Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Прон зодн.си и неззиисичьг,' опытов, з каждом из которых моькет появиться событие А. причем вероятность появления события А в 1-м опыте равна ро Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа появлений события А. Регленив. Рассмотрим случайную величину Х вЂ” число появлений события А. Так же как в предыдунтей задаче, гредставнм величину Х в виде суммы: и Х= ХХР 1=и где Хг — число появлений события в 1-м опыте.
т, е. математическое ожидание числа появлений событии при нескольких опытах равно сумме вероитностей событии в отдельных опытах. В частности, когда условия опытов одинаковы н 234 числовые хлелктевнстнкн екнкпнп слкчлпных величин 1гл, ы В силу независимости опытов случайные величины Хн Хю ....
Х„ независимы и к ним применима теорема сложения дисперсий: л к' с=1 Найдем дисперсию случайной величины 'Х,. Из ряда распределения (10.3.4) имеем: (0 Р ~0~+(1 Р ~ ~Рз — РЯр откуда л 1)г= ХРЖ (10.3.8) / а а = ~гг ~Раус 1=1 (10.3.9) При неизменных условиях опытов, когда р, = Рт = .. ° = Р„ = Р формулы (10.3,8) н (10.3.9) упрощаются и принимают вид: О„= вру, а„= '1гпрд. (10.3.10) Задача 6. Дисперсия числа появлений события при зависимых опытах. Производится п зависимых опытов, в каждом из которых может появиться событие А, причем вероятность события А в 1-м опыте равна р~ (1=1, 2, ..., и).
Определить дисперсию числа появлений события. Рещение. Для того цтобы решить задачу, снова представим число появлений события Х в виде суммы: а Х= ХХР (10.3.11) ~=1 где ~ 1, если в 1-м опыте событие А появилось, Х,. = 1 О, если в 1-и опыте событие А не появилось. Так как опыты зависимы, то нам недостаточно задать вероятности Р1 Рю ° ° ~ Р» т. е. дисперсия числа появлений события при нескольких независимых опытах равна сумме вероятностей появления и непоявления события в каждом опыте.
Из формулы (10.3.8) находим среднее квадратическое отклонение числа появлений события А: ззл1 пгнменвння теозам о числовых хлвактаанстнклх 235 того, что событие А произойдет в первом, втором, третьем и т. д. опытах. Нужно еще задать характеристики зависимости опытов. Оказывается, для решения нашей задачи достаточно задать вероятности Ры совместного появления события А как в 1-м, так и в г'-и опыте: Р((Х,=1)(Х1 — — 1) =Рчн Предположим, что эти вероятности заданы.
Применим к выражению (10.3.11) теорему о дисперсии суммы (формулу (10.2.10)): 1)к= Х Ок,+2~ КО, !1 ' 1</ где Кы — корреляционный момент величин Х, Х: (10.3.12) к, =м[х,х [. По формуле (10.2.19) М [Х Х ] = Реп КВ= Ры Рррр Подставляя это выражение в формулу (10.3.12), получим: л Р,= 2и Р~дс+2 ',э'. (Р — р~р,) (10314) ! 1 , 1<у Формула (10.3.14) и выражает дисперсию числа появлений события при зависимых опытах.
Проанализируем структуру этой формулы. Первый член в правой части формулы представляет собой дисперсию и~сна появления собьтия при независимых опытах, а гторой дает «поправку на зависимость». Если вероятность РЫ равна рррр то эта попРавка Равна нУлю. Если веРОЯтность Ры больше, чем Рпор это значит.
что условная вероятность появления события А в /-м опыте при условии, что в 1-и опыте оно появилось. больше. чем простая (безусловная) вепоятиость появления события в,/-н опыте» (между появлениями события в Г-и н г'-и опытах ииеется положительчая корреляция). Если это так для любой пары опытов, то поправочный член в формуле (10 3.14) положителен и дисперсия числа появлений события при зависимых опытах больше, чем при независимых.
