Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Согласно методу моментов, параметры а, Ь, ... выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая у'(х) аависит только от двух параметров а и Ь, эти параметры выбираются так, чтобы математическое ожидание ш„н дисперсия О„ теоретического распределения совпадали с соответствующими статие сгнческими хаРактеРистиками ал и 1) Если кРиваЯ 7'(х) аависит от пзрзметроз, можно оозобрать ррт тзк, чтобы согрпз ш герзые трн момента, и т, д. При выравнивании статистических рялоз может оказаться полезной специально разработанная система кривых Пирона, каждая из которых зависит в общем случае от четырех параметров.
При выравнивании эти параметры выбираются с тем расчетом, чтобы сохранить первые четыре момента статистического распределения (математическое ожидание, дисперсию, третий н четвертый р'р. Орн„„,, р „р,р,ри, *р р, »». р '1 См., например, В. И. Р о и а н о в с к н й, Математическая статистика, ОНТН, 1939. 10 е. с.
Верррчель 146 законы РАспРеделения случАйных Величин [гл. т по иному принципу, дал Н. А. Бородачев'). Принцип, на котором строится система кривых Н. А. Бородачева, заключается в том, что выбор типа теоретической кривой основывается не на внешних формальных признаках, а на анализе фиаической сущности случайного явления нли процесса, приводящего к тому или иному закону распределения. Следует заметить, что при выравнивании статистических рядов нерационально пользоваться моментами порядка выше четвертого, так как точность вычисления моментов резко падает с увеличением ик порядка. Пример.
1. В и' 7,3 (стр. 137) приведено статистическое распрелеление боковой ошибки наводки Х при стрельбе с самолета по наземной цели. Требуется выровнять зто распределение с помощью нормального закона: [х-ш)» 1 у(х) == е а У'2»» Решение. Нормальный закон зависит от двух параметров: т и е.
[[одберем зги параметры так, чтобы сохранить первые дза момента — математическое ожидание и дисперсию — статистического распределения. Вычислим приближенно статистическое среднее ошибки наводки по формуле (7.4.7), причем за представителя каждого разряда примем его середину: тп — 3,5 ° 0,012 — 2,5 ° 0,050 — 1,5 ° 0,144 — 0,5 0,266+ 0,5 ° 0,240+ + 1,5 0,176+ 2,5 ° 0,092+ 3,5. 0,020 0,168.
Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент по формуле (7.4.9), полагая а=2, я=8 » г зт —— У х[,е! — — 2,126. г=! Пользуясь выражением дисперсии через второй начальный момент (формула (7.4.6) ), получим: Р. =за (згх) =2126 0028=2098. Выберем параметры гл н а нормального закона так, чтобы выполнялись условия: г гл=з»,„е = Р„, то есть примем: и» = 0,168; а 1,448. Напишем выражение нормального закона: !х-к!аз!» у(х) = =е г !.»»м 1,448 у' 2з Н.
А. Вор ода чев, Основные вопросы теории точности производства, АН СССР, М.— Л., 1950. 147 ВЫРАВНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ Пользуясь в табл. 3 приложениа, вычислим значения /(х) на границах разрядов х У (х) Построим на одном графике (рис. 7.5.2) гистограмму и выравнивающую ее кривую распределения. Йз графика видно, что теоретическая кривая распределения / (х), сохраняя, в основном существенные особенности статистического распределения, свободна от случайных неправильностей хода гистограммы, которые, по-вили- мому, могут быть отнесены за счет случайных причин; более серьезное обоснование последнему суждению будет дано в следующем параграфе, -/ -3 -я -/ /7/л'" / у .у / х Рис.
7.5.2. Примечание. В данном примере при определении 0„мы воспользовались выражением (7А.б) статистической дисперсии через второй начальный момент. Этот прием можно рекомендовать только в случае, когда математическое ожидание и', исследуемой случайной величины Х сравнительно невелико; в противном случае фоомула (7А.б) выражает дисперсию /), как разность блиаких чисел и лает весьма малую точность.
В случае, когда зто имеет место, рекомендуется либо вычислять /:)„ непосредственно по формуле (7.4.3), либо перенести начало координат в какую-либо точку, близкую к и„, и затем применить формулу (7.4.6). Пользование формулой (7.4.3) равносильно перенесению начала координат в точку и';, это может 148 ЗаКОНЫ НЛСПРЭДЕЛЕНИН СЛКЧЛННЫх ВЭЛИЧИН 1ГЛ оказаться неудобным, так как выражение т„' может быть дробным. и вычитание ш„из каждого х, при этом излишне осложняет вычисления; поэтому рекомендуется переносить начало координат в какое-либо круглое значение х, близкое к и'. Пр имер 2.
