Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Иекто выбирает наугад одну из ури и выни-. мает из иее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый, Р е ш е н и е. Рассмотрим три гипотезы: Н, — выбор первой урны, Нз — выбор второй урны, Нз — выбор третьей урны и событие А — появление белого шара. 55 ФОРМУЛА ПОЛНОИ ВЕРОЯТНОСТИ з.о] Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то 1 Р(П~) = Р(Но) = Р (Но) = —. 3' Услозпыс всрочтиос.л собоы щ А при щнх гипотезах соотсстстгсщ:о раппы: Р(А',Н)=--; Р(А,'Но)= —; Р(А,'Н)= —, По формуле потной вероятности 1 2 1 3 1 1 23 3 3 3 3 4 3 2 36' Пример 2. По самолету производится три одиночных выстрсла. Ве- роятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором — ОЗ, при третьем — 0,7. Лля вывода сачозетз из строя заведомо достаточно трех по- падании; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, при двух попаданиях с вероятностью 0,6.
Найти вероятность того, что в ре- зультате трех выстрелов самолет будет выведен из строя. Р е ш е н и е. Рассмотрим четыре гипотезы: Но — в самолет не попало ни одного снаряда, Н, — в самолет попал один снаряд, Н, — в самолет попало два снаряда, Но — в самолет попало три снаряда. Пользуясь теоремами сложения и умножения, намдем вероятности этих гипотез: Р(Но) =06 0,5 03=009' Р(Н,) =0,4 ° 0,5 ° 0,3+0,6 ° 0,5 ° О,3+0,6 0,5 0,7= 0,36; Р(Н,) =0,6 ° 0,5 ° 0,7+0,4 ° 0,5 ° 0,7+0,4 0,5 ° 0,3=0,41; Р(Но) =04'0,5 0,7 =0,14.
Условные вероятности события А (выход самолета нз строя) при этих гипотезах равны; Р(А! Но) = 0; Р (А ) Но) = 0,2; Р (А ( Но) = 0,6; Р (А ( Но) = 1,0. Применяя формулу полной вероятности, получим,' Р(А) Р(Но) Р(А ! Но)+ Р(Н~) Р(А (Н1)+Р(Но)Р(А ~ Нз)+ +Р(Н,) (А~Н,)=0,36 0,2+0,41 0,6+0,14.1,О=ОАЗЗ. Заметим, что первую гипотезу Н, можно было бы не вводить в рассмотрение, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль.
Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез. а только те из ннх, при которых данное событие возможно. П р и м е р 3. Работа двигателя контролируется двумя регуляторами. Рассматривается определенный период времени й в течение которого желательно обеспечить безотказную работу двигателя. При наличии обоих регуаяторов двигатель отказывает с вероятностью 41,о, при работе только первого нз них в с веРоатиостью рь пРи Работе только втоРого — с веРоЯТ- ностью Оо, при отказе обоих регуляторов — с вероятностью ро.
Первый из регуляторов имеет надежность Р„ второй — Ро. Все элементы выходят из строя независимо друг от друга, Найти полную надежность (вероятность безотказной работы) двигателя. основные теопгмы теоРии вевоятностеп (гл. з Р е ш е н н е. Рассмотрим гипотезы: Нь а — работают ооа регулятора, Н, — работает только первый регулятор (второй вышел нз строя), На — работает только второп регулятор (первык вышел пз строя), На — обз регулятора вышли из строя и событие А — безоакззвзя рабога лвигзавля. Вероатиосгн гипотез равны: Р(Нп Й = Р~ара' Р(Н1) = Р10 — Ра)' Р(На) =Раб Ра)' Р(Но) =(1 Ра) (1 — Ра) Условвью гсроятпосгп событпя А прп зтпк гппотсззк ззлзпьг Р(А (Нь а) = 1 — два, 'Р(А (На) = 1 — ауп Р(А | На) = 1 — ды Р(А! Но) = 1 — яа. По формуле полной вероятности получим: Р (А) = Ра Ра 0 — Ч ь д+ Ра (1 — Ра) (1 — за) + + Ра (1 — Ра) (1 аа) + 0 — Рд (1 — Ра) (1 — яа).
З.б. Теорема гипотез (формула Бейеса) Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейеса. Поставим следующую задачу. Имеется полная группа несовместных гипотез НР На, ..., Н„. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н,). Р(На), ..., Р(Н„). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как сле- дует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого со- бытия? Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н,) А) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения имеем: Р(АН) =Р(А) Р(Н,. ! А) =Р(На) Р(А! Н) илн. отбрасывая левую часть, Р (А) Р (Н,1 А) = Р (На) Р (А ~ Н,) (1 = 1, 2, ..., и), откуда Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности (3.4.1), имеем: Р(Н,.~ А) = Р'Н) Р(А|Н) (1=1, 2...., и).
