Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. Ентегралуг Р (а < Х < р) .= ~ у (х) Их '). е (5.4.3) Геометрически вероятность попадания величины Х на участок (а, р) равна плошади кривой распределения. опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3)., Рнс. 5.4.3. Формула (5.4.2) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей; выразить функцию распределении через плотность.
По определению Р (х) = Р (Х < х) = Р ( — оо < Х < х), откуда по формуле (5.4.3) имеем: к Р (х) = ) у'(х)г(х. (5.4.4) -ее ') Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок (е, р), не включая в него левый конец, т.
е. отбрасывая знак равенства в а.~ Х < р. б Е, С. Веетцель 32 слячлиныв ввличины и их законы ялспяиделяния (гл. з Геометрически гт(х) есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (ряс. 5.4.4). Укажем основные свойства плотности распределения. 1. Плотность распределения есть неотрицагельная фущ,цня: г" (х) )~ О. Это свойство непосредствещю вытекает из того, что функция распределения г" (х) есть неубывающая функция. 2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: ~ у (х) с(х= 1.
Это следуег из формулы (5.4.4) и из того, что гт (+ оо) = 1. Геометрически основные 0 х свойства плотности распреде- ления означают, что: Ряс. 5.4.4. 1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; 2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Выясним размерности основных характеристик случайной величины — функции распределения н плотности распределения.
Функция распределения г" (х), как всякая вероятность, есть величина безрази рная. Размерность плотности распределения у (х), как видно из ормулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины. П р в и е р 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением / О при х<0, г(х) ( ах' при 0<х<1, ~ 1 прн х>1.
а) Найти коэффициент а. б) Найти плотность распределения У(х). в) Найти вероятность попадания величины Х на участок от 0,25 до 0,5. Решение. а) Так как функция распределения величины Х непрерывна, то прн х 1 ахэ=1, откуда а=1. б) Плотность распределения величины Х выражается формулой 0 пря х< 0, у(х) 2х при 0 < х<1, О при х>1. в) По формуле (5.3.1) имеем: Р (0,25 < Х < 0,5) Р (0,6) Р (О 25) — 0 5э 0,26' ~ы 0,15У5, вз ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Б 41 Пример 2. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью: и я.
У(х)=асозх прн — — (х< —; 2 2 и и при х< — — или х>— 2 2 У(х)=О а) Найти коэффициент а. б) Построить граФик плотности распределения г (х). в) Найти функцию распределейия Р (х) и построить ее график. 1ггх/ г) Навти вероятность попадания величины Х на участок от О до —. 4' Р е пт е н и е. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения: ~ у(х)йх= СС ясозхг(х 2о=1, гу тг Рис. 5.4.5. Рнс. 5.4.6. в) По формуле (5дй4) получаем выражение функции распределения: Р(х) = 1 при х > .лк-.
5.4.6. График функции )т(х) изображен иа рис. 1 откуда а = — . 2' б) Грзфик плотности У(х) представлен на рис. 5.4.5. О при х< —— 2' '1 и и — (э)их+1) при — — <', х< —; 34 слтчлиныя величины и их законы ядспгядяляння (гл. а г) По Фоомтле (5,3.1) имеем: Р (О < Х < — ) = — (з1п — +1) — — (з1п 0+ 1) = —, к' 2 4) 2( 4 ) 2 4 Тот же результат, но несколько более сложным путем можно получить 1 /Уг1 1 () Рис. 5.4.7. Пример 3. Плотность распрелелеиия случайной величины Х задана формулой: 1 у(х) = + ').
а) Построить график плотности У(х). б) Найти вероятность того, что величина Х попадет иа участок ( — 1, +1). Решение. а) График плотности дан иа рис. 5.4.7. б) По формуле (5.4.3) имеем: 1 Р( — 1 < Х < 1) = ~ — = — згс(К х ) л'х 1 т 1 н(1+х~) я 1 2 -1 Б,б. Числовые характеристкки случайных величин.
Их роль и назначение В данной главе мы познакомились с рядом полных, исчерпываюптих характеристик случайных величин †т называемых законов распределения. Такими характеристиками были: для дискретной случайной величины а) функция распределения; б) ряд распределения (графически — многоугольник раснределеиия); для непрерывной величины а) функция распределения; б) плотность распределения (графически †крив распределения).
