Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 13
Текст из файла (страница 13)
многоигольник ялспяидилиния Такую таблицу мы будем называть рядом распределения слуЧтобы придать ряду распределения более наглядный внд, часто прнбегюот к его графическому изображению: по ощг абсцисс откладывзются возможные значения случзйной величины, а по оси ординат— вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки сонином распределения (рис.
5.1.1). Многоугольник распределения, Рнс. 5.1.1. так же как и ряд распределения, полностью характеризует случай« ную величину; он является одной нз форм закона распределения, Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса. равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в и отдельных точках х,.
хю .... х„ сосРелоточены соответственно массы Рн Рм ..., Р„. Тогда РЯд РаспРеделениЯ интеРиРетнРУетса как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс. Рассмотрим несколько примеров прерывных случайных величин с их законами распределения. Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А.
Вероятность события А равна О,З. Рассматривается случайная величина Х вЂ” число появлений события А в данном опыте (т. е. характеристическая случайная величина события А, принимающая значение 1, если оио появится, и О, если не появится). Построить ряд распределения и многоугольник распределения величины Х. 70 снь апнын ввлнчнны н нх законы наспвпдвлпнип 1гл. з р, 1 распределения изображен на рис. 5Л.2. Пример 2. Стрелок производит трн выстрела по мишени, Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадзнчс стрелку ззсччты тг ся 5 чч оч По. строить ряд распределения числа выбитых очков. Решение.
Обозначим Х число выбитых очков. Возможные значения величины Х: х, 0; хт 5; ха=10; х, 15. Вероятности этих значений находим по теореме о повторении опытов; Р Обз 0216' Рт 'Сз~'04'О,бт 0,432; Многоугольник Рис. 5.1.2, Рз Сз 0,4 0,6 0,288; р 0,4а 0 064, Рад распределения величины Х имеет вид: 15 10 0,432 0,288 рг 0,216 0,064 Многоугольнин распределения изображен на рис. 5.1.3.
П р и и е р 3. Веронтность появления события А в одном опыте равна р. Производится ряд независимых опытов, которые иродов- гт жаются до первого появления собы- 44 тня А, после чего опыты прекращаются, Случайная величина Х вЂ” Ду число произведенных опытов. Построить ряд распределения величины Х. Р е ш е н и е. Возможные значения величины Х: 1, 2, 3,...
(теорети- ВП чески они ничем не ограничены). Для того чтобы величина Х приняла знагб В чение 1, необходимо, чтобы событие А произошло в первом же опыте; ве- Рис. 5.1.3. роятность этого равна р. Для того чтобы величина Х приняла значение 2, нужно, чтобы в первом опыте событие А не появилось, а во втором — появилось; вероятность этого равна бр, где я 1 — р, и т. д; Ряд решен не. Величина Х имеет всего двз значению 0 и 1. Ряд распределен' я всличш ы Х имеет вад; вл1 вяд влспведеления. многоигольнид влспгвделення Т1 распределения величины Х имеет вид: 1 ( 2 ( д ! Л ~ Р ~ Рч ~ Рч' ( ° ° .
Ро' '~ ° ° Первые пять ординат многоугольника распределения для случая р=д=о,б показаны иа рис. 5.1.4. Пример 4. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, ммея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасхолованпыи.
Рис. 5.1,4. Рис. 5Л.5, Решение. Саучайиав величина Х вЂ” число неизрасходованных патро нов — имеет четыре возможных значения: О, 1, 2 и 3. Вероятности зтих значений равны соответственно: р, = О,аз = 0,064; р~ 04з.об 0096; рз = 0,4 ° 0,6 0,240 Ра = 0,600. Ряд распределения величины Х имеет вид: 1 2 хт 0,096 0,240 0,600 Рт Многоугольник распределения показан на ряс. 5.!.5.
72 СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1ГЛ. 5 П р и и е р б. Техническое устройство может применяться в различных .словцах и в зависимости от этого время от времеви требует регулировки. ри однократном применении устройствз оио может случайным образом попасть в благоприятный или неблагоприятный режим, В благоприятном режиме устройство выдерживает три применения без регулировки; перед четвертым его приходится регулировать. В неблагоприятиом режиме устройство приходится регулировать после первого же примепепия, Вероятность ого, что устройство рорздает в илагоприятиый режим,— 0,7, что в неблагоприятный, — 0,3.
Рассматривается случайная величина Х вЂ” число применений устройства до регулировки. Построить ее ряд распределения. Р е рх е и я е. Случэйпая величина Х имеет три возможных значения: 1, 2 и 3. Вероятность того, что Х = 1, равна вероятности того, что при первом же применении устройство попадет в неблагоприятный режим, т. е. р, =0,3. Для того чтобы л величина Х приняла зяачение 2, нужно, чтобы при первом применении устройство попало в благоприятный режим, а при втором — в неблагоприятный; вероятность этого рэ = =0,7 0,3=0,21.
Чтобы величина Х приняла значение 3, нужно, чтобы два первых раза устройство попало в благоприятный режим (после третьего раза его все равно придется регулировать). Вероятность етого равна рэ = 0.7' 0,49. Ряд распределения величины Х имеет вид: 0,30 0,21 0,49 Многоугольник распределения показан на рис. 5.1.0. Б.2. Функция распределения В предыдущем и' мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться.
что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «несчетное множество»). Составить таблииу, в которой были бы перечислены все возмоигные значения такой случайной величины, не- Уз игнкция васпэедилиния бл1 возможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайнОй величины обычно не обладгег никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины пе существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины.
Однако различные области воэмокпых значений случайной величины все же не являются одинаково вероятнымн, и для непрерывнои вели'щпы существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной. Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Х = х, а вероятностью события Х «.х, где х — некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, есть некоторая функ ци я от х.
Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается Р(х): Г(х) = Р(Х < х). (5.2.1) Функцию распределения Р(х) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом расиределения. Функция распределения — самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.
е. является оцной нз форм закона распределения. Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1. Функция распределения Р (х) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при хт ) х, г.(хз) Р (х,). 2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: Г ( — со) = О. функция распределения равна единице: Рис. 5.2,1. Г (+ со) = 1. Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину Х как случайную то ч к у Х на оси Ох (рис. 5.2.1), которая в результате опыта может занять то или иное положение.
Тогда функция распределения Р(х) есть вероятность того,.что случайная точка Х в результате опыта попздет л е в е е точки х. Будем увеличивать х, т. е. перемещать точку х вправо по осн абсцисс, Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка Х 74 слвчлиныи ввличины и их законы васпввдвлиния (гл.
з попзлет левее х, не может уменьшиться; следовательно, функция рзспределе;шя Р(х) с возрастанием х убывать не может. Чтобы убедиться в том, что Р( — со)=0, будем неограниченно перемещать точку х влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки Х левее х в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю, т. е. Р( — со)=0. Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку х вправо. убеждаемся, что Р(+со)=1, так как событие Х(х становится в и"е "еле "остове ным. Графин функции распределения Р(х) в общем случае представляет со(ой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются ог 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).
Зная ряд распределения прерывной случайной величины. можно легко построить функцию распределения этой величины, Действительно. Р(х) =Р(Х ( х) = (г х Р(Х=х), А'~ ( .Т где неравенство х(ч,х под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения хн которые меньше х. Когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь иэ возможных значений прерывной величины Х. функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Пример 1, Производится один опыт, з котором может появиться или не появиться событие А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