(З.б.1) (На) Р (4! На) 61 ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРЕНИИ ОПЫТОВ причем в кзждое произведение событие А должно входить и раз, а Л дол>кно входить л — и раз. Число всех комбинаций такого рода равно С~. т. е. числу сноса,ов, какнчз но:кно нз л опытои Быбрат и, в которых произошло событие А. Вероятность каждой такой комбинации, по теореме умнож-Нця дая НЕЗЗВВСЯМЫХ СОбЫТНй, разва Ртдь '"..
ТаК КаК КОМбниацнн между собой несовместны, та, по теореме сложение, Вероятность сооытня Вт равна т л-т т т-т тт т т — т тл — Р4 Рб — лр Ст раз Такни образом. Тез ножен тзгь л,.'Вющ;ю форчулировку частной теоремы о повторении опытов. Вели производится и независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно и раз, выражается формулой Р. „=фР4"-, (4.1.1) гдед=1 — Р.
формула (4.1.1) описывает, как распределяются вероятности между возможными значениями некоторой случайной величины — числа появлений события А при и опытах. В связи с тем, что вероятности Р ,„ по форме представляют собой члены разложения бинома (д+ Р)', распределение вероятностей вида (4.1.1) называется бинолгиальным распределением.
4.2. Общая теорема о повторении опытов Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна н та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях; и вероятность события от опыта к опыту меняется.
Например, если производится ряд выстрелов в переменных условиях (скажем, при изменяющейся дальности), то вероятность попадания от выстрела к выстрелу может заметно меняться. Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях дает общая теорема о повторении опытов. Пусть производится и независимых опытов, в каждом из которых может появиться нли не появиться некоторое событие А, причем вероятность появления события А в 1-и опыте равна рп а вероятность непоявления д, = 1 — р,(1 = 1, ..., и). Требуется найти вероятность Р „ того, что в результате л опытов событие А появится ровно и раз. 62 !Гл.
4 ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ Обозначим по-прежнему В событие, состоящее в том, что событие А поьвьзся т раз з и опшах. По-прежнему представим В„как сумму произведений элементарных событий: В = А1А2 ° ° ° Ать+1 ° Ал '+ + А1А2Аз " А.-1Ал + " ° ... -+ А1А2 ... А, А„ „ ... Ал. причем в каждое из произведений событие А входит гл раз, событие А П вЂ” Лг Раэ, ЧИСЛО таКИХ КОМбИНаЦИИ ПО-ПРЕЖНЕМУ бУДЕт Сл, НО СаМИ комбинации между собой будут уже неравновероятны.
Приченяя теорему сложения и теорему умпожепня для независимых событий. получим.' Рль л = Р1Р2 ° ° ° РтЧл1+1 ° ° ° Чл+ ° ° ° * ° ° +РРЧТР2 ° ° Чл-1Р + ° ° ° ° + Ч1Ч2 ° ° ° Ч вЂ” Р л - л1+1 ° ° ° Рлл т. е, искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которые буквы р с раэнымн индексами входят лг раэ, а буквы Ч с разными индексами и — лз раз. Для того чтобы чисто механически составлять все возможные произведения нз ва букв Р и п — 1н букв Ч с равными индексами.
применим следующий формальный прием. Составим произведение и биномов: Ул (я) = (Ч1+ Р1я) (Ч2+ Р22) ° ° ° (Чл+ Рля) или короче л Ч (2) =П(Ч +Р12) где я — произвольный параметр. Зададимся целью найти в этом произведении биномов коэффициент прн 2~. Для этого перемножим биномы н произведем приве- дЕНИЕ ПадОбНЫХ ЧЛЕНОВ. ОЧЕВИДНО, Кажднй ЧЛЕН, СОдсржащнй ял1.
будет иметь в качестве коэффициента произведение нг букв Р с какими-то индексами и а — т букв Ч, а после приведения подобных членов коэффициент при г~ будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа. Следовательно, способ составления этого коэффициента полностью совпадает со способом вычисления вероятности Р л в задаче о повторении опытов, Функция э„(г), разложение которой по степеням параметра я дает в качестве коэффициентов вероятности Р „. называется лроиззодялгей функцией вероятностей Р л илн просто нроизводя2цей Функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