С целью исследования закона распределения ошибки намеренна дальности с помощью радиодальномера произведено 400 измерений дальности. Результаты опытов представлены в виде статистического ряда: 20; 30 30; 40 40; 50 50; 60 60; 70 70; 80 80; 90 90; 100 7~ (м) 6! 5! Т! 38 21 0,160 0,095 0,128 0,165 0,180 0,140 0,080 Выровнять статистический ряд с помощью закона равномерной плотности. Р е шеи не.
Закон равномерной плотности выражается формулой 1 — при а<х<81 у(х) = 8 — а 0 при х<а или х>8 и зависит от двух параметров л и 8. Эти параметры следует выбрать так, чтобы сохранить первые два момента статистического распределения — матемагическое ожидание л!„и дисперсию 1)л. Из примера и 5.8 имеем выражения математического ожидания и дисперсии для закона равномерной плотности; +8. юг 2 (8 — )' 12 Для того чтобы упростить вы шелепин связанные с определением статистических момен!ов, перенесем кача.!о отсчета в точку х„=оО и нр!!.!ем за представителя каждого разряда его середину. Ряд распределения примет вид: Ъ !-3! — !! ( — !! -! ( ! (Рр И )3! ! ! р; ! 0,052! 0,180 ! 0,165 0,095 ( 0,128 ( 0,140 ( 0,160 ~ 0,080 П -~ ! где х~ — среднее для разряда значение ошибки радиодальномера Х' при но- вом начале отсчета.
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ Приближенное значение статистического среднего ошибки Х' равна А Х "ьпг = 0 26. !49 Второй статистический момент величины Х' равен: А аз = ~'. (х,) рг — 447,8, г=1 откупа статистическая дисперсия: В,, = аз — (т~,) = 447,7. Переходи к прежнему началу отсчета, получим новое статистическое среднее: т„= т, + 60 = 60,26 и ту же статистическую дисперсию: 1) = Рх, = 447,7.
Параметры закона равномерной плотности определяются уравнениями: +3 . (6 — )' 2 ' ' 12 = 60,26; — = 447,7. Решая зги уравнения относительно а и Р, имеем: а т 23,6; р т 96,9, откуда у(х) = = — т 0,0136. ! 1 Р— а 73,3 На рве. 7.5.3. показаны гистограмма и выравнивающий ее закон равномерной плотности У (х). И л х~ а)т Ю !22 Рис. 7.5.3. 7.6. Критерии согласия В настоящем и' мы рассмотрим один из вопросов, связанных с проверкой правдоподобия гипотез, а именно †вопр о согласованпгстп теоретического н стлтнстнчсского распределения. Допустим, что данное статистическое распределение выравнено с помощью некоторой теоретической кривой у(х) (рис. 7.6.1). Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения.
Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения ко случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются сущестпшщыии и связаны с тем, что подобранная нами кривая плохо выравнивает данное ста'тическое распределение. для ответа на такой вопрос служат так называемые «критерии согласия». 150 ° ВАкОны РАспРеделения случАиных Величин )гл. т Идея применения критериев согласия заключается в следующем. На основании данного статистического материала нам предстоит проверить гипотезу Н, состоящую в том, что случайная величина Х подчиняется некоторому определенному закону распределения. Этот закон может быть задан в той или иной форме: например, в виде функции распределения с'(х) или в виде плотности распределения)(х), или же в виде совокупности вероятностей рп где р, — вероятность того, что величина Х попадет в пределы (-го разряда.
Рис. Ч.бл. Так как из этих форм функция распределения г'(х) является наиболее общей и определяет собой любую другую, будем формулировать гипотезу Н, как состоящую в том, что величина Х имеет функцию распределения г'(х). Для того чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, рассмотрим некоторую величину У, хзрактеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина У может быть выбрана различными способами; например,:в качестве У можно взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей р~ от соответствующих частот р*,. или же сумму тех же квадрзтоз с нгкоторыии коэффициентами (явгсами»), или же максимальное отклонение статистической функции распределения г"'(л) от теоретической Р(х) и т. д Допустим, что величина У выбрана тем илн вным способом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
