Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Ре. 3 )А ЮР б б 19 е. с. веюцееь 1?8 системы случайных Величин !Гл. з то корреляционный момент будет мал. какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины (Х, 1'). Поэтому для характеристики связи между величинами (Х, У) в чистом виде переходят от момента К„ к безразмерной характеристике К«у (8.6.1 1) где а, о„ вЂ” средние квадратические отклонения величин Х, 1'. Эта характерйстика называется коэффициентом корреляции величин Х и У, Очевидно, коэффициент корреляции обрашается в нуль одновременно с корреляционным моментом; следовательно, для независимых случаднык величин коэффициент корреляции равен нуля. Случайные величины, для которых корреляционный момент (а значит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некоррелированными (иногда — «несвязанными»). Выясним, эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Выше мы доказали, что две независимые случайные величины э' всегда являются некоррелированными, Остается выяснить: справедливо ли обратное положение, вытекает лн из некоррелированности величин их независимость? Оказывается — нет.

Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зависимыми. Равенство нулю коэффициента корреляции †необходим, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных Рзс. 86.1 величин вытекает ик некоррелирован- ность; напротив, из некоррелнрованности величин еще не следует их независимость.' Условие независимости случайных величин †бол жесткое, чем условие некоррелированности. Убсдпу!ся и этом на гримере. Рассмотрим систему слушпных величин (Х, У), распределенную с равномерной плотностью внутри круга С радиуса г с центром в начале координат (рис.

8.6.1). Плотность распределения величин (Х, У) выражается формулой 1 с при ха+уз( гз, !! О при ха+уз „» гз. 1 Из условия / ~ у'(х, у)цхФу= ~ ~ саха!у=! находим с= —,. зг' ОО !С! еы чнсловыя хлглктявистнки снстямы двух величин 179 Нетрудно убедиться, что в данном примере величины являются зависимыми. Действительно, непосредственно ясно, что если величина Х приняла, например, значение О, то величина 1' может с равной вероятностью принимать все значения от — г до + г; если же величина Х приняла значение г. то величина Г может принять только одно-единственное значение, в точности равное нулю; вообще, диапазон возможных значений У зависит от того, какое значение приняла Х.

Посмотрим, являются ли эти величины коррелированными. Вычислим корреляционный момент. Имея в виду, что но соображениям симметрии т«=гл =О. получим: К„т= ~ ~ хуУ(х, у)ФхИу=, ( ~ хуг(хну. (8.6.12) /' 1с1 <с1 Для вычисления интеграла разобьем область интегрирования (круг С) на четыре сектора Сн См Сз, Сю соответствующие четырем координатным углам. В секторах С, и Сз подынтегральная функция положительна, в секторах Сз и С« — отрицательна; но абсолютной же величине интегралы но этим секторам равны; следовательно, интеграл (8.6.12) равен нулю, и величины (Х, Г) не коррелированы.

Таким образом. мы видим, что из некоррелированности случайных величии не всегда следует их независимость, Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) но линейному закону.

Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выраженной, более или менее приближаться к функциональной. т. е. самой тесной линейной зависимости. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Вели случайные величины Х и У связаны точной линейной функциональной зависимостью: У= лХ+К то г„„= + 1, причем знак «плюсь или «минус» берется в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент а.

В общем случае, когда величины Х и )' связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах: — 1<г„у<1'). '1л,„, *,, „юь„,„„,, ~оз., «а«мы познакомимся с некоторыми теоремами теории вероатностей, котоРые позволят нровести его очень проста. 16О систимы слгчлпных вяличип [гл ь В случае г ) О говорят о положительной корреляции величин Х и У, в случае г СΠ— об отрицательной корреляции. Положительная корреляцйя между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что прн возрастании одной из случайных величин- другая имеет тенденцию в среднем убывать.

В рассмотренном примере двух случайных величин (Х, г'), распределенных внутри круга с равномерной плотностью, несмотря на наличие зависимости между Х и Г. линейная зависимость отсутствует; при возрастании Х меняется только диапазон изменения У, Ряс. 8.6.2. Ряс. 6.6.3.

а его с р е д н е е з н а ч е н н е не меняется; естественно, велкчины (Х, У) оказываются некоррелированными. Приведем несколько примеров случайных величин с положительной и отрицательной корреляцией. 1. Вес и рост человека связаны положительной корреляцией. 2.

