Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пример достоверного события— выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события — возможные, но не достоверные— будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы. Противоположностью по отношению к достоверному событию является нееозлгожное событие, т. е.
такое событие, которое в данном опыте не может произойти. Пример невозможного события— появление 12 очков при бросании одной игральной кости. Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю. Таким образом, установлены единица измерения вероятностей— вероятность достоверного события — и диапазон изменения вероятностей любых событий — числа от 0 до 1. 2.2. Непосредственный подсчет вероятностей Существует целый класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов легко оценить непосредственно из условий самого опыта. Для этого нужно.
чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными. Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости, т. е. симметричного кубика, на гранях которого нанесено различное число очков: от 1 до 6. В силу симметрии кубика есть основания считать все шесть возможных исходов опыта одинаково возможными, Именно это дает нам яд! нипосовдстввннып полсчвт ви»оятноствп 25 право предполагать, что при многократном бросании кости все шесть гознак очдчч Йыиччагь по! члено о»я ачозо часто, '-! и д ние для правильно выполненной кости действительно оправдывается цз опыте; при ыногокражшм бросании кости каждая ее грань появляется примерно в одной шестой доле всех случаев бросания, 1 причем отклонение этой доли от — тем меньше. чем большее число б опытов произведено.
Имея в виду, что вероятность достоверного события принята равной единице, естественно приписать выпадению 1 каждой отдельной грани вероятность, равную —. Это число харакб' теризует некоторые объективные свойства данного случайного яв.чения, а цмщщо свойство симметрии шести возможных исходов опыта. Для всякого опыта, в котором возможные исходы симметричны н одинаково возможны, можно применить аналогичный прием.
который называется пепоередел~лепымм подечегпом оероялгпостей. Симметричность возможных исходов опыта обычно наблюдается только в искусственно организованных опытах, типа азартных игр. Так как первоначальное развитие теория вероятностей получила именно на схемах азартных игр, то прием непосредственного подсчета вероятностей, исторически возникший вместе с возникновением математической теории случайных явлений, долгое время считался основным и был положен в основу так называемой «классической» теории вероятностей. При этом опыты, не обладающие симметрией возможных исходов, искусственно сводились к «классической» схеме. Несмотря на ограниченную сферу практических применений этой схемы, она все же представляет известный интерес, так как именно на опытах, обладающих симметрией возможных исходов, и на событиях, связанных с такими опытами, легче всего познакомиться с основными свойствами вероятностей.
Такого рода событиями, допускающими непосредственный подсчет вероятностей, мы и займемся в первую очередь. Предварительно введем некоторые вспомогательные понятия. !. Полная группз событий. Говорят, что несколысо событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хоти бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу: 1) выпздение герба и выпадение цифры при бросании монеты; 2) попадание и промах при выстреле; 3) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости; 4) появление белого. шара и появление черного шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых и 3 черных шара; 5) ни одной опечатки, одна, две, три и более трех опечаток прн проверке страницы напечатанного текста; ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВРРОЯТНОСТЕН й"л.
а 6) хотя бы одно попздание и хотя бы олин промах при двух вьштрелах. 2. Несовместные события, Нлсколько событий называются лесозжгстныжи в ланном опыте, Примеры несовместных событий: 1) зь падение Герб! и Вы!шлепке цифры при бросании монеты; 2) попзданне н ппомах при осз!Ои выстреле; 3) иоязленнс 1, О, 4 очков при одном бросашш игральной кости; 4) ровно один отказ, ровно дза отказа, ровно три отказа тех- нического устройства за десять часов работы. 3. Равновпзможные события. Несколько событий в данном опыте называются равлозоз,кож- ными. если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно нз этих событий не язляегся объективно более возможным, чем другое.
