Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимушеству такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.
В настоящем и' мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий. 1. Математическое ожидание неслучайной величины Если с — неслучайная величина, то М [с] =с. Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину с как частный вил случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по обшей формуле для математического ожидания: М [с]=с ° 1=с. 2. Дисперсия неслучайной величины Если с — неслучайная величина, то 0[с]=0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению дисперсии ]2 [с] = М [сз] = М [(с — гл )з] = М [(с — с)з] = М [О[ = О. 220 числовые хлсактввистики егнкции слвчаиных величии 1гл, ~в 3. Вынесение неслучайной величины ва виак математического ожидания Если с †неслучайн величина, а Х вЂ” случайиая, то М ]сХ) =сМ]Х], (10.2.1) т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания. Доказательство, а) Для прерывиых величин М 1сХ] = ~~~~~ сх, р, = с ~х, р, = сМ ]Х]. Ю б) Для непрерывных величин М ]сХ] = ~ сху'(х) с1х = с ~ хУ (х) дх = сМ]Х1. 4.
Вынесение иеслуч айной величины ва виак дисперсии и среднего квадратического отклонения Если с — неслучайная величина, а Х вЂ” случайная, то В]сх] = саП ]Х1, (10.2.2) т. е. неслучайнуе величину можно выносить эа знак дисперсии, возводя ее в квадрат. Докавательство. По определению дисперсии а]сХ]=М](сХ вЂ” М] Х])а] = = М 1(сХ вЂ” ст )я] = саМ ](Х вЂ” т„)а] = сЧ) ]Х]. Следствие в]сХ1 =]с]с]Х], т. е. неслучайную вели«иву мсжио вьиюсиг а«аиак ратического отклонения ее абсолютным аиачеиием.
Доказательство получим, извлекая корень квалратиый из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к,о. — существенно положительная величина, 221 ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ю.з[ 5. Математическое ожидание суммы случайных величин Докажем. что для любых двух случайных величин Х и Г с[4 [Х + У[ = И [Х[+ Л4 [У[, (10.2.3) т. е. мажемасиичесное ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их мавчемаюичесних ожиданий.
Это свойство известно под названием всеоремы сложении мавсемасиичесних ожиданий Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть (Х, )') — система прерызных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов: И [Х-+ )'[= Х Х(хс+у/) рс/= / = Х с~с хсрс/+ Хс с5~ У/Рс/ = с / = Х» лн!с Р /+ Х У/ Х» / ' с / Но ~ч'„р,/ представляет собой не что иное, как полную вероят/ ность того, что величина Х примет значение хс'.
Х Рс/=-Р(Х=«с)=рд / следовательно, ~~рсхс ~асср// — — ~~ь~хсрс = сИ [Х[. с Аналогично докажем, что Ху/Хрс =И[у[. с 'е н теорема докззана. б) Пусть (Х, у) — система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7) дс[Х+у[=- ~ ~ (х+у)/'(х. у)дхду= СО СО ~ х/ (х. У) дх ду+ ~ ~ уУ(х, у) с[х ду. (10,2.4) 222 чнсловыи хлвлктввистики ч!хнкцнп сл!»чайных наличии !гл.
ю Преобразуем первый из интегралов (10.2,4): ОО ОЭ »»Э !!*!»., »»».»»- ! ° !!»*, »»»» ~» -»о »ч »О »ч = ~ ху'! (х) дх = М [Х); аналогично ~ уУ(х, у)ихду=М1Г1, и теорема доказана. Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для л ю б ы х с л у ч а й н ы х в е л ичин — как аависимых. так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобцгается на произвольное число слагаемых: (10.2.6) ! !»=! т, е. мал!емал!ическое ожиданае суммы нескольких случайных величин равно сумме их маи!ематических ожиданий. Для доказательства достаточно применить метод полной индукции. 6. Математическое ожидание линейной функции Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов Х! Ха ° ° ° Хв' л Д а!Х,+д, где ап Ь вЂ” неслучайные коэффициенты. Докажем, что Г в М [ ~~ а!Х!+Ь~ = ~ а!М1Х!1+д, (10.2.6) 1=! ' ' »=1 т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.
ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 223 1з.п Доказательство, Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак и. о., получим; Г л Г и М ~~! а!Х!+ Ь ~ = М ~ ~! а!Х! + М [Ь] = ! ! 1=! =~ М [а!Х,1+ Ь =~ а!М[Х!]+ Ь. 1=1 1=! 7. Дисперсия суммы случайных величин Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент: П [Х+ Г] = П [Х]+1) [Ц+ 2Куу (10 2 7) Доказательство.
