Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Рассмотрим, например, неправильно выполненную, несимметричную игральную кость. Вь1паденне определенной грани уже не 1 будет характеризоваться вероятностью †; вместе с тем ясно, что б' для данной конкретной несимметричной кости выпадение агой грани обладает некоторой вероятностью, указывающей, насколько часто в среднем должна появляться данная грань при многократном бросании. Очевидно, что вероятности таких событий, как «попадание в цель при выстреле», «выход из строя радиолампы в течение одного часа работы> или «пробивание брони осколком снаряда», также не могут быть вычислены по формуле (2.2.1), так как соответствующие опыты к схеме случаев не сводятся. Вместе с тем ясно, что каждое из перечисленных событий обладает определенной степенью объективной возможности, которую в принципе можно измерить численно и которая при повторении подобных опытов будет отражаться в относительной частоте соответствующих событий.
Поэтому мы будем считать, что каждое событие, связанное с массой однородных опытов, — сводящееся к схеме случаев или нет, — имеет определенную вероятность, заключенную между нулем и единицей. Для событий, сводящихся к схеме случаев, эта вероятность может быть вычислена непосредственно по формуле (2.2.1). Для событий, не сводящихся к схеме случаев, применяются другие способы определении вероятностей. Все этн способы корнями своими уходят в опыт, в эксперимент, и для того чтобы составить представление об этих способах, необходимо уяснить себе понятие частоты события и специфику той органической связи, которая существует между ве оятностью и частотой. Ь: слн произведена серия нз и опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то часглоглой яз) чАстОтл, или стАтистическлЯ ВеРОЯтнОсть, сОБытиЯ 29 события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов.
Частоту события часто назывшот его статислгической вероятностью (В отличие от раисе введенной кматематической» вероятности). Условимся обозначать чзстоту (статист шескую вероятность) события А знаком Р'(А). Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле Р" (А) =- —, (2.3А) где ш — число появлений события А; и — общее число пронзведенных опытов.
При небольшом числе опытов частота события носит в значительной иере случащнай характер и может ззметно изменяться от одной грунпы опытов к лругой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится только два раза (частота появления герба будет равна 0,2); при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако нрк )Велнченни числа опытов частота события все более теряет свой сл)"шйный характер, 'случайные ОостоятельстВВ, СВОйстВенньш каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительныьпг колебаниями к некоторой средней, постоянной величине, Например, при многократном бросании монеты частота появления герба 1 будет лишь незначительно уклоняться от —.
2' Это свойство «устойчивости частот». многократно проверенное экспериментально и подтверждающееси всем опытом практической деятельности человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел, Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь у~одно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте. Связь между частотой события и его вероятностью — глубокая, органическая связь.
Этн дза понятия по существу неразделимы. )(ействительно, когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы неизбежно связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике. Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придать этому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем относительная частота появления данного события яри большом числе опытов. Численная оценка стеиени возможности события Зо ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [гл. й посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, что более вероятные события происходят в среднеи чсщс.
чем менее вероятные. И если практика определенно указывзет на то, что при увеличении числа опытов частота события ннеет тенденщио вь:развиваться, приближаясь сквозь ряд случайных уклонений к некоторому постоянному числу, естественно предпо.ожить. По это число н есть вероятность события. Проверить такое предположение мы, естественно, можем только для таких собмтия, вероятности которых могут быть вычислены непосредственно, т.
е. для событий, сводящихся к схеме случаев, так как только для этих событий существует точный способ вычисления математической вероятности. Многочисленные опыты, производившиеся с - :, н .....„,~ ... г~ор»и е роягностсн. Леяствительно подтверждают это предположение. Они показывают, что для события, сводящегося к схеме случаев, частота события при увеличении числа опытов всегда приближается к его вероятности. Вполне естественно допустить, что и для события, не сводящегося к схеме случаев, тот же закон остается в силе и что постоянное значение, к которому при увеличении числа опытов приближается частота события, представляет собой не что иное, как вероятность события.
Тогла частоту события при достаточно большом числе опытов можно принять ва приближенное значение вероятности. Так и поступают на практике, определяя из опыта вероятности событий, не сводящихся к схеме случаев. Следует отметить, что характер приближения частоты к вероятности при увеличении числа опытов несколько отличается от «стремления к пределу» в математическом смысле слова. Когда в математике мы говорим, что переменная х„ с возрастанием и стремится к постоянному пределу а, то это означает, что разность ~х„ — а~ становится меньше любого положительного числа е для всех значений п, начиная с некоторого достаточно большого числа. Относительно частоты события и его вероятности такого категорического утверждения сделать нельзя. Депствительно, нет ничего фиаическн невозможного в том, что при большом числе опытов частота события будет вначительно уклоняться от его вероятности; но такое значительное уклонение является весьма маловероятным, тем менее вероятным, чем большее число опытов произведено.
Например, при бросании монеты 10 раз физически возможно (хотя и маловероятно), что все 10 раз появится герб, и частота появления герба будет равна 1; при 1000 бросаниях такое событие все еще остаетса физически возможным, но приобретает настолько малую вероятность, что его смело можно считать практически неосуществимым. Таким образом, при возрастании числа опытов частота приближается к вероятности, но не с полной достоверностью, а с большо» чАстОтА или стАтистическАЯ ВеРОЯтнОсть, сОБытиЯ 31 вероятностью, которая прн достаточно большом числе опытов может рассматриваться как практическая достоверность.
В теории вероятностей чрезвь1чайно часто встречается такой характер приближения одних величин к другим, и для его описания введен специальный терчнп: «сход~мость по героятпости». Говорят, что величина Х„сходится ло вероллспости к величине а, если при сколь угодно малом е вероятность неравенства ~Х„ — а~ < е с увеличением п неограниченно приближается к единице. Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытоз. часхота..события це «стремится» к ве1уоятности события, а «сходится к ней по вероятности».
достаточных математических оснований, просто на основании ирак тики и здравого смысла, составляет содержание т е о р е м ы Б е р нулли, которая будет доказана нами в дальнейшем (см. гл. 13). Таким обРазом, вводя понятие частоты события н пользуясь связью между частотой и вероятностью, мы получаем возможность приписать определенные вероятности, заключенные между нулем и единицей, не только событиям, которые сводятся к схеме случаев, но и тем событиям, которые к этой схеме не сводятся; в последнем случае вероятность события может быть приближенно определена по частоте события при большом числе опытов, В дальнейшем мы увидим.
что для определения вероятности события, не сводящегося к схеме случаев, далеко не всегда необходимо непосредственно определять из опыта его частоту. Теория ве роятностей располагает многими способами, позволяющими опреде лять вероятности событий косвенно, через вероятности других событий, с ними связанных. В сущности, такие косвенные способы и составляют основное содержание теории вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