Кц —— М!Х~Х~) — лгх лег = М [Х~Х)[ — р,рр (10,3,! 3) Рассмотрим случайную величину Х~ХД Очевидно она равна нулю, если хотя бы одна из величин Хп Х1 равна нулю, т. е. хотя бы в одном из опытов (1-и или г'-м) событие А не появилось. Для того чтобы величина Х~Х1 была равна единице, требуется, чтобы в обоих опытах (г-и и /-и) событие А появилось. Вероятность этого равна Ру. Следовательно, 236 г!ислоВые хАРАктеРистики ФУнкции слУчАиных Величин [гл. ю Если веРоЯтность Рц меньше, чем Р[РС (межДУ поЯвлениЯми события в [-и и С-м опытах существует отрицательная корреляция).
то соответствующее слагаемое отрицательно. Если это так для любой пары опытов, то дисперсия числа появлений события при зависимых опытах меньше, чем при независимых. рассмотрим частный случай, когда р, = рз = ... = р„= р, РН=Ри — — ... — — Р, т. е. условия всех опытов одинаковы. формула (10.3.14) принимает вид: й = и рд+ 2 ~~~ (Р— р~ = л рд+ и (п — 1) (Р— рз). (10 3.15) с<с где Р— вероятность появления события А сразу в паре опытов (зсе равно каких). В этом частном случае особый интерес представляют два подслучая: 1. Появление события А в любом из опытов влечет за собой с достоверностью его появление в каждом из остальных.
Тогда Р= р, и формула (10.3.15) принимает вид: Е),=лрд+ и(л — 1)(р — ра)=лрд+ п(п — 1) рд=пард. 2. Появление события А в любом из опытов исключает его появление в каждом из остальных. Тогда Р= О, и формула (10.3.15) принимает вид: В„= рд — (и — 1) рз = лр [д — (и — 1) р) = пр (1 — ир). Задача 7. Математическое ожидание числа объектов, приведенных в заданное состояние.
На практике часто встречается следующая задача. Имеется некоторая группа, состоящая из и объектов, по которым осуществляется какое-то воздействие. Каждый из объектов в результате воздействия может быть приведен в определенное состояние 5 (например, поражен, исправлен, обнаружен, обезврежен и т. п.). Вероятность того, что [-й объект будет приведен в состояние 8, равна рн Найти математическое ожидзнне числа объектов, которые в результате воздействия Р е нс е н н е.
Езажем с каждым из оньектов слУчайнУю величинУ Хн которая принимает значения 0 или 1: ~ 1. если [-й объект приведен в состояние 8, Х,=1 1 О, если С-й объект не приведен в состояние 8. Случайная величина Х вЂ” число объектов, приведенных в состояние о, — может быть представлена в виде суммы; п Х=Х Хп гкз1 пгименения теоеем о числовых хлелктееистиклх 237 Отсюда, пользуясь теоремой сложения математических ожиданий, получим: а ж.=Хм' р Математическое ожидание каждой из случайных величин Х, известно: гих =,пп ! Следовательно, яг =' ~,ри (10.3. 1 б) т. е.
математическое ожидание числа объектов, приведенных в состояние о', равно сумме вероятностей перехода в зто состояние для каждого из объектов. Особо подчеркнем, что для справедливости доказанной формулы вовсе не нужно, чтобы объекты переходили в состояние Ю независимо друг от друга. Формула справедлива для любого вида воздействия. Задача 8. дисперсия числа объектов, приведенныхх в заданное состояние. Если в условиях предыдушей задачи переход каждого из объектов в состояние 8 происходит неаависимо от всех других, то.
