Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Существует ряд теорем теории вероятностей — так называемых предельных теорем, в которых устанавливается существование событий, становящихся практически невозможными (достоверными) при увеличении числа опытов или при увеличении числа случайных величин, участвуют в вадаче. Зб ОСНОВНЫР ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ !гл. з Нримером такой предельной теоремы является уже сформулированная выше теорема Бернулли (простейп1ая форма закона больших чисел). Согласно теореме Берн) ллн нри бо.п,шом числе опытов событие. заключаюшееся в том, что разность межлу частотой события и его вероятностью сколь угодно мала, становится пракгически достоеерныи.
Наряду с практически невозможными (достоверными) событиями. которые позволяют с уверенностью предсказывать исход опыта, несмотря на наличие случайности, в теории вероятностей большую роль играют особого типа случайные величины, которые, хотя и являются случайными, но имеют такие незначительные колебания, что практически могут рассматриваться как не случайные. Примером такой «почти не случайной» величины может служить частота события при большом числе опытов. Эта величина, хотя и является случайной, но при большом числе Опытов практически может колеоаться только в очень узких пределах вблизи вероятности события. Такие «почти не случайные» величины дают возможность предсказывать численный результат опыта, несмотря на наличие в нем элементов случайности, оперируя с этим результатом столь же уверенно, как мы оперируем с данными, которые доставляются обычными методами точных наук.
41 теОРемА сложения ВеРОятностен 2.21 Предположим, что из этих случаев гл благоприятны событию А, а й — событщо В. Тогда Р(А) = —; Р(В) = —. ю . а и' л Так как события А н В несовместны, то нет таких случаев. которые благоприятны и А, и В вместе. Следовательно, событию А+В благоприятны лг+Ф случаев и Р(А+ В) = + Подставляя полученные выражения и формулу (3.2.1), получим тождество. Теорс2п доказана.
Обобщим теорему сап>кения на случай трех событий. Обозначая событие А+В буквой О и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что Р(А+В+С)=Р(О+С) =Р(О) 1- Р(С) = = Р (А + В) + Р (С) = Р (А) + Р (В) + Р (С). Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно. предположим, что она справедлива для и событий: Ан А,..., А„, н докажем.
что она будет справедлива для и+1 событий: А1 А2 ... А„, А„+Р А,+А,+ ... +А„=С. Обозначим: Ф Имеем: Р (Аг+ А2+ + Ал+ Ал+2) = Р (С+ Алл2) = Р(С) + Р (Ал ю). Но так как для и событий мы считаем теорему уже доказанной, то Р(С)=) (А,)-+-Р(А )+ ... +Р(А„), откуда (3.2.2) Р(А,+ А,+ ... +Ал+Алл.г)= =Р(А,)+Р(А.,)+ ... +Р(А„)+Р(А,„~).
что и требовалось доказать. Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: основныи твоэимы тиоэнн ввэоятноствн [гл. з Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностеи. Сл„л„тв ~с 1. Сспм со~и л Л,, Лэ,, А оорозуют пол ную е уппу несовмесяных собыший, то сумма их вероятностей росна сдинипе: доказательство.
Так как события А„Аэ, ..., А„образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие: Р(А, + Аэ+ ... + Ал) = 1. Тек как Л,, Л,...,, ˄— ис ош..ссгные соби|на, то к и:м пРименима теореыз сложения вероятностей л Р (А -( Аэ + ' .. + А ) = Р (Л1) -(- Р (А~ -(- ... + Р (А ) = (л Р (А ), !=1 откуда « ~ Р(А)=1, что и требовалось доказать. Перед тем как вывести втоРое следствие теоРемы слаженна, определим понятие о «противоположных событиях». Пропгиеополоэюными собыаиями называются дза несовместных события, образующих полную группу.
Событие противоположное событию А, принято обозначать Л, Примеры противоположных событий. 1) А — попадание при выстреле, А — промах при выстреле; 2)  — выпадение герба при бросании монеты, ,ч — выпадение цифры при бросании монеты; й) С безотказная работа всех элементов технической системы. С вЂ” отказ хотя бы одного элемента; л) два обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, г) обнаружение ие более одного бракованного изделия. С ее д с те ив 2. Сумма вероятностей прошивоположных собыший равна единице: Р(А)+ Р(А) = 1.
Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить тиогимд сложнння ввгоятностеп 43 вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого сооытпя 1. П зт зх случаях вычисляют Р (Л) зз находят Р1А) = 1 — Р (АР Рассмотрим несколько примеров на применение теоремы сложения н сс сдсдс ° вз!й. П ч и и е в ! Н лотерее 1000 билетов из щ х на о щ! бнл п выигрыш 506 руб., на 1О билетов — выигрыши по !00 руб., на 50 билетов— выигрыши по 20 руб.. на 100 билетоэ — аьзззгрыши ио 5 Рэб., осгзлшне билеты невыигрышные. Некто покупает один билет.
