Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 33
Текст из файла (страница 33)
гихл' (87 5) Плотность распределения частной системы (Х . Х, ..., Х„), выделенной из системы (ХР Хз, ..., Х„), равна: (хп ха ..., хл)= лл лл ,~ 7(хн ха, ..., х„)аха+г ... ах„. (8.7.6) — лл СО Условным законом распределения частной системы (Х,, Хз, .... Ха) называется ее закон распределения, вычисленный при условии. что остальные величины Х„„,, ..., Х„приняли значения ха+,, .... х,. Условная плотность распределения может быть вычислена по формуле у(» х ( . х) ~~$ «2 ° ° хл) (8уу) Уа+д „л(ха+и " х») Случайные величины (Х,, Хя, ..., Х„) называются независимыми, если закон распределения каждой частной системы, выделенной из системы (Х,, Хз, ..., Х„), не зависит от того, какие значения приняли остальные случайные величины.
Плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных велкчин. входящих в систему: ,У(хп хы... х„)=У,(х,)У',(х,) ... Ул(хл). (8.7.8) Вероятность попадания случайной точки (ХР Хз, ..., Х„) в пределы и-мерной области 1) выражается л-кратным интегралом: Р ((Хг, Хм ..., Х„) ~ А)) = = ~ ... ~ 7'(хР хя, ..., х„)г(хгбх, '.
с(х„. (8.7.9) ри Формула (8.7.9) по существу является основной формулой для вычисления вероятностей событий, не сводящихся к схеме случаев. Действительно, если интересующее нас событие А не сводится х схеме сл"часа, то его ве"ояткость не может быть вычислена непосрелственно. Если при этом нет возможности поставить достаточное тясзо однородных опытов и пркблнжсщю определить вероятность событив А по его частоте, то типичная схема вычисления вероятности 184 системы слкчаииых величин (гл, а события сводится к следующему. Переходят от схемы событий к схеме случайных величин (чаще всего — непрерывных) и сводят событие А к событию. состоящему в том, что система случайных величин (Хр Х...., Х„) окажется в пределах некоторой области с). Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле (8.7.9).
П р и и'е р 1. Самолет поражается дистанционным снарядом прн условии, если разрыв снаряда произошел не далее чем на расстоянии Я от самолета точнее, от условной точки на оси самолета, принимаемой за его центр). ' зкон распределения точек разрыва дистанционного снарядз в системе координат, связанной с целью, имеет плотность У(х, у, л). Определить вероятность порюкения самолета. Решение. Обознзчая поражение самолета буквой А, имеем: Р(А) = ~ ~ ~ У(х, у, л) ял Лу Лл, <с> где интегрирование распространяется по шару С радиуса гг с центром з начале координат. П р и и е р 2.
Метеорит, встретившийся на пути искусственного спутника Земли, пробивает его оболочку, если: 1) угол 0, под которым метеорит встречается с поверхностью спутника, заключен в определенных пределах (бь 0,); 2) метеорит имеет вес не менее ла (г) и 3) относительная скорость встречи метеорита со спутником не меньше оа (лг/сея). Скорость встречи о, вес метеорита 0 н угол встречи 0 представляют собой систему случзйиых величин с плотностью распределения у (о, 0, 0). Найти вероятность р того, что отдельный метеорит, попзвшяй в спутник, пробьет его оболочку. Р е ш е н и е. Интегрируя плотность распределения У(о, 0, О) по трехмерной облзстн, соответствующей пробиванию оболочки, получим: гюаа ааааа а аь ш В, где 0 „ — максимальны й вес метеоРита, оемх — м а ксн малька Я скоРость встречи.
8.8. Числовые характеристики системы нескольких 'л у ч а и р ы и р,ч р " н н Закон распределения системы (запани ы й функцией распределения ил и плотностью распределения) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких случайных величин . Однако очень часто такая исчерпывающая характеристика н е м ожет бы ть применена . Иногда огр зи и че ни ость экспериментального м атер налз н е дзет вози оакяост н постро нть за ко н распределения системы . В д"уг ах случаях исследование вопроса с помощью сравнительно громоздкого аппарата аз к о и о в р ас пр с де лен и я пс о и р аядываст себя в связи с невысокими требованиям н к точности реву дьтата. Наконец, в ряде злв числовые хАРАктеРистики системы нескОльких Величин 185 задач .примерный тип закона распределения (нормальный закон) известен заранее и требуется только найти его характеристики.
Во всех таких случаях вместо законов распределения применяют неполное, приближенное описание системы случайных величин с помощью минимального количества числовых характеристик. Минимальное число характеристик. с помощью которых может быть охарактеризована система и случайных величин Хн Хг, ..., Х„, сводится к следующему: !) н математических ожиданий т1' т2' ' ' '~ ти характеризующих средние значения величин; 2) н дисперсий характеризуннцнх их рассеивание; 3) н(н — 1) корреляционных моментов К„=М(Х1Х,! (Т-,ь,у).
Х1 Х1 т1' Хг Хг тр где Все корреляционные моменты и дисперсии удобно расположить в виде прямоугольной таблицы (так называемой матрицы)1 Кн К!2 ''' К!ь ! Кгг Ки ° ° Кгь Кт К„... К„„ Эта таблица называется корреляционной матрицей системы случайных величин (Хн Хг ... Х )- Очевидно, что не зсе члены корреляцгюнной матрицы различны. Из определения корреляционного момента ясно, что Кы — — К „ т. е. гьгЕЛСНтЫ КОРРЕьгЯЦиОННОй ЛгаогРииЬС, РаСЛОЛОгнсйНЫЕ Саттстрично но отношению и главной диагонали, равны. В связи характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.
