Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 21
Текст из файла (страница 21)
2ьь Р Интегрируя по частям, получим: Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так как е-Р прн Г-ьсо убывает быстрее, чем возрастает любая степень Г), второе слагаемое по формуле (6.1.3) равно ~/и. откуда 0 [Х[= еа. Следовательно, параметр а в формуле (6.1.1) есть не что иное, как ср.днес квадратическое отклонена; величины Х. Выясним смысл параметров ю н а нормального распределения. Непосредственно из формулы (6.1.1) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания и, Это ясно из того, что при изменении знака разности (х — т) на обратный выражение (6.1.1) не меняется.
Если изменять центр рассеивания ю, кривая распределения будет смешаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рнс. 6.1,2). Центр рассеивания характеризуег положение распределения на оси абсцисс. Размерность центра рассеивания — та же, что размерность случайной величины Х. ногмлльнып закон н вго плглмнтвы еп Параметр а характеризует не положение, а самую форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна а] прн увеличении е максимальная ордината уменьшается. Так как площадь 0 а пл Яу Рнс. 6.].2, кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении а кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении е кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. На рис.
б. 1 .3 показаны три норма льные кривые (У, П, Ш) при лг = О] из них кривая У соответствует Рис. 6.].3. самому большому. а кривая ПУ вЂ” самому малому значению е. Иамецеш,е параметра о равносильно изменению масштаба крявой распрен]ению по другой. азнерност' лсрааютра с, сст 'с]ванно, сьзнадасг с размерное]ью случайной величины Х, 120 ноямальнын закон плспяедиления (гл. е В некоторых курсах теории вероятностей в качестве характеристики рассеивания для нормального закона вместо среднего квадратического отклонения применяется так называемая мера точности.
Мерой точности называется величина, обратно пропорциональная среднему квадратическому отклонению а: 1 а 'г' 2 Размерность меры точности обратна размерности случайной величины. Термин «мера точности» заимствован из теории ошибок измерений: чем точнее измерение, тем больше мера точности.
Пользуясь мерой точности Й, можно записать нормальный закон в виде: у (х) = е-ьц — 'г. Ь г' к 6.2. Моменты нормального распределения Выше мы доказали, что математическое ожидание случайной величины, подчлненной нормальному аакону (6.1.1), равно т, а среднее квадратическое отклонение равно е. Выведем общие формулы для центральных моментов любого порядка. По определению: р, = ~ (х — т)' у'(х)с(х = (х-му 1 /' — / (х — ш)'е '* Их, Делая замену переменной х — ш е 'г'2 получим: (я 1Г2) (' .х г' я Применим к выражению (6,2.1) формулу интегрирования по частим: (') 2) ~', - г -",1 (а)2) ~ 1 нз 1 ~ + з — 1 ~'„,з-т н(1 — ~ — — е 1 — 1 е моменты ноемлльного елспведеления 121 Имея в виду, что первый член внутри скобок равен нулю, получим: (в — 1)(а г 2) 1 а — 2 -Р 2г" я (6,2,2) Из формулы (6.2.1) имеем следующее выражение для р, з.' О а-2 (а)/ 2) " -а -г (6.2.3) р,,=- / Е Сравнивая правые части формул (6.2.2) и (6.2.3), видни, что они отличаются между собой только множителем (з — 1) аа; следовательно, р =(а — 1) зр (6.2.4) формула (6.2.4) представляет собой простое рекуррентное соот- ношение, позволяющее выражать моменты высших порядков через моменты низших порядков.
Пользуясь этой формулой и имея в виду, что ра — — 1 ') и р, =О, можно вычислить центра)тьные моменты всех порядков. Так как 1а,=О, то из формулы (6.2.4) следует, что все нечетные моменты нормального распределения равны нулю. Это, впрочем, непосредственно следует из симметричности нормального закона. Для четных з из формулы (6.2.4) вытекают следующие выражения дая последовательных моментов: р =аз; р =За', рв = 1бав Ра =(З вЂ” 1)О аа, где под символем (з — 1)!1 нанимается произведение всех нечетных чисел от 1 до з — 1, Так как длн ноРмального закона 1хз= О, то асимметРиЯ его также равна и,'.но: Из выражения четвертого момента Ра = 3аа Ех= Ь, — 3=0, а' ') Нулевой момечг любой случайной величины равен единица как математическое ожидание нулевой степени атой величины, ит.