Время,. потраченное на регулировку прибора пря подготовке его к работе, и время его безотказной работы связаны положительной корреляцией (если, разумеется, время потрачеи> разумно). Наоборот, время, потраченное на подготовку, и коллчество неисправностей, обнаруженное прн работе прибора. связаны отрицательной корреляцией.

3. При стрельбе залпом координаты точек попадания отдельных снарядов. связаны положительной корреляцией (так как имеются общие для всех выстрелов ошибки прицеливания, одинаково отклоняющие от цели каждый из них). 4. Производится два выстрела по цели; точка попадания первого выстрела регистрируется, и в прицел вводится поправка, пропорциональная ошибке первого выстрела с обратным знаком. Координаты ае1 числовыв хлвлктегистики систимы двтх виличин 181 точек попадания первого и второго выстрелов будут связаны отрицательной корреляцией.

Если в нашем распоряжении имеются реаультаты ряда опытов над системой двух случайных величин 1Х, К), то о наличии или отсутствии существенной корреляции между пими легко сулить в первом приближении по графику, на ° ° ° котором изображены в виде точек все полученные из ° ° ° опыта пары значеиий случайных величин, Например, если наблюденные пары зна- ° ° чений величин расположи- Ф ° лись так, как показано на * рис. 8.6.2, то зто указывает па наличие явно выраженной положительнойкорреля- Рве, 8.6.4, ции между величинами.

Еще более ярко выраженную положительную корреляцию. близкую к линейной фупкциоиальиой аависимости, наблюдаем иа рис. 8.6. 3. На рис . 8.6,4 показан случай сравнительно слабой отрицательной карреляции. Наконец. иа рис. 8.6.5 иллюстрируется случай практически Ряс. 8.6.5, пекоррелированных случайных величии. На практике, перед тем как исследовать корреляцию случайных величин, всегда полезно предвариельио построить иаблюдеппые пары значений иа графике для первого качественного суждения о типе корреляции. Способы определения характеристик системы случайпых величин из опыта будут освещены в гл. 14. 182 системы слгчлиных величин [гл. а 8Л.

Система произвольного числа случайных величин На практике часто приходится рассматривать системы более чем двух случайных величин. Этн системы интерпретируются как случайные точки или случайные векторы в пространстве того или иного числа измерений. Приведем примеры. 1. Точка разрыва дистанционного снаряда в пространстве характеризуется тремя декартовыми координатами (Х, 1', л) или тремя сферическими координатами Я, Ф, 6). 2.

Совокупность л последовательных измерений изменяющейся величины Х вЂ” система и случайных величин (Хп Хы ..., Х„). 3. Производится стрельба очередью из и снарядов. Совокупность координат л точек попадания на плоскости †систе 2л случайных величин (абсцисс и ординат точек попадания): (ХиХ,..., Х„, уи у,..., у„). 4.

Начальная скорость осколка — случайный вектор. характеризуемый тремя случайными величинами: величиной скорости Ъ'е и двумя углами Ф и В, определяющими направление полета осколка в сферической системе координат. Полной характеристикой системы произвольного числа случайных величин служит закон распределения системы, который может быть задан функцией распределения нли плотностью распределения. функцией распределения системы л случайных величин (Х,, Хз, ..., Х„) называется вероятность совместного выполнения л неравенств вида Х~ < х,: Р(хи х...., х„) =Р((Х, < х,)(Х, < х,) ° .

(Х, < х,)) (8 У 1) Плотностью распределения системы л непрерывных случайных величин называется и-я смешанная частная проиаводная функции Р(хи хю ..., х„), взятая одни раз по каждому аргументу: Зная закон распредглеши системы, можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если в функции распределения системы положить все остальные аргументы равными со: Р~ (х1) = Р (хп оо,, со), (8.У.З) Если выделить из системы величин (Хи Хя , Х,) частную систему (Х,, Хю ..., Ха), то функция распределения втой системы определяется по формуле Рьа ..., а(хь хз ..., ха) = Г(хь хю ..., хю со, ..., со). (8.у.4) а,п системА пРОизВОльнОГО числА слгчАнмых Величин 183 Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по всем остальным аргументам: л1( 1) ~ ' ~ з ( и ~з' '''' ~л)с~~а ''.

Характеристики

Список файлов книги