Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события: А — появление герба иа первой монете,  — появление герба на второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет; событие А н е з а в и с и и о от события В. 2) В урне дза белых шара и один черный; два лица выинмаюг из урны по одному шару; рассматриваются события: А — появление белого шара у 1-го лица,  — появление белого шара у 2-го лица.
Вероятность события А до того, как известно что-либо о собы- 2 тии В, равна —. Если стало известно, что событие В произошло, то 3 1 вероятность события А становитсв равной —, из чего заключаем, что 2' событие А вав и сит от события В. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В. называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А~ В). Для условий последнего примера Р( 4) = 3 Р(А1В) = 2 ° Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р (А ~ В) = Р (А), а условие зависимости — в виде: Р (А ! В) чь Р ( А). Перейдем к формулировке и доказательству теоремы умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей формулнруетсв следующим обвазом, Вероятность лроизведения двух событий равна ароизведенйю вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную ари условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А)Р(В ( А). (3.3.1) ТЕОРЕМА УМНОЖЕННЯ ВЕРОЯТНОСТЕН Прим ер 6. Происходит бой («дуэльэ) между двумя участниками (ле. ььгсльиымн агиыраш«ш, 1аикалги, лораблями) А и Б.
У стороны А в запасе два выстрела, у стороны  — одни. Начинает стрельбу А: он делает. по В один выстрел н поражзет его с вероятностью 0,2. Егзк В че сч эжен, оп отвечает противнику выстрелом и поражает его с вероятностью 0,3. Если А этим выстрелом не поражен, то ои делает по В свой последний выстрел которым поражает его с вероятностью ОА Найти вероятность того, что в бою будет поражен: а) участник А, б) участник В. Р е ш е и и е. Рассмотрим события; А — поражение участника А,  — поражение участника В.
Для выполнения события А необходимо совмещение (произведение) двух событий: 1) А ие поразил В первым выстрелом и 2) В поразил А своим отвеп~ым выстрелом. Но теореме умножения всрошиостей получим Р (А) = 0,8 . 0,3 = 024. Перейдем к событию В. Оно, очевидно, состоит из двух несовместных ва иантов: Р в=в,+в, где В, — поражение участника В первым выстрелом А, Вт — поражение участника В вторым выстрелом А. По теореме сложения вероятностей Р (В) = Р (В,) + Р (В ). По условию Р(В,) =0,2. Что касается события В„то оио представляет собой совмещение (произведение) трех событий, а именно: 1) первый выстрел стороны А ие должен поразить В; 2) ответный выстрел стороны В не должен поразить А; 3) последний (второй) выстрел стороны А должен поразить В.
По теореме умножения вероятностей Р(Ва) 08'07 04=0224 откуда Р(В) =02+0224 .0424. П р имер 7. Нелгь по которой ведется стрельба, состоит нз трех различных по уязвимости частей. 11ля поражения цели достаточно одного попадания в первую часть, или двух попаданий во вторую, или трех попаданий в третью.
Если снаряд попал в цель, то вероятность ему попасть в ту или другую часть пропорциональна площади втой части. На проекции цели иа плоскость, перпендикулярную направлению стрельбм, первая, вторая и третья части занимают относительные площади 0,1, 0,2 н 0,7. Известно, что в цель попало ровно два снаряда.
Найти вероятность того„ что цель будет поражена. Решение. Обозначим А — поражение цели; Р(АД вЂ” условную вероятность поражения цели прн условии, что в иее попало ровно два снарада. Лва снаряда, попавшие в цель, могут поразить ее двумя способами: или хотя бы один из иих попадает в первую часть, илн же оба снаряда попадут во вторую. Этн варианты несовместны, так как в цель попало всего два снаряда; поэтому можно применить теорему сложения.
Вероятность того, что хотя бы один снаряд попадет в первую часть, может быть вычислена через вероятность противоположного события (ни одни нз двух снарядов не попадет в первую часть) и равна 1 — 0,9а. Вероятность того, что оба снаряда попадут во вторую часть, равна 0,2'. Следовательно, Р (А(2) 1 — 0,9«+ 0,2а = 0,23. 52 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [гл.
3 Пример 8. Для условий предыдущего примера найти вероятность пора.ксиня и лп, сслн пзвесщо, что в псе попало гон снзрясс р е ш е и и е. Решим задачу двумя способами: через прямое и противФ положное событие. иа четыре несовместных варианта: г!, — хош бы одно попадание в первую часть, А, — два попадания во вторую чзсть и одио — в третью, Лз три попадания во вторую часть, А4 †т попадания в третью часть.