Примеры равновозможных событий: 1) выпадение герба н выпадение цифры при бросаник монеты; 2) появление 1, 3, 4, 6 очков при бросании игральной кости; 3) появление карты бубновой, червонной, трефовой масти при вынимании карты из колоды; 4) появление шара с М 1, 2, 3 при вынимании одного шара из урны. содержащей 10 перенумерованных шаров. Существуют группы событий. обладающие Веени греми свойстваии: они образуют полную группу, несовместны н равновозможны; на- пример: появление герба и цифры при бросании монеты; появление 1, 2, 3, 4.
5, 6 очков при бросании игральной кости. События, обрааующие такую группу, называются случаями (иначе «шан- сами»). Если какоп-либо опыт по своей структуре обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающую систему равновозможных и исключающих друг друга исходов опыта. Про такой опыт говорят, что он «сводится к схеме случаев» (иначе— к «схеме ур!Р»). Схема случаев по преимуществу имеет место н искусственно ор- ганизованных опытах, в которых заранее и сознательно обеспечена одинаковая возможность исходов опыта (как. например, в азартных играх).
Для таких опытов возможен непосредственный подсчет ве- роятностей. основанный на оценке доли так называемых «благопри- ятных» случаев в общем числе случаев. Случай называется благолрилтмылг (или «благоприятствующим») некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события. Например, при бросании игральной кости возможны шесть слу- чаев: появление 1, 2, 3, 4, 6, 6 очков.
Из них событию А в появ- к21 вепоспндстввннын полечит ввпоптностнн 27 пению четного числа очков — благоприятны трп случая: 2, 4. 6 и пе благоприятны остальные трп. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А В Данины Опыте можнО ОНЕппта и О О И а ных случаев. Вероятность события А вычисляется как отношение чн .22 благоприятных случаев и Об|пспу числу случаев: О~.. (2.2.1) где Р (А) — вероятность события А; и — общее чнсло случаев; гп †чис случаев, благоприятных событию А, Так как число благоприятных случаев всегда заключено между 0 и и (Π†д невозможного и п — для достоверного события), то вероятность события, вычисленная по формуле (2.2.1), всегда есть рациональная правильная дробь: 0 <Р(Л) <1.
(2.2.2) формула (2.2.1), так называемая «класснческая формула» для вычисления вероятностей, долгое время фигурировала в литературе как определение вероятности. В настоящее время при определении (пояснении) понятия вероятности обычно исходят из других принципов. непосредственно связывая понятие вероятности с эмпирическим понятием частоты; формула же (2.2.1) сохраняется лишь как формула для непосредственного подсчета вероятностей, пригодная тогда и только тогда, когда опыт сводится и схеме случаев, т. е.
обладает симметрией возможных исходов. При мер 1. В урне находится 2 белмх и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет белым. Р е ш е н и е. Обозначим А событие, состоящее и появлении белого шара. Общее число случаев и = 5; число случаев, благоприятных событию А, ю 2. Следовательно, Р(А) = —. 2 5' Пример 2. В урне а белых н Ь черньгх шаров.
Из урны вынимаются два шара, Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Решение. Обо»начин В событие, состоящее в появлении двух белык шаров. Подсчитаем .общее число возможиыгь случаев и и число случаев ш благоприятных событию В: г П= Са»Ф ю = С2'); следовательно С2 Р(В) = —, 2 Саьь ') Знаком С'„ обозначено число сочетаний из а элементов по 1 основныз понятия теогнн всгоятностеп (гл.
а Пример 3. В партии нз гг изделий М бракованных. Из партии выбирается наугад ч нале>чик Определи~> вероятность гого. «го срслн згкх ч изделий будет ровно т бракованных. Ре шеи не. Общее число случаев, оченндно, равно С~~я число благоприятных случаев С,".„! С;:,, ',"~г откула вероятность интересующего нзс соби ь» Р(Л) = — '- С", 2.3. Частота, или статистическая вероятность, события формула (2.2.1) для непосредственного подсчета вероятностей применима только, когда опыт, в результате которого может появиться интересуюшее нас событие, обладает симметрией возможных исхоаов (сводится к схеме случаев). Очевидно, что далеко не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев, и существует обширный класс событий, вероятности которых нельзя вычислить по формуле (2.2.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