применяя теорему сложения дисперсий к величине л Х=ХХи получим дисперсию числа объектов, приведенных в состояние Я: О.=~О. = ч',Р,до е,=1 — Ро (10.3.1У) С1 ' Ю 1 Если же воздействие по объектам производится так, что переходы в состояние 3 для отдельных объектов зависимы, то дисперсия числа объектов, переведенных в состояние о, выразится формулой (см. задачу б) О = ~а р,ц+ 2 ~~'.~ (РЫ вЂ” р,ру), (10.3.18) 1=1 ю <! где Р,~ — вероятность того, что в результате воздействия 1-й и /-й объекты вместе перейдут в состояние 3. о ада ча 9.
Математическое о;к здание числа опытов до й-го нояалення со~ытия. Производится ряд независимых опытов, в каждом нз которых может с вероятностью р появиться событие А. Опыты проводятся ло тех пор, пока событие А не появится й раз, после чего опыты 238 числовые хлялктееистики вкнкцип слячлиных величин (гл. 1а прекращаются.
Определить математическое ожидание, дисперсию и с. к. о. числа опытов Х, которое будет произведено. Решен не. В примере 3 и' 5.7 были определены математическое ожидание и дисперсия числа опытов до первого появления события А: лг= —, 0= —, '7 ра где р — вероятность появления события в одном опыте. о = 1 — р — вероятность непоявления. Рассмотрим случайную величину Х вЂ чис опытов до л-го по- явления события А. Ее можно прелстазить в виде суммы: Х=Х,+Х,+ ...
+Х„, где Х, — число опытов до первого появления события А, Ха — число опытов от первого до второго появления события А (счнтая второе), Մ— число опытов от (й — 1)-го ло й-го появления события А (считая л-е). Очевидно, величины Хн Хт, ..., Х„независимы; каждая из ннх распределена по тому же закону, что и первая из них (число опытов до первого появления события) и имеет числовые характеристики 1 лгх = —, Е)х = — ° р а Р Применяя теоремы сложения математических ожиданий и дисперсий, получим: (1 0.3. 19) О = Задача !О.
Средний расход средств до до стяжения заданного результата. В предыдущей задаче был рассмотрен случай, когда предпринимается ряд опытов с целью получении вполне определенного результата — Л появлений события А, которое в каждом опыте имеет одну и ту же вероятность. Эга задача являеася частным случаем другой. когда производится ряд опытов с целью достижения любого результата В, вероятность которого с увеличением числа опытов а возрастает по любому закону Р(л).
Предположим, что на каждый расходуется опрсдслсннос количество сред 1з и. Требуется газ! пРименения теОРем О числОзых КАРАктеРистикАК 239 найти математическое ожидание количества средств, которое будет израсходовано. Решение. Для того чтобы решить задачу, сначала предположим. что число производимых опытов ничем не ограничено, и что они продолжаются и после достижения результата В. Тогда некоторые из зтих опытов будут излишними. Условимся называть опыт «необходимым», если он производится при еще не достигнутом результате В, и «излишним», если он производится при уже достигнутом результате В.
Свяжем с каждым (1-м) опытом случайную величину Х1, которая равна нулю или единице в зависимости от того, «необходимым» или «излишним» оказался этот опыт. Положим 1 , если опыт оказался «необходимым», Х,= О, если он оказался «излишним». Рассмотрим случайную величину Х вЂ” число опытов. которое придется произвести для получения результата В. Очевидно. ее можно представить в зиле суммы: х=х,+х,+ ... +х,+ ... (1о.3.2о) Нз величин в правой части (10.3.20) первая (Х,) является неслу- чайной и всегда равна единице (первый опыт всегда «необходим»). Ка1кдая из остальных — случайная величина с возможными значе- ниями 0 и 1.
Построим ряд распределения случайной величины Х, (1'> 1). Он имеет вид: (10.3.2 1) Р (1 — 1) 1 — Р (1 — 1) где Р(1 — 1) — вероятность достижения результата В после 1 — 1 опытов. Действительно, если результат В уже был достигнут при предыдущих 1 — 1 опытах, то Х, =0 (опыт излишен), если не достигнут, то Х, —.--! (Опыт необходим). Найдем математическое ожидание величины Х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