Обозначим (10.2.8) По теореме сложения математических ожиданий (10.2.9) Перейдем от случайных величин Х, Г. г. к соответствующим центрированным величинам Х. )', л,. Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем: По определению дисперсии ь> [Х+ У] = !) [х[ = М [ХУ! = = М]Х'1+ 2М[ХУ]+ М [Уз! =() [Х1+ 2Кку+1) []г] ° что и требовалось доказать. Формула (10.2.7) для дисперсия суммы может быть обобщена на любое число слагаемых: г ч ч и () ~~ Х, ~ = '~' П [Х,]+ 2 ~ Кен (10,2.10) где К, — корреляционный момент величин ХР Х; анак ((/ под сумкой обозиачаег, что сумннрованяе раснространг!ется на все возможные попаРные сочетаниЯ слУчайных величин (Хи Ха, ..., Х„). 224 числоВые хАРАктеРистики ФУнкции слУчАйных Величин [Гл.
10 Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена. Формула (10.2.10) может быть ваписана еще в другом виде: 1) ~ Х Х,~ = ч," ~ К,р (10.2.11) 1=1 1-1 [е! гле двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин (Х,, Х!...., Х„), содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии. Если все случайные величины (Хи Хз, ..., Х„), входящие в систему, некоррелированы (т. е. К[[ †0 при [чь,?), формула (10.2.10) принимает вид: а ~Д х,~ — $ а 1х,[, (10.2.12) 8. Дисперсия линейной функции Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин. и ~[~ а,Х, +Ь.
1=1 где а[, Ь вЂ” неслучайные величины. Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой 1х ~~~ а,Х,+ Ь1 = ~', а!1) (Х,~+ 2 ~' а,а К[р (10.2.13) [.1=1 ' ' й !.! 1<! где КН вЂ” корреляционный момент величин Хо Х. Доказательство. Введем обозначение: ?' = и.Х.. 1' Тогда ~~,'! а, Х, + Ь = ~ Г1+ Ь. (10.2.14) с-! 1=1 Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10,2.10) для дисперсии суммы и у-и!Тываяь что сх(Ь1 = О, получим: х Р~~) а,Х!+Ь~ = ~~'.~ 1)1!'!1+2 Ъ Х)Р11= ~а а!!1х'(Х[~+ 2 ~~ Хф.
' 1<1 1=! ' ' 1<! (10.2.15) т. е. дисперсия суммы неноррелироеанных случайных величин равна сумме дисперсий слаеаемых. Это положение известно под названием л[еоремы сложения дисперсий. теОРемы О числОВых хАРАктеРистиклх се.23 где Кгу' — коРРелЯционный момент величин Уо Усс К5=М[УУ,]. Вычислим зтот момент. Имеем: ус= с'с — ту =асХс — осту = асХс с аналогично Отсюда Ксс' = М [а,асХс Хс] = а,асМ [ХсХУ] = а,асКср Подставляя зто выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13). В частном случае, когда все величины (Х,, Хс... „Х„) некор релированны, формула (10.2.13) принимает вид: Г е л 0 ~~~ а,Х, +д~ = ~~~ а~11) [Х,], (10.2.16) ю=1 С 1 т.
е. дисперсия линейной функции некоррелироеаниых случайных величин равна сумме произведений кеадратое коэрсфициептое на дисперсии соответствующих арзумеятоз'). 9. М атем атич еское ожидание произведения случайных величин Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент: М [ХР]= М [Х] М [У]-[-Кху (10.2. 17) Докааательство. Будем исходить из определения коррелационного момента: К., = М [Х)'] = М НХ вЂ” т,иу — т,)].
ту= М[Х]; сп„=М[1'[. Преобразуем зто выражение, пользуясь свойстваии иатсиапгчс- ского ожидания: Куу ™ [(Х тх) ( ту)] — М[ХЦ т М[['[ лс М[Х]-[-т т =М[ХУ'] — М[Х]М[)'] -то, очевидно. равносильно формуле (10.2.17), ') Тзк как независимые величины всегда являются некоррелированнмин, тп гсе свойства, доназызаемые з данном а' для некоррелированиых величин, сяразедлнвы для независимых величии. 228 числовые хлелктеэистнкн ээнкцни слэчлйных величин [гл. |е Если случайные величины (Х, У) некоррелированны (К„=О), то формула (10.2.17) принимает внд: М [ХУ[= М [Х[М [У[, (10.2.18) т.
е. математическое ожидание произведения двух явкоррслироваккых случайных величин равна произведению их математических ожиданий. Это положение известно под нааванием теоремы умножения математических ожиданий. Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания: К„г=р =ам — т т„. (10.2.19) Это выражение часто применяется на практике прн вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание. Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелнрованны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении.
Этн условия заведомо выполнены при независимости случайных величян, входящих в произведение. В этом случае ПХ =~ [Х[ (10.2.20) т. е. математическое ожидание яроизввдеиия независимых случайных величия равно яроизведению их математических ожиданий. Это положение легко доказывается методом полной индукции. 1О. Дисперсия произведения независимых случайных величии Докажем, что для независимых величин Х, У В [ХУ[ = 7) [Х[0 [У[+ тт0 [У[+тт7) [Х[. (10 221) Доказательство. 0боаначим ХУ = Л. По определещно дисперсии П [ХУ[= В [~1 = М [к[= М [(Л вЂ” т,)э[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