Заметим, что дисперсия каждой из случайных величин Хг есть, по существу, не что иное. как частный случай корреляц и о н н о г о и о и е н т а, а именно корреляционный момент величины Хг н той же величины Хр юг=к„= м[хЛ=м(хгх,!. 188 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1гл. з Корреляционную матрицу, составленную из элементов КВ, часто сокращенно обозначают символом 1,'1б,у,",. По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин Хи Хз, ....
Х,. В случае, когда случайные величины Хи Х,, ..., Х„ не коррелнрованы, все элементы коррелвционной матрицы, кроме диагональных, равны нулю: 0 0 0 ... 0 11, 0...0 АУЗ ° ° ° 0 ~!к„.~! = Такая матрица называется диазональной. В целях наглядности суждения именно о к о р р е л н р о в а ин о с т и случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто вместо корреляционной матрицы (~К;;() пользуются нормированной корреляционной мавгрипей ~(г;Д, составленной не из корреляционных моиентов, а из коэффициентов корреляции: КН Г, =— В а,ет о, = ~/В,.
а = '1ГВ~. Все диагональные элементы этой матрицы. естественно, равны едпшще. Нормированная корреляционная матрица имеет вид: 1 ' 'и г~з '' гш ~ 1 г„... гз„~ с этим часто заполняется не вся корреляционная матрица, а лишь ее половина, считая от главной диагонали: а,з! числОВые хАРАктеРистики системы нескОльких Величин 137 Введем понятие о некоррелированных системах случаиных величин (иначе — о некоррелированных случайных векторах).
Рассъщтрим две системы случайных величин: (Х„Х,, ..., Х„); (У,. У,, ..., Гв) плн два случайных вектора в и-мерном пространстве: Х с составляющими (Хи Хз, ..., Х„) и т" с составляющими (Уи 1;, ..., т'„). Случайные векторы Х н 'т' называются некоррелированными, если каждая нз составляющих вектора Х нс коррелнровапа с каждой из составляющих вектора 1'! К,т =тИ(Х!У))=0 прн 1=1...„н; !=1, ..., и.
ГЛАВА 9 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 9.1. Нормальный закон на плоскости Иэ ааконов распределения системы двух случайных величин имеет смысл специально рассмотреть нормальный закон, как имеющий наибольшее распространение на практике. Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют «нормальным законом на плоскости». В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой Г( -т )з М(г-т )(Г- „) (Г )ю.г 1 эн-г~~ ,р /(х, у)= е 'г 2аелаг)Г 1 — г' (9.1.1) Этот вакон зависит от пяти параметров: гл, ш„.
а, е и г. Смысл этих параметров нетрудно установить. Докажем, что параметры ш , ш„ представляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин Х и У; е„, а„ вЂ” их средние квадратические отклонения; г — коэффициент корреляции величии Х и У. Для того чтобы убелиться в эгон, найден прежле всего плотность распределения для каждой иэ величин, входящих в систему. Согласно формуле (8.4.2) у, (х) = / г (х, у) г(у = 139 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН НА ПЛОСКОСТИ 9.п Вычислим интеграл 1 ~ (с т с)2 2с (с-т ) (у ту) (у т )2 у — е у 2Н-М! ~ 2 У 1)у, Положимг х — тс у т„ =и — — ТГ а.с 1"2 ау )У 2 (9.1.2) тогда ОЭ У=а 2 )е'-' !аз аст,аса~ У гго. -СО Из интегрального исчисления известно, что — АС-В Е-Ас т2всаС АХ 1/ Е А 1) А В нашем случае 1 А тт — „; (9.1.3) ги .
ис в= — — ~; с= —, 1 — г ' 1 — гс' Подставляя зтн значения в формулу (9.1.3), имеем; 1 а ')l 2 )/к(1 г2) е-ы' откуда )'1 (х) = — = е-"*. 1 1 )г2 илн, учитывая (9.1.2), (с-т )2 1 2ас у'1 (х) = е (9. 1 А) Таким образом, величина Х подчинена нормальному закону с центром рассеивания и, н средним квадратическим отклонением а . ~Ы1а ЬЛ1псаа Па! 1Л '", ЧТО ') Для вычисления ингегрзла (9.1.3) достаточно дополнить показатель степени до полного квадрата н после замены переменной воспользоваться интегралом Зйлера — Пуассона (б 1.3). (у т)а У 1 2а 12(У)= — Е У (9.1.5) а, )'2я т. е. величина у подчинена нормальному закону с центром рассеивания гл и средним квадратическим отклонением а„.
190 ноемлльныи закон елспзеделения для системы величин !гл. в Остается доказатчн что параметр г в формуле (9.1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин Х и )'. Для этого вычислим корреляционный момент: К, = ) ) (х — л!„)(у — т )2 (х, у)с(хну. где ле„, и! — математические ожидания величин Х и )г. Подставляя в эту формулу выражение )" (х, у), получим! ОЭ 1 (9.1.6) где Г ( — ')' 2 (! — г')( а~~ 2г (х — и „) (у — и ) (у — щ )2 У ( У ~ге„ У А(х. у)— х — юг 1 (у — т У х — т, =и; — — — г — — ') =щ. (9.! 2) аг )" '2 )Г2 (1 — г') ! ет Якобиан преобразования равен 2а а 'рг1 — гз, следовательно, ! ! /г .гз .г.„е1, ги Кх = — 1 1 (иа„у 2!а р 2(1 — г'"')!И+ !Е- '-глйииа— г ! — г."! 2~ ~ гг! — г~ ~ ие-"*с(и / тле-"'Фее+ СО СО 2ехе г + — ~ иее-"'!)и / е- 'рте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