Найти вероятность выиграть не менее 20 руб. Р е ш е н н е. Рассмотрим события: А — выиграть не менее 20 руб., А, — выиграть 20 руб., Аз — выиграть 100 руб,, Аз — выиграть 500 руб. Очевидно А=А,+А,+Аь По теореме слбзкения верояпюстей Р(А) =1 (А,)+1'(А )+1 (А ) =0050+0010+0001 =0051. Пример 2. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбуасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второи 0,008; в третий 0,025. При попадании в одни из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны. Решение.
Рассмотрим события: А — взрыв складов, А, — попадание в первый склад, А, — попадание во второй склад, Аз — попадание в третий склад. Очевидно, А Аз+ Аз+ Аз Так как при сбрасывании одной бомбы события А, Ая Аз несовместны, то Р (А) = Р (А, ) + Р (А,) + Р (А;) = 001+0008+0025 = 0043. Пример 3. Круговая мизпень (рнс. 3.2.1) состоит из трех эон: 1, 11 и 1И. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17, Найти вероятность промаха. Решейие.
Обозначим А — промах, А — попадание. Тогда А = Аз+ Аз+ Аз где А„Аз, А,— попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны Р(А) = Р(Аз)+Р(Аз)+ Р(Аз) =015+0,23+0,17 =0,55 откуда Р(А) = 1 — Р (А) = 0,45. 44 основные теогнмы теогии внгоятиостен сгл. а Как уже указывалось, теорема сложения ве оятностей (3.2А) справедчива точько для несовместных события.
с Ц случае, когда события А и В совместны, вероятность суммы этих событий выражается ь лв Р (А+ В) = Р(А)+ Р(В) — Р(АВ). (3.2.3) В спРаведливости формулы (3.2.3) можно наглялно убелиться. рассматривая рис. 3.2.2. Рис. 3.2.3. Ряс. 3.2.2. Аналогично вероятность суммы трех совместных событий выч исляется по формуле Р (А+ В + С) = = Р (А) + Р (В) + Р (С) — Р (АВ) — Р (АС) — Р (ВС) + Р ( АВС). Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис. 3.2.3).
Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий: / л РЯ А,.~) =;"„( л) —.-ч: Р (А,А,)+ ч'„Р (А,.А)А,) — ... с=с '/ .:. ПС с,да +( — 1)'; Р(АсАа ... Ал), (3.2.4) где суммы распространяются на различные значения индексов с'; С, /; й с,я.ит.д.
формула (3.2.4) выраскает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д. Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно. нз рис. 3.2.2 непосредственно ясно, что Р (АВ) = Р (А) + Р (В) — Р (А+ В).
(3.2.5) Из рис. 3.2.3 вилно, что Р(АВС) = Р(А)+ Р(В)+ Р(С) — Р(А+ В)— — Р(А+ С) — Р(В+ С).+Р(А+ В+ С). (3.2.6) ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТИОСТЕИ з,з) Общая формула, вырзлкяющая вероятность пронззелгния при:з- зо1„;ого чи,.ш ооьшия через вероятжости сумм зтнх событий, взя- тых по олному, по два, по три и т. д., имеет вял: Р(А А- ° ° А,) == Х Р(Аг) — Х Р(Аг+ А~)'+ г ь / + ~; Р(4г+ Аз+Аз)+... +( — ()е"' Р(Аг+...
+А). (327) ьу,л формулы типа (3.2А) и (3.2.7) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. Б зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает пользоваться только суммами, а в др)тих только произведениями событий: для преобразования одних в другие и служат подобные формулы. Пример. Техническое устройство состоит из трех агрегатов; двух агрегатов первого типа — А, и А, — и одного агрегата второго типа — В.
Агрегаты А, н А, дублируют друг друга: при отказе одного из них про- исходит автоматическое переключение на второй. Агрегат В не дублирован. Для того чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно откззалн оба агрегата А, и А, илн же агрегат В. Таким обра- зом, отказ устройства — событие С в прелставляется в виде: С = А,Аз+ В, где А, — отказ агрегата А„ Аз в отказ агрегата А„  — отказ агрегата В. Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы, а ие произведения злемеитариых событий А„ Аз н В. р вше н ие, По (юрмуле (3.2.3) имеем; Р(С) = Р(А~Аз)+Р(В) — Р(А,А,В); (3.2.8) по формуле (3.2.5) Р(А~ Аз) = Р(А,) + Р (АД вЂ” Р(А, + Аз); по формуле (3.2.6) Р(А,А,В) = Р(А,)+ Р(А,)+Р(В) — Р(А, +А,)— — Р(А, +В) — Р(А,+В)+Р(А,.+Аг.+В). Подставляя зтн выражения в (3.2.8) и производи сокращения, получим: Р(С) = Р(А, + В)+ Р(Аз+ В) — Р(А, +Аз+ В).
З.З. Теорема умножения вероятностей Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых собзатиях. Событие А называется иезазисилгым от собылгия В. если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или иет. 46 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН 1гл. а Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события г( меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.,) Рас мотрнм примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
