задаться вероятностью обнаружения одного объекта в одном цикле, а надо еще указать, как растет с увеличением числа циклов вероятность того, что нз ]]] объектов будет обнаружено не менее А.
Проще всего вычислить ату вероятность, если предположить, что объекты обнаруживаются независимо друг от друга. Сделаем такое допущение и решим задачу. Решение. При независимых обнаружениях можно наблюдение за АГ объектами представить как ][[ независимых опытов. После и циклов каждый из объектов обнаруживается с вероятностью Р„= 1 — (1 — р)л. Вероятность того, что после п циклов будет обнаружено не менее й объектов из Ф, найдем по теореме о повторении опытов: Ф Л' =~СР (1 — Р)" т=а Среднее число циклов, после которых будет обнаружено не менее й объектов, определится по формуле (10.3.22): 01 ~."- т [1-ЮГ[ = Р [1- Р СР: 11-1 О "--] л=е л=е т=а П р и м е р 15.
На плоскости лОу случайная точка М с коорднпатамн (х, ]'1 огкаепнетсн ог требуемого положения (начало координат) под влиянием трех независимых векторных ошибок У„]Уз и ]га. Каждый из векторов характеризуется двума составляющими: У1 (Х1, ] 1) ]Гз (Хь ] з), Ъ" а (Хз, ]'в) 248 числОВые хАРАктеристики ФУнкнии случАнных Величин [Гл, и (рис.
10.3.3). Числовые характеристики этих трех векторов равны: и =2, и = — 3, а =2, а 3, г = — 03, к, у~ ' и ' у~ ' коь и — 1, и = — 2, а =4, а 1 г =05, ки у, ' к~ = у, ' к у, ик =3, и =1, а„=2, а 2, г„у 02. кз Найти характеристики суммарной ошибки (вектора, отклоняющего точку М от начала координат). Р е ш е н и е. Применяя теоремы сложения математических ожидании, дисперсий и корреляционных моментов, получим: и +ил +и„4, У аз=аз +аз+аз, 14, а =)'14и 3,7а, где Ю откуда а Кку= 18+20+08=10 Рис. !0.3.3. 1,0 = а034. Пример 1б. Тело, которое имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами а, Ь, с, летит в пространстве, беспорядочно вращаясь вокруг центра массы так, что все его ориентации одинаково вероятны. Тело находится в потоке частиц, и среднее число частиц, встречающихся с телом, п опорцнонально средней площади, которую тело подставляет потоку. айти математическое ожидание паощади проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его двакеник.
Решение. Так как все ориентации тела в пространстве одинаково вероятны, то направление плоскости проекций безразлично. Очевидно, площадь проекции тела равна половине суммы проекций всех граней параллелепипеда (так как каждая точка проекции представляет собой проекцию двух точек на поверхности тела). у!рименяя теорему сложения математических ожиданий и формулу дли средней площади проекции плоской фигуры (см. пример 3 в' 10,1), получим: аЬ пс Ьс Яа и = — + — + — =— 2 2 2 где Яа — полная площадь поверхности параллелепипеда. Заметим, что выведенная формула справедлива не только для параллелепипеда, но и для любого выпуклого тела: средняя площадь проекции такого тела при беспорядочном вращении равна одной четверти полной его поверхности.
Рекомендуем читателю в качестне упражнения доказать зто положение. Тэ.з) пРименения теОРем О числовых хАРАктеристикАх 249 Пример 17. На оси абсцисс Ох движется случайным образом точка х по следующему закону. В начальный момент она накодится в начале коор- 1 1 динат и начинает двигаться с вероятностью — вправо и с вероятностыо —, 2 2 влево. Пройдя единичное расстояние, точка с вероятностью р продолжает двигаться в том же направлении, а с вероятностью я = 1 — р меняет его на противоположное. Пройдя единичное расстояние, точка снова с вероятностью р продолжает движение в том направлении, в котором двигалась, а с вероятностью 1 — р меняет его иа противоположное и т.
д. В результате такого случайного блуждания по оси абсцисс точка х после и шагов займет случайное положение, которое мы обозначим Х„. Требуется найти характеристики случайной величины Х„: математическое ожидание и дисперсию. Решение. Прежде всего, из соображений симметрии задачи ясно, что М [Х„[ = О. Чтобы найти Р [Х„), представим Х„в виде суммы и слагаемых: х„= и,+и,+ ... +и„- ч"„ив (10.3.31) где У! — расстоиние, пройденное точкой иа Г-м шаге, т. е. +1, если точка двигалась на етом шаге вправо, и — 1, если она двигалась влево, По теореме о дисперсии суммм (см.
формулу (10.2.10) ) имеем: )) [Х„[= ч',72[и
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
