Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вероятность события А равна 0,3. Случайная величина Х вЂ” число появлений события А в опыте (характеристическая случайная величина события А). Построить ее функцию распределения. Решение. Ряд распределения величины Х имеет вад: 0,3 0,7 ФУНКЦИЙ РАСПРПДПЛРНИЯ Построим функцию распределения величины Х: 1) грпх О Р(х) Р(Х <х) 0; 2) врн 0 < х:с',1 Р(х) = Р(Х < х) = Р(Х= О) =0,7; 3) прн х>! ю (ху= ' ( ху= ° ( = у-у" ( =~) График функции распределения представлен иа рис. 5.2.3.
В точках разрыва функция Р(х) принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрсрывую слева). . у '.'- ! Рнс. 5.2.3. П р и и е р. 2. В условиях предыдущего примера производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа появлений событиа А. Решение. Обозначим Х вЂ” число появлений события А в четырех опытах.
Эта величина имеет ряд распределения 0,2401 0,41!6 0,0756 0,0031 0,2646 ру Построим функцию распределения случайной величины Х: 1) при х<0 Р(х) =0; 2) при 0<х<! Р(х) 0,2401; 3) при 1<х~2 Р(х) 0,6517; 4) при 2<х~б Р(х) 0,9163; 5) при 3 < х<4 Р(х) 0,9919; 6) при х) 4 Р(х) 1. График функции распределения представлен на рис. 5.2А 76 слзчлпныз величины н их законы васпвздплвния [гл.
з Функция распределения любой прерывной случайной величины всегда есть раарывная ступенчатая функция, скачки которой происходят з точках, соответствующих возможным значениям случайной лу у Рес. 5.2лй величины. и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции Р(х) равна единице. По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки в меньше; ступенчатая кривая становится Ряс. 5.2.5.
более плавной (рис. 5. 2. 3; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения — к непрерывной функции (рис. 5. 2 .6). На практике обычно функция распределения непрерывной слу- чайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ точках, как это показано на рис. 5.2,б, Однако можно построить примеры случайных величин, возможные вначения которых Непрерывно заоолияют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит Рнс. 5.2,5, разрывы (рис. 5.2.7). Такие случайные величины называются смешлнными. В качестве примера смешанной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен Л (рис.
5.2.8). Значения этой случайной величины непрерывно ваполняют промежуток от 0 до кЖ ио при р Л' Рис. 5.2.7. Рис. 5.2.8. этом крайние значения промежутка 0 и кЩ осуществляющиеся при положениях бомбы типа 7 и П, обладают определенной конечной вероятностью, и этим аначеииям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа П7) функция распределения непрерывна. Другой пример смешанной случайной величины — время Т безотказной работы прибора, испытываемого в течение времени г.
Функция распределения втой случайной величины непрерывна всюду, кроме точки Г. 78 слячлпныв виличины н нх законы эаспэвдвлвния 1гл. а В.З. Вероятность попадании случайной величины на заданный участок При решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто оказываетсз необходимым вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых .о *:,;;;:" уд .' на,ыо«ть «попаданием случайной величины Х на участок от а до 11».
Условимся для определенности левый конец и включать в участок (а, р), а правый — не включать. Тогда попадание случайной величины Х на участок (и, 'р) равносильно выполнению неравенства: «<Х < 3. Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины Х, Для этого рассмотрим три события: событие А. состоящее в том, что Х < р; событие В, состоящее в том, что Х < и; событие С, состоящее в том, что а < Х < р, Учитывая, что А = В+ С, по теореме сложения вероятностей имеем: Р(Х < ~) =Р(Х < и)+ Р(а < Х < ~), Р(р) = Р(а)+Р(а < Х < р), откуда Р («< Х < ф) = Р ф) — Р (и), (5.3.1) т.