') Так называемый закон Коши. Б.61 ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛОЖЕНИЬ Каждый закон распределения представляет собой нейложены функцию, и указание этой функции полностью описывает слсоотную величину с вероятностной точки зрения. Одкако во многих вопросах практики нет необходимости характ э. ризовать случайкую величину полностью, исчерпывающим образоь. Зачастую достаточно бывает указать только отдельньш числовые пзрзнптрн чп нскптпрпя степени тярзктсрпзукп~нт скпщстпюшые черты распределения случайной величины: например, какое-го среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего, и т. д.
Пользуясь такими характеристиками, мы хотим все сушественкые сведекия относительно случайной величины, которыми мы располагаем, выразить наиболее компактно с помощью минимального числа числовых параметров. Такие характеристики, назначение которых — выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. В теории вероятностей числовые характеристики и операции с изми играют огромкую роль. С помощью числовых характеристик сугцественно облегчается решение многих вероятностных задач. Очень часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство.
что когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый нормальный закон распределения). В этих случаях по существу задачи для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величии. В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения.
Из них в настоящем курсе мы введем только некоторые, наиболее часто применяемые. 5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) Среди числовых характеристик случайных величии нужно прежде всего отметить те. которые характеризуют п о л о же н и е случайной величины на числовой оси, т. е.
указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются вее возможные значения случайной величины. . - ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1гл. а 84 ,,«нее значение случайной величины есть некоторое число, »11;ессп к,';. Оы ес «пр д газптс.)см> и заиснжо'пес се пр)п !'рубо ,.'ентировочных расчетах. Когда мы говорим: «среднее время работы l дс' ' 'аМПЫ равно 100 ЧВСВМ» НЛН «Срсдняя то')Ка ПОПадання Сисщеиа От. осительно цели на 2 м вправо», мы этим указываем определенную Числовую ХарантсраСтнау Сзуиаднод ВЕЛ!1ЧННЫ, ОПИСЫВАЮщуш ЕЕ местоположение на числовой осн, т. е.
«характеристику положения». Из характеристик положения в теории вероятностед важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной Величины. Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую возможные значениа хп хм .... х„ с ВеРоатностамн Р,, Рз .... Р„. Нам требуется охарактеризовать кзким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений хо причем ка)кдое значение х! при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого аначения.
Таким образом, мы вычислим среднее аначение случайной величины Х, которое мы обозначим М[Х]: ') «)Р! )а! а ~Р! М [Х] «)Р) + «)Р! + ° ° + .!ара Р! + Р! + " ° + Ра или, учитывая. что ~я~~ р,=1, ! ! М [Х] =,ч~,' х,ри ) (5.6.1) Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрение одно нз важнейших понятий теории вероятностей в понятие математического ожидания. Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности зтах значений.
Заметим, что в вышеприведенной формулировке определение математического о)кидании справедливо, строго говоря, только для дискретных случайных величин; ниже будет дано обобщение этого понятия на случай непрерывных величин. Для того чтобы сделать понятие математического ожидания более наглядным, обратимся к механической интерпретации распределения 8Ч КАРлктеРистики пОлОжения дискретной случайной величины.
Пусть на оси абсцисс расположены точки с абсциссам! х, са, ..., х„, з ~о~~рыл сосрлдоточе»ы соотвстстзсш!о массы р,, ра... „р„, причем ~;.„р! =1. Тогда, очевидно, !=1 е ж ! . " Дл 'Х' """"" """' " ф""нулей '5.6.1' ЕСТЬ НЕ ЧТО ННОС, КаК йбСйаССй Нслтрй ЛСЛХСССГЛЬ' давней СилТЕМЫ материальных точек. Математическое ожидание случайной величины Х связано своеобразной зависимостью со средним арифметическим наблюденных значений случайной величины при большом числе опытов.
Эта зависимость того же типа, как зависимость между частотой и вероятностно, а имешш; при большом числе опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины приближается (сходится по вероятности) к ее математическому ожиданию. Из наличия связи ме!кду частотой и вероятностью можно вывести как следствие наличие подобной же связи между средним арифметическим и математическим ожиданием. Действительно. рассмотрим дискретную случайную величину Х, характеризуемую рядом распределения: х, «л где р! —— Р(Х=х,). Пусть производится Ст' независимых опытов, в каждом из которых величина Х принимает определенное аначение. Предположим, что значение х, появилось и, раз, значение ха появилось т раз, вообще значение х, появилось т, раз. Очевидно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
