Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 17
Текст из файла (страница 17)
11ентрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожиданию (5,7.4) Х=Х вЂ” т . Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком ' наверху. Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.
Действительно, для прерывной ') Понятие математического ожидания функции от случайной величины будет уточнено далее (см, главу 10). 94 слвчлиныв ввличииы и их законы влспввдялвиия !гл. в величины е М 1Х! = М ! Х вЂ” т„! =,Я (х — т„) р, = с=1 х~Рг — т»2~ Рь=т» — тх — — О; (5.7.5) 1 1 аналогично и для непрерывной величины. Центрирование случайной величины, очевидно. равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию. 9!оиенты цснтрированнсй случайной величины носят название центральных моментов.
Оии аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике. Таким образом, центральным моментом порядка в случайной величины Х называется математическое ожидание з-й степени соответствующей центрированной случайной величины: р, (Х! = М (Х'! = М ((Х вЂ” т,У!. (5.7.6) Для прерывной случайной величины в-й центральный момент вы- ражается суммой рь (хг т») Рг ыы (5.7.7) а для непрерывной — интегралом р, = ! (х — т„)' у (х) Ых.
(5.7.8) р,= М (Х)=М(Х вЂ” т„!=О, (5,7.9) так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю. Выведем соотношения, связывавшие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедиться, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности — злемеитами вероятности.
В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо а,!Х! и р;!Х! писать просто и, и р,. Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю: моменты. диспезсия Рассмотрим второй центральный момент: р = !И ] Ха] = ~~'.~ (х, — гл )3 р, = = ~з хтр, — 2лз ~~.", х,.р,. + лзз ~~~~ р, = 3, — 2 та +- лгз = з — л!3. 1=1 1=! ! 1 Аналогично для третьего центрального момента получим: л л Л 1! = !И ] !(3] = ~ (х. — лз )3 р. = ~~' .»Зр — 3гл ~.", хзр .+ л л + йжз У х р — глз ~~ р т — Зз.»! + 2л!3, *1=! * =! Выражения для р», рз и т.
д. могут быть получены аналогич. ным путем. Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины Х справедливы формулы: зз !и», 1"в=аз Зт а +2лзз (5.7.10) Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только атно. сительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной тачки а: 7, = М НХ вЂ” а)']. (5.7.11) Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели. всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при втой системе отсчета имеет минимальное значение, Докажем зто.
Для прерывной случайной величины Х прн г = 2 формула (5.7.11) имеет вид: л 7 = ~~ (х — а)3 р, (5.7.12) 1 1 Преобразуем вто выражение: Т,= ~(х,— яз„+я!„— а)'р, = 1=1 л л = ~~'.~ (х,— яз )зр,— 2(лз„— а) ~ч~~ (х,— т ) р,+ ! ! ! 1 + (лз„— а)'=р, +(яз„— а)з. О !евндно, зта величина достигает своего минимума, когда т =а.
т. е. когда момент берется относительно точки т . Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первыИ начальиыИ момент (математическое ожидание) т„ = х, и второй центрзльный момент «вз.
Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду краИней важности этоИ характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение [)[Х[! «в! = О [Х [. Согласно определению центрального момента [) [Х[= !И [Хв[, (5.7.13) т, е. дисперсией случайной величины Х иазыеаетса математическое ожидание квадрата соответствую«лей цеитрирозанной величины. Заменяя в выражении (5.7.13) величину Х ее выражением, имеем также: (5.7.1 4) Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы: л 0 [Х[ = ~ (х, — пв„)з р,, !=1 (5.7.15) СО ,О[Х[= ~ (х — т,)ту" (х)ах (5.7. 16) — соответственно для прерывных и непрерывных величин.
Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее матемзтического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание». Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, кзк момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания). Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайноИ величины.
Для етого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе — «стандартом») случайной величины Х. Среднее квадратическое отклонение будем обозначать а[Х[: «[Х[='«70[Х[. (5.7.17) 96 слтчлпные величины н нх законы влспввделиння «гл. з 97 МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ Для упрощения записей мь1 часто булем пользоззться сокрашеннымп обозы": щ1яы 1 среднего квадратического отклонешш и дисперсии: з и 0 .
В случае, когда не возникает сомнения, к какой случзйеой величине относшся эти характеристики. мы будем иногда опУскать значок х У Ре и Ол и писать пРосто ч и О. Слова «сРеднее квалратическое отклонение» нноглз пулем сокращенно заменять буквамп с. к. о. На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через ее второй начальный момент (вторая нз формул (5.7.10)).
В новых обозначениях она булет иметь внд: Π— Р— Р1 г .е ' (б.7.18) Математическое ожидание ш и дисперсия 0 (или среднее квадратическое отклонение а,) — наиболее часто применяемые характерьстики случайной величины. Оии характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности.
Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков. Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, мзсса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.
Действительно, в сумме Ре = Л (Х' Лгл) Р1 при симметричном относительно т, законе распрелеления и нечетном а каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что вся сумма равна нулю.
То гке, очевидно, спрзведливо и для интеграла р,= ( (х — т )'у(х)дх, который равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины; чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент рз делят нз куб среднего квадратического отклонения, У Е. С. Велечель 98 слтчапныв ввличины и их законы васпввлвлвния (гл. з Полученная величина поснт название «коэффициента аспмметрии» нли просто «асимметрии»; мы обозначим ее ол: щ иа аз (5.7.19) На рис.
3.7.1 показано дза асимметричных распределения; одно из них (кривая 1) имеет г71 положительную асимметршо (81г О); дртгое(кривая П) — отрицательную (Ут "О). Четэертыя центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т. е. островершкнности или х плосковершниности рас- л лг эгл пределения. Эти свойства Ряс. 5.7.1. распределения описываются с помощью так называемого экспесса. Эксцессом случайной величины Х называется величина Ех = — '„' — 3. (3.7.20) Число 3 вычитается из отношения —,' потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормаль- Фх1 ного закона распределения (с которым мы подробно ~$' 6 познакомимся э дальнейшем) ф = 3. Таким обрааом, Фл=г1) для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершнн- 1«1ял Ф ные по сравнению с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые д более плосковершинные— Рнс.
' 5.7.2. отрицательным эксцессом. На рис. б. 7 .2 представлены: нормальное распределение (кривая 1). распределение с положительным эксцессом (кривая П) и распределениее с отрицательным эксцессом (кривая П1). моменты. Йиспввсня Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике ч огда прнчепяются так называемые а6голюлгнис моменты (начальные и центральные), определяемые формуламн р =А((~Х('11 т =евА((~Хф Очсендно, абсолютные моменти чспгых порядков совпадают с обычными моиеигами. Иэ абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент ъ,=МИХ~)-А((~Х ю„11, (5.7.21) нз, в, мы 1 гвсрчлч при бивал а ~о~лик оюхлснел г э. Цл с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется иак характеристика рассеивания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