е. еероятнослгь попадания случайной величины на ладанный учасгпок раина прирагцению функции распределения на еоголе участке. Будем неограниченно уменьшать участок (а, р), полагая, что р — ьи. В пределе вместо вероятности попадания на участок получим вероятность того, что величина примет отдельно взятое значение и: Р (Х = и) = В из Р(и < Х < Р) =11гп (Р (Р) — Р (и)). (б 3.2) з-3 а э+я Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция р(х) в точке х=и пли же терпит разрыв.
Если в точке а функция р(х) имеет разрыв, то предел (5.3.2) равен значению скачка функции Р (х) в точке а, Если же функция Р (х) в точке а непрерывна, то этот предел равен нулю. В дальнейшем изложении мы условимся называть «непрерывными» только те случайные величины, функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее положение: ввгоятность попадания на каданнын югасток 79 Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной леличины равна нулю. Остановимся на этом положении несколько подробнее. В данном разны нулю: это были невозможные собыпи.
Теперь мы видим, что обладать нулевой вероятностью могут не тол ко невозможные, но н возможные события. Действительно, событие Х =«, состоящее в том, что поп"е"ывпая сл"чайная вели шна Х примет зна. г.ие а, возможно; однако вероятность его равна нулю. Такие события — возможные, но с нулевой вероятностью — появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев. Понятие о событии «возможном, но обладающем нулевой вероятностью» кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает.
Сколь угодно малый объем, выделенный нз тела, обладает определенной конечной массой; эта масса прнблюкается к нулю по мере уменьшения объема и в пределе равна нулю для точки. Лналогячно прн непрерывном распределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок мсчкет быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю. Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина Х должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю; однако. в исходе опыта случайная величина Х непременно примет одно из своих возможных значений, т.
е, заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю. Из того, что событие Х = а имеет вероятность, рваную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т. е. что частота этого события равна нулю. Мы знаем, что частота события прн большом числе опытов не равна, а только приближается к вероятности. Из того, что вероятность события Х = а равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.
Если событие А в данном опыте возможно, но имеет вероятность. равную нулю, то противоположное ему событие А имеет вероятность, равную единице, но не достоверно. Для непрерывной случайной величины Х при любом и событие Х чь и имеет вероятность, равную единице, однако это событие не достоверно. Такое событие прн неограниченном повторении опыта будет происходить п о чт и всегда. но не всегда.
В п' 5А мы познзкомились с «механической» интерпретацией прерызной случайной величины как распределения единичной массы. сосредоточенной в нескольких изолированных точках на оси абсцисс. 80 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [ГЛ. 3 В случае непрерывной случайной величины механическая интерпоетацня сводится к распределению едиюшнои массы не по отделы.ым точкам, а непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой.
6.4. Плотность распределения Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения Р(х). которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до х +Ьх: Р(х < Х < х +- Ьх) = — Р (х -т- Ьх) — Р (х). Введем обозначение: «(х) = «" (х). Функция «(х) — производная функции распределения — характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плот««х« ноет»ю распределения (иначе— «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины Х. Иногда функцию у(х) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины Х.
Термины «плотность распреде«« х ленин», «плотность вероятности» стзновятся особенно наглядными Рис, 5.4Д. при пользовании механической интерпретацией распределения; в втой интерпретации функция у(х) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая.
изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1). (5.4.2) т. е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка«т, е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом учзстке. и будем приближать Ьх к нулю. В пределе получим производиводн у ю от функции распределения: г" (х+ дх) — г" (х) А .+О дх ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Плотность распределения, так же как и функция распрееелення, ггть ндпа пт фопц эюгпна ра ппелелеипе В ппопшщщл жн функции распределении эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин. Рассмотрим непрерывную слупеяптьт пелппппч Л г и ептппгть1п распределения у (х) и элементарный участок гГх, примыкающий к точке х (рис.
5,4.2). Вероятность попадания случайной величины Х на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна у'(х)~ух, Величина у (х)г(х называется элементом аероят- Ряс. 5.4,2. ности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок с(х (рис. 5.4.2). Выразим вероятность попадания величины Х на отрезок от а до р (рис, 5,4.3) через плотность распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
