Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 29
Текст из файла (страница 29)
8.2.!. наглядной иллюстрации этих свойств. 1. Функция распределения Р (х, у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е. прн х~> х, Р(х,. у))~Р(х!. у); при у ) у, Р(х, у,)) Р(х, у,). В этом сводстве функции Р(х) можно наглядно убедиться, пользуясь геометрической интерпретацией. функции распределения как вероятности попадания в квадрант с вершиной (х, у) (рис. 8.2.1). Действительно, увеличивая х (смещая ф' Рнс. 8.2.3, Рис. 8.2.2. правую границу квадранта вправо) илн увеличивая у (смещая верхщою границу вверх), мы.
очевидно, не можем уменьшить вероятность попадания в этот квадрант. 11 в. С. веитквль 182 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН игл. э 2. Повсюду на — со функция распределения равна нулю: Р (х, — со) = Р ( — оо, у) = Р ( — оо, — со) = О. В этом свойстве мы наглядно убеждаемся, неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта (х -» — со) или вниз его верхнюю границу (у -» — со) или делая это одновременно с обеими границами; при этом вероятность попадания в квадрант стремится к нулю.
3. При одном из аргументов, равном + со, функция распределении системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: Р (х, + со) = Р,(х), Р (+ со, у) = Р (у), где Р,(х), Рз(у) — соответственно функции распределения случайных величин Х и У. В этом свойстве функции распределения можно наглядно убедиться, смещая ту или иную из границ квадранта на + со; прн атом в пределе квадрант превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной из величин. входящих в систему.
4. Если оба аргумента равны +со, функция распределения системы равна единице: Р(+ со, +со) =1. Действительно, при х-»+со, у-»+со квадрант с верщиной (х. у) в пределе обращается во всю плоскость хОу, попадание в которую есть достоверное событие. При рассмотрении законов распределения отдельных случайных величин (глзва 5) мы вывели выражение для вероятности попадания случайной величины в пределы заданного участка. Эту вероятность мы выразили как через функцию распределения, так и через плотность распределения. Аналогичным вопросом для системы двух случайных величин является вопрос о вероятности попадания случайной точка (Х,1') в гцзедеиы заданной ооизсти Ру ни плоскости л()у (рис. 8.2.4Р Условимся событие, состоящее в попадании случайной точки (Х, У) в область П, обозначать символом (Х.
У)с= В. Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражается наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельнывщ координатным осям. Выразим через функцию распределения системы вероятность попадания случайной точки (Х. у) в прямоугольник й, ограниченный абсциссами з и р и ординатами ( и 6 (рис. 8.2.5).
п~о~~~с~ь иаспввделвния снсткмы двтх взлнчнн 163 8.31 При этом следует условиться, куда мы будем относить границы прямоугольника. Аналогично тому, как мы делали для одной случайиоя величины, условимся включать в прямоугольник Й его нижнюю и левую гранины и не включать верхнюю и правую').
Тогда событие (Х, У)<=)Ь булет равносильно произведению двух событий: а Х<~ и Т ~( г < Ь. Выразим вероятность этого события через Рис. 8.2.5. Рве. 8,2.6, функцию распределения системы. Для этого рассмотрим на плоскости лОу четыре бесконечных квадранта с вершинами в точках (р, Ь); (и, Ь); (р, 1) н (ц, Т) (рис. 8.2.6). Очевидно, вероятность попадания в прямоугольник Я равна вероятности попадания в квадрант (р, Ь) минус вероятность попадания з квадрант (а, Ь) минус вероятность попадания в квадрант (р. Т) плюс вероятность попадания в квадрант (а. 1) (так как мы дважды вычли вероятность попадания в этот квздрант). Отсюда получаем формулу, выражающую вероятность попадания в прямоугольник через функцию распределения системы: Р((Х, г')~Р)=Р(р, Ь) — Р(а.
Ь) — гч(р, Т)+гч(и, Т). (8.2.2) В дальнейшем, котла будет введено понятие плотности распреде- ны вьшедеи формулу лля вероятности попздзвия случзяноя точки в область произвольной формы. 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величии Ввеленная в предыдущем и' характеристика системы †функц распределения — существует для систем любых случайных величин, гл не н ю ппмгтнческое значение '! н Рв, В.22 р .~л, * р ур: Р"""н" лич,жни. 164 СИСТЕМЫ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл а имеют системы непрерывных случайных величин. Распределение системы непрерывных величии обычно характеризуют не функцией распределения, а п л о т н о ст ь ю р а спределения.