Взроятпость первого Варианта находим аналогично предыдущему при- меру: Р(А ) 1 09з 0271 Найдем вероятность второго варианта. Три попавших снаряда ыо~ у г распределиться по второй и третьей частям иужиым образом (два во вторую и один — в третью) тремя способами (Сз — — 3). Следовательно, 2 Р(Аа) 3 02т 07 0084, )(алое находим: Р (Аа) = 0,2з = 0,008, Р (Ат) = 0,7з = 0,343. Отсюда Р(А (3) = 0271+0084+ 0008+0343 = 0706. Одиако проще решается задача, если перейти к противоположиому событию — иепоражеиию цели при трех попаданиях. Это событие может осуществиться только одним способом: если два сиаряда из трех попадут в третью часть, а один — во вторую.
Таких комбииаций может быть три (Сз = 3), следовательно, Р (А ~ 3) = 3 . 0,7з ° 0,2 = 0,294 откуда Р(А )3) = 1 — 0,294 = 0,706. Пример 9. Моиета бросается 6 раз. Найти вероятиость того, что выпадет больше гербов, чем цифр. Р е ш е и и е. Для иахождеиия вероятности интересующего иас события А (выпадет больше гербов, чем цифр) можно было бы перечислить все возможиые его варианты, иапример: А, — выпадет шесть гербов и ии одной цифры, А,— выпадет пять гербов и одна цифра и т.
д. Однако проще будет применить другой прием. Перечислим все возмож- иые исходы опыта: А — выпадет больше гербов, чем цифр,  — выпадет больше цифр, чем гербов, С вЂ” выпадет одинаковое число цифр и гербов. События А В, С иесовместны и образуют полную группу. СледоваР(А)+ Р(В)+ Р(С) = 1. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ а.з! Так как задача симметрична относительно «герба» н «цифры», Р(А) = (В), откуда 2Р(Л) Ч- Р(СЪ =1 1 — Р (С) Р(А) =- — —,—.—, 2 Найдем вероятность события С, состоящего в том, что при шести бро- саниях монеты появится ровно три герба (а значит, ровно три цифры). Веро- ятность любого из вариантов события С (например, последовательности /1гб г, ц, г, г, ц, ц при шести бросаниях) одна и та же н равна ! —, ) . Число таких [2).
комбинаций равно Ст= 20 (чнслу способов, какимл можно из шести броса- нии выбра/ь три, в которых появился герб). Следовательно, Р(С) = — = —; 20 5 бб 16' отсюда Р(А) = — [1 — — ) = — —. 1/ 5! 11 2 [, !6,[ 32' А=ВС откуда Р(А) = Р (В) Р(С). Найдем вероятность события В. Оно распадается на два варианта: А, — исправно работал узел А, Аз — узел А, отказал, но оказались исправными устройство и узел Аз.
Имеем: переключающее Р(В) = Р(А,)+ Р(АД = р,+(1 — Р ) Р/х, Р (С) = Р» + (1 — Рв) РР„ Р (А) = [Р + (1 — Р1) РР»[ [,э»+ (1 — Р») РР«[- аналогично откуда Пример 10. Прибор состоит из четырех узлов: Аь Аь Аь А,, причем узел А» дублирует Аь а узел А„дублирует узел А».
При отказе (выходе нз строя) любого из основных узлов (А, илн А») происходит автоматическое переключение на дублирующий узел. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение заданного времени каждого из узлов равна соответственно „р„рь ре Надежность каждого из переключающих устройств равна р.
се элементы выходят из строя независимо друг от друга. Определить на- дежность прибора. Р е ш е н и е. Рассмотрим совокупность узлов Аь А, и соответствующего переключающего устройства как один «обобщенный узел» В, а совокупность узлов А„А4 и соответствующего переключающего устройства — как обоб- щенный узел С.
Рассмотрим события: А — безотказная работа прибора,  — безотказная работа обобщенного узла В, С вЂ” безотказная работа обобщенного узла С. / Очевидно, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (гл. з 3.4. формула полной вероятности Следствием обеих основных теорем †теоре сложения вероят- ностей и теоремы умножения вероятностей †являет тзк называемая формула полной 'еерояглности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, Н,, Нт, ..., Н„, образующих полную группу несовместных событий. Будем этн события называть запотевали. Докажем, что в этом случае Р(А) = ~ Р(Н) Р(А ~Н~), т.
е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе. формула (3,4А) носит название (борзеулы полной вероятности. Доказательство. Так как гипотезы Н,, Нз, . ° ., Н, обраауют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: А=Н,А+НзА~- ... +Н„А. Так как гипотезы НР Н„..., Н„несовместны, то и комбинации Н,А, Н,А, ..., Н„А также несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: й Р (А) = Р (Н, А) + Р (НТА)-+ ... + Р (Н„А) = ~ Р (Н,.
А). Применяа к событию Н,А теорему умножения, получим: л Р(А) = Х Р(Н~)Р(А ~Н~), что и требовалось доказать. При не р 1. Имеются три одинаковые иа вид урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй — три белых и один черный; в третьей— два белых и два черных шара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
