Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия. среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительные числовые характеристики случайных величин. Во многих (дпшчах практики полная характеристика случайной величины в закон распределения — или не нужна, нлн не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик, кажаая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения. Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного расцределення другим, причем обычно .стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились ненэменнымн несколько важнейших моментов. Пример 1, Производится один опыт, в результате которого может появиться или не поавитьса событие А, вероятность которого равна р, Рас,Сиатриэается случайиаи величина Х вЂ” число появлений события А (харакгуеристическая случайная величина события А).
Определить ее харанте- $ истинн: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое клоневие. Рею ение. Ряд Распределения величавы имеет вид: О 1 где Э 1 — и — вероятность иепоявлениа события А. По формуле (5.6.1) находим математическое ожидание величавы Х: глл- "М(Х1 О у+1 ° Р р, 100 слкчаиные величины и их законы распределении (гл. з дисперсию величинм Х определим по формуле (6.7.16) Ох О (Х) =(Π— Р) 'Ч+(1 — Р) Р РЯ откупа ах= У РЧ. (Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент.) При мер 2. Производится три независимых выстрела по мишани, вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина Х вЂ” число попаданий. Определить характеристики величийы Х вЂ” математическое ожидание, дисперсию, с. к.
о., асимметрию. Решение. Ряд распределения величины Х имеет вид: х2 10 )! ~2 ~3 рг 0,216 0,432 0,288 0,064 Вычисляем числовые характеристики величины Х: ш, = 0 ° 0,216+ 1 ° 0.432+ 2 ° 0,288+ 3 ° 0,064 1,2; (2,=(0-1,2) .0,216+(1-1,2)а ОА32+(2-1,2)* 0,288+ + (3 — 1,2)' 0,064 0,7~ а =)')ух )'072=0848' Рт (Π— 12)' 0216+(1 — 12)' 0432+(2 — 12)з Ойй+ + (3 — 1,2)з ° 0,064 0,1Н; Б — ' ш 02236. рз 0144 яа 072 0848 Заметим, что те же характеристики могли бы быть вычислены значительно проще с помощью теорем о чисаовмх характеристиках функций (см. главу 10).
Пример 3. Производится ряд независимых опытов до первого появления события А (см. пример Зп'5.1). Вероятность собмтня А в каждом опыте равна Р. Найти математическое ожидание, дисперсию и с. к. о. числа опытов, кото ое будет произведено. Р Решение. Ряд распределения величины Х имеет вид: ЧР Ч~Р Рс Математическое ожидание величины Х выражается суммой ряда шх —- 1 ° Р+2 ° йР+3 у'Р+ ... +1 ° д~ 'р+ Р(1 +2гу+Н~+ "° +(й~ '+ ...).
П)1 ЯОЧЕНты. ДИСПЯРСИЯ 6.1! Нетрудно видеть, что ряд, стоящий в скобках, представляет собой ре- зультат дифференцирования геоиетрической прогрессии; «+«'+«'+ ." +«'+ Слелозательно, гт 1 ! 1 !+2«+3«'+ ... +гф '+ И 1 — «(1 — «)" Р откуда р игл= т = — ° Рт Р Для определения дисперсии величины Х вычислим сначала ее второй начальный момент: ат —— ~ харт = 1 ° р+2 ° «р+3 «тр+ ... +гэ ° «~ 1р+ ~=1 р (1т+ 2г«+ Зг г+ + ге«г-~ + Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на «ряд: 1+2«+3«т+ ... +1«г-г+ ...
1 Получим «+2«'+8«'+ " +г«г+ ". = Дифференцируя этот ряд по «, имеем: !'+2'«+8'«'+ ... +Р«'-'+ ... = — «, = +» « 1+« п«(1 — «) (1 — «) Умножая нз р=1 — «, получим: 1+« (1 — «)* По формуле (5.7.18) выразим дисперсию: Р =аз — гл г 1+«1 л 3 л (! «)г (! «)т (1 «)а Рл ' откуда )г — У « .„= у'11, Р Пример 4. Непрерывная случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью: У(х) =Ал ~ ' (рис. 5.7.3). Найти коэффициент А. Определить м.
о., дисперсию, с. к. о., асимметрию, эксцесс величины Х. Решение. Для определения А воспользуемся свойством плотное~и распределения: СО Оь У(х)дх=2А ~л-лдх=2А ° 1! ОЭ 0 1 А у. Так как функция хо 1 "1 нечетная, то и. о. величины Х разно нулю: т = ) — хе 'Фх=О, г" 1 х .~ 2 Дисперсия н с. к. о. равны, соответственно: 1 2 о , - Р'В„= Р 2. 0 Рнс. 6.7.8. Так как распределение симметрично, то 5» = О. находим рн Для вычисления эксцесса р 2 ~ — «юо-хлх=24 с 1 3 2 о откуда Ех — — 3 3.
рь 4 П р н м е р 5, Случайная величина Х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически на рис. 5.7.4. Написать выражение плотности распределения. Найти м. о., дисперсию, с. к. о. и асимметрию распределения. Решение. Выражение плотности распределения имеет внд: ах при Осхс1, у (х) О прн хсО или х>1. Пользуясь свойством плотности распределения, находим и *2. Математическое ожидание величины Х: х ! 2 тх~ ~ 2хтдх 3' о Рнс.