д. Общая формула для момента а-го порядка при любом четном з имеет вид: 122 НОРМАЛЬНЫН ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ т. е. эксцесс нормального распределения равен нулю. Это и естественно, так как назначение эксцесса — характеризовать сравнительную крутость данного закона по сравнению с нормальным. 6.3.
Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок, Нормальная функция распределения (6.3,2) и приведем его к веду: (6.3.4) Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую н определенный интеграл от выражения е Р или е г (так называемый инщеарлл аеролщносщей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например: л л 2 Ф (х) = —, / е-РЯ; Фг(х) = —, гг в г ггг 1'л ° ' 1'2л Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону с параметрами вг, а, на участок от а до р.
Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой Р (а < Х ( р) = Р (р) — Р (а). где Р(х) — функция распределения величины Х. Найдем функцию распределения Р(х) случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами щ, е. Плотность распределения величины Х равна: (х-тР 1 г (х) = = е ми а г'2л Отсюда нахэдим функцию распределения л л Ы-тР Р (х) = г (х) Их = — е '* г(х, (6.3.3) Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной х — вг НОРМАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 123 Я.З1 Р(х)=Ф (' — ). (6.3.6) Теперь найдем вероятность попадания случайной величины Х на участок от а до р.
Согласно формуле (6.3.1) Р (и < х < ~) = Ф*( — ) — Ф'( ) . (6.'3.7) Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения Ф' (х), соответствующую простейшему нормальному . закону с пзраметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции Ф* в формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка р до центра рассеивания, выраженное а — т в средних квадратических отклонениях; — — такое же расстояе ние для левого конца участка, причем вто расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеигзчия, « отрицательным, если слеза. Как и всякая функция распределения, функция Ф"(х) обладает свойствами: 1.
Ф'( — со) =О. 2. Ф*(+со) = 1. 3. Ф'(х) — неубывающая функция. Кроме ТОГО, из симметпнчности нормальноГО распределения с параметрами т=О, а=1 относительно начала координат следует, что Ф' ( — «) = 1 — Ф* (х). (6.3.3) ') Для облегчения интерполяции з таблицах рядом со значениями функщщ приясдеиы ее приращения за один шзг таблиц а. н т. д, Какой иэ этих функций польаоваться — вопрос вкуса. в)ы выберем в качестве такой функции л и Ф'(х)= — 1 я ' ~й. г'2 l (6,3.5) Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами т = О, о = 1.
условимся называть функцию Ф'(х) нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции Ф*(х)'). Выразим функцию распределения (6.3.3) величины Х с параметрами т и о через нормальную функцию распределения Ф*(х). Очевидно, 124 НОРМАЛЬНЫИ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (гл з Пользуясь этим свойством, собственно говоря, можно было бы ограничить таблицы функции Ф'(х) только положительнымн значениями аргумента, но, чтобы избежать лишней операции (вычитание из единицы), в таблице 1 приложения приводятся значения Ф'(х) гухг как для положительных, так н для отрицательных аргументов. На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеиваниями.
Рассмотрим такой участок длины 21(рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7): р и1 л и1 Р (ш — 1 < Х < «г + 1) =- = Ф*~ — ) — Ф*( — — ). (6.3.9) Учитывая свойство (6.3.8) функции Ф*(х) и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на участок, симметричный относительно центра рассеивания: Р ( ! Х вЂ” и ! < 1) = 2Ф* ( — ) — 1.
(6.3.1 О) Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания лг последовательные отрезки длиной а (рис. 6 3.2) и вычислим ве- Рис, 6.3.2. рос снесть попадания случайной зели пшы Х з каждый из них. Так кзк кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезкя только в одну сторону, По формуле (6.3.7) находим: Р (ш < Х < т+ о) = Ф' (1) — Ф" (О) = 1 = 0,8413 — 0,5000 = 0,341; Р(ш+ о < Х < лг+ 2а) = Ф'(2) — Ф'(1) ж 0,136; (6.3,11) и Р(ш+ 3о < Х < и+ 4а) = Ф*(4) — Ф*(3) = 0,001 125 НОВЫЛЛЬНЛЯ ФКНКЦНЯ ЯЛСПРЕДЕЛИНИЯ а.з! Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т, д.) с точностью до 0,001 равны нулю.
Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1Ж). получим три числа, которые легко запомнить: 0.34; 0.14; 0,02. Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивание (с точностью до долей процента) укладывается на участке т + ва. Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал ее практически возможных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