Вводя в рассмотрение плотность распределения для одной случайной величины, мы определяли ее как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении. Аналогично определим плотность распределения системы двух величин. Пусть имеется система двух непре. рывных случайных величин (Х, у), которая интерпретируется случайной точкой Рис.
8.8.1. на плоскости хОу. Рассмотрим на втой плоскости малый прямоугольник )сь со сторонами Ьх и Ьу, примыкающий к точке с координатами (х, у) (рис. 8.3.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник по формуле (8.2.2) равна Р((Х, 1') ~МА)=Р(х+Ьх, у-)-Ьу)— — Р(х+йх, у) — Р(х, у+ Ау)+ Р(х, у). Разделим вероятность попадания в прямоугольник )сь на плошадь этого прямоугольника н перейдем к пределу при Ьх-ь О и Ьу-ь О: Р((Х, )') ~)[в) вх-+о ах ау .втчо Р(х+ ах, у+ ау) — Р(х-1-ах, у) — Р(х, у+ау)+Р(х, у) ьх.+о Ьх ду аз+о (8.3.1) Предположим, что функция Р(х, у) не только непрерывна, но и дифференцируема; тогда правая часть формулы (8.3.1) представляет собой вторую смешанную частную проазводную функции Р(х.
у) по х и у. Остозссачизс зту производную Г(х у): у (х, у) = = Р„г(х. у). (8.3.2) Функция у' (х, у) называется плотностью распределения системы. Такнм образом. плотность распределения системы представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к плошади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю; она мохсет быть выражена как вторая смешанная частная производная функции р спределеспш системы ло обоим аргументам. з»1 плОтнОсть 'РлспРздвлиния системы двхх взличин 1бб Если воспользоваться «механической» интерпретацией распределения системы как распрелеления единичной массы по плоскости хОу.
функция у(х. у) представляет собой плотность распределения массы з точке (х, у). Геометрически функцию у'(х. у) можно изобразить некоторой поверхностью (рис. 8.3.2). Эта поверхность аналогична кривой распределения для одной случайной величины и называется поеерхностза Ф~Ф распределения.
Если пересечь поверхность распределения Г(х, у) плоскостью, парзллельной плоскости хОу, и спроектировать полученное сечение на ,'а л плоскость хОу, получится кривая, з каждой точке которой плотность распределения постоянна. Такие кривые нааываются приемли равной плотности. Кривые равной плотности, очевидно, представляют собой зоризонта*и поверхности распределения. Часто бывает удобно задавать распределение семейством кривых равной плотности. Рассматривая плотность распределения )г(х) для одной случайной величины. мы ввели понятие «элемента вероятности» у'(х)ах.
Это есть вероятность попадания случайной величины Х на элементарный участок йх, прилежащий к точке х. Аналогичное понятие «элемента вероятности» вволится и для системы двух случайных величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение у (х, у) ах йу. Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания в элементарный прямоугольник со сторонами с(х, Рис. З.З.З. Иу, примыкающий к точке (х, у) (рнс. 8.3.3). Эта вероятность равна объему элементарного пзраллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью у(х, у) и опиРаюшегося на элементарный прямоугольник йхйу (рис.
8.3.4). Пользуясь понятием элемента вероятности. выведем выражение для вероятности попадания случайной точки в произвольную область О. Эта вероятность, очевидно, может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области Ы Р ((Х, У) ~ О) = ~ ~ у (х, у) йх й у. <и> (8.3.3) 166 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1гл. а Геометрически вероятность попадания в область 0 изображается объемом цилицарического тела С, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося иа область О (рис.
8.3.5). Рис. 8.3,5: Рис. 3.3.4. Из общей формулы (8.3.3) вытекает формула для вероятности попадания в прямоугольник )с, ограниченный абсциссами и и (1 и ординатами 1 и Ь (рис. 8.2.5): (8.3.4) а у Воспользуемся формулой (8.3.4) для того, чтобы выразить фуикцию распределения системы г'(х, у) через плотность распределения у (х, у). Функция распределения гч(х, у) есть вероятность попадания в бесконечный квадрант; последний можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами — со и х и ординатами — сх> и у.
По формуле (8.3.4) имеем: л г" (х, у) = ~ ) у (х, у) аух ууу. (8.3.5) Легко убедиться в следующих свойствах плотности распределения системы: 1. Г!лотиость распределения системы есть функция неотрицательная: у(х, у) )~ О. Это ясно из того, что плотность распределения есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника — и, следовательно, отрицательной быть ие может.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