Бурй Дисперсию найдем через второй 1 1 аа 2~ хо их=в о начальный момент: 1О2 слкчлиные величины и их влконы нлспиеделения 1гл. а отсюда 1ОЗ ЗАКОН РАВНОМИРНОИ ПЛОТНОСТИ 6 В1 отсюда 1 а„= — —, 3 г'2 Третий начальный момент равен 1 2 = 2 ~ к4 и'к = — . 5' о Пользуясь третьей нз формул (5.7.10), выражающей Рч черен начальныз моменты, имеем: з 1 Р =а — Зт а +2ьч з а кч к= 185 ° отгула 3 акз 5 6.8. Заков равномериой плотности В некоторых задачах практики встречаются Непрерывные случзйпые величины.
о которых заранее известио, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определениого интервала; кроме того, известно. что в пределах етого интервала все значения случайно» величины одинаково вероятны (точиее, обладают одной и той же плотностью вероятности). О таких случайных величинах говорят, что оии распределяются по закону равломерной плотнослги. Приведем несколько примеров подобных случайных величин.
Пример 1. Проиаведеио взвешиваиие тела иа точных весах, ио в распоряжении взвешивающего имеются только разновески весом ие менее 1 г; результат вавешивания показывает, что вес тела заключен между л л и (и+1) граммами. Вес тела принят 1т равным (й+ — 1 граммам. Допущенная при атом ошибка Х, очевидно, есть случайная величина, распределенная с рявиомериой плотностью иа участке (-2 Й' П р и м е р 2.
Вертикально поста- Рис, 58 1~ влеииое симметричное колесо (рис. 5.8.1) приводится во вращение и затем останавливается вследствие треияя, Рассматривается случайная величина 0 — угол, который после остаиовки будет составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса ОА. Очевидио, величина 0 распределена с равномерной плотиостью иа участке (О, 2я). 104 слячАйныи Взличины и их ЗАконы РАспРеделения ггл а Пример 3.
Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т, в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой случайную величину. распределенную с равномерной плотностью на участке (О, 2) г/х) минут. рассмотрим случайну ю величину Х, подчиненную закону равномерной плотности иа участке к, от я до р (рис. 5.8.2), и напишем для нее выражение плотности распределения г(х). Плотность ,' Гх) погп шиша н р;з;ю с па от- 0 а а резке (а, р); вне этого отрезка она равна нулю: Рис. 5.8.2. ~ с прн а < х < р, у(х) = 1 0 при х ( а или х ь р. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице: с (р — а) =-1, то и плотность распределения у(х) имеет вид: у (х) = при 1 а<х(р, (5.8.1) У(х)=0 при х<а или х) р.
Формула (5.8.1) и выражает закон равномерной плотности на участке (о, 'р). Напишем выражение для функции распределения Р(х). Функция распределения выражается плошадью кривой распределения, лежащей левее точки х. Следовательно, 0 при х<а, Р(х)= при а<х<р, 1 при х) р. График функции Р(х) приведен на рис. 5.8.3. Определим основные числовые характеристики случайной величины Л, подчиненной закону равномерной плотности на' участке от и до р.
105 ЗАКОН РАВНОМИРНОН ПЛОТНОСТИ Математическое ожидание величины Х равно: (5.8.2) = — ) (х — ) дх= (Р—. а)« 12 откуда среднее квадратическое отклонение а„= у' О„=, (5.8.4) 2г'3 Ряс. б.бб. В силу симметричности распределения его асимметрия равна нулю: 5Ь=Ъ=О. (5.8.5) а„'. Для определения зксцесса находим четвертый центральный момент: откуда Ех= 1," 3 = — 1,2. а„ (5.8.6) Определяем среднее арифметическое отклонение: тг У! х 2 ! х р У~~ 2 ) с(х — ~ — ° (5.8.7) « «аа Наконец, найдем вероятность попадания случайной величины Х. распределенной по закону равномерной плотности.
на участок (о, Ь), В силу симметричности равномерного распределения медиана ве- а+в личины Х также равна —, 2 Моды закон равномерной плотности не имеет. По формуле (5,7.16) находим дисперсию величины Х: 106 слУчАйные Величины и их ЗАхоны РАспРеделения 1гл. з представляюший собой часть участка (а, у) (рис. 5,8.4). Геометрически зта вероятность представляет собой плошадь, заштрпховаиную иа рис. 5.8.4.
Очевидно. оиа равна: Р(а<Х<Ь)= (5, 8. 8) т. е. отиошеиию длины отрезка (а, Ь) ко всей длпие участка (а, р), иа котором задано равномерное распределение. 5.9. Закон Пуассона Зо многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону; которыЯ называется законом Пуассона. Рис. 5,84. Рассмотрим прерывиую слу- чайную величииу Х, которая может принимать только пелые, неотрицательные зиачеиия: О, 1, 2, .... и, ... причем последовательность этих значений теоретически ие ограиичеиа. Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что оиа примет определенное зиачеиие лг, выражается формулой ам Р„= — е-' (гл = О, 1, ...), зг! (5.9.1) где и — некоторая положительная величина, иавываемая ааромевгром закона Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
