Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Вычислим среднее арифметическое наблюденных значений величины Х, которое в отличие от математического ожидания М [Х) мы обозначим Л('(Х]! «,т +«!та+ ... +«лт дг =х! — +«з — + ° ° +х — = г х т, т, т„' %ч т! ДГ л1 ''' л ДГ а~а ! 1!Г* ! ! роятность) события Х=х,; эту частоту можно обозначить р,". Тогда М'[Х!.= ~ч", х,р,*, 1=1 т. е.

среднее арифметическое наблюдьчшык значений случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на частоты этих значений. При увеличении числа опытов М частоты р," будут приближаться (сходиться по вероятности) к соотвеъ(твующим вероятностям рн Следовательно, и срсдпсс арифметическое наблюдеипык значений случайной величины М'[Х[ при увеличении числа опытов будет приближаться (сходиться по вероятности) к ее математическому ожиданию М [Х[.

Сформулированная выше связь между средним арифметическим и математическим ожиданием составляет содержание одной из форм закона больших чисел. Строгое доказательство этого закона будет дано нами в главе 13. Мы уже знаем, что все формы закона больших чисел констатируют факт устойчивости некоторых средних при большом числе опытов. Здесь речь идет об устойчивости среднего арифметического из ряда наблюдений одной и той же величины. При небольшом числе опытов среднее арифметическое их результатов случайно; при достаточном увеличении числа опытов оно становится «почти не случайным» и, стабилизируясь, приближается к постоянной величине— математическому ожиданию.

Свойство устойчивости средних при большом числе опытов легко проверить экспериментально. Например, взвешивая какое-либо тело в лаборатории на точных весах, мы в результате взвешивания получаем каждый раз новое значение; чтобы уменьшить ошибку наблюдения, мы взвешиваем тело несколько раз и пользуемся средним арифметическим полученных значений. Легко убедиться, что при дальнейшем увеличении числа опытов (взвешиваний) среднее арифметическое реагирует на это увеличение все меньше и меньше и при достаточно большом числе опытов практически перестает меняться. Формула (5.6.1) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины Х математическое ожидание, естественно.

выражается уже не суммой, а интегралом: М [Х[ = ~ хг"(х)г(х, (6.6.2) где г (х) — плотность распределения величины Х. 88 слхчлпныв ввличины н мх злконы ялспгвдвлвния !гл. з 89 ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛОЖЕНИЯ 6.61 распределения: 2! х! 2 1 2' 1 2 и ж! Нетрудно убедиться в том, что,д, р,=1, т. е. ряд распределе6=! ния имеет смысл; однако сумма ~ хбр! в данном случае расходится 6=! и, следовательно. математического ожидания величины Х не существует. Однако для практики такие случаи существенного интереса не представляют.

Обычно случайные величины, с которыми мы имеем дело. имеют ограниченную область возможных аначений и безусловно обладают математическим ожиданием; Формула (5 . 6 . 2) и о луч аетс я из формулы Гб . 6 . 1), если в ней заменить отдельные значения х, непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности р; — элементом вероятности у (х) !тх, конечную сумму — интегрз,шм. В дальнейшем мы часто будем пользоваться таким способом распространения формул, выведенных для прерывных величин, на случай непрерывных величин.

В механической интерпретации математическое ожидание непрерывной случайной величины сохраняет тот же смысл — абсциссы центра тяжести в случае, когда масса распределена по оси абсцисс непрерывно, с плотностью Г'(х). Эта интерпретация часто позволяет найти математическое ожидание без вычисления интеграла (5.6.2), из простых механических соображений. Выше мы ввели обозначение М 1Х) для математического ожидания величины Х, В ряде случаев, когда величина М [Х) входит в формулы как определенное число, ее удобнее обозначать одной буквой. В этих случаях мы будем обозначать математическое ожидание величины Х через т : и = М1Х). Обозначения гл и М)Х) для математического ожидания будут в дальнейшем применяться параллельно в зависимости от удобства той или иной записи формул.

Условимся также в случае надобности сокращать слова «математическое ожидание» буквами м. о. Следует заметить, что важнейшая характеристика положения— математическое ожидание — существует не для всех случайных величин. Можно составить примеры таких случайных величин, для которых математического ожидания не существует. так как соответствующая сумма или интеграл расходятся. Рассмотрим, например, прерывную случайную величину Х с рядом 90 СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ГЛ. З Выше мы дали формулы (5.6.1) и (5.6.2). выражающие математик«с«в«к»киданье соответственно для преоызноя н к ккркрк»ккя, сну.

чайной величины Х. Всли величина Х принадлежит к величинам смешанного типа. то ее математическое ожидание выражается формулой вида: М(Х) = ~ь„х,р,+ 1 + ~ хР'(х)дх, (5.6.3) и М Рис. 5.6Л Рнс. 5.6.2. модой является то значение. в котором плотность вероятности максимальна, Условимся обозначать моду буквой еЖ. На рис. 5. 6. 1 и 5.6.2 показана мода соответственно для прерывной и непрерывной случайных величин.

где сумма распространяется нк все точки х, з которых функция распределения терпит разрыв, а интеграл — на все участки, на которых х функция распределения непрерывна. Кроме важнейшей из ха- рактеристик положения †математического ожидания. — на практике иногда применяются и лругие характеристики положения. в частности мода и медиана случайной величины. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное аначение. Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к прерывным величинам; для непрерывной величины 91 хаеактаямстики положения асан многоугольник распределения (ириеая распределения) имеет (рис.

5.6.3 и 5.6.4). Рас. 5,6.3, 0 Рис. б.б.а. Иногда встречаются р аспределення, обладавшие посередине не максимумом. а минимумом (рис. 5. 6.5 и 5. 6. 6). Такие распределения Рис. б.б.б. Ряс. б.б.б. нааыаавтся «антнмодальными». Примером аитииодального распределения может служить распределение, полученное я примере 5, и'5.1, 92 слтчлнныв вяличины и их законы васпявдвлвния (гл з В общем случае мода и математическое ожилзние случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным (т.

е. имеет моду) и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения, Часто применяется еше одна характеристика положения — так называемая медиана случайной величины. Втой характеристикой польауются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально можно ее определить и для прерывной величины. Медианой случайной величины Х нааывается такое ее значение аеге.

для которого х Р(Х < еМе)=Р(Х ) отсе), 0 тге т. е. одинаково вероятно, Рис. з.б.7. окажется ли случайная вели- чина меньше нли больше ееге. Геометрическая медиана — зто абсцисса точки, в которой площадь. огргниченная кривой распределения, делится пополам (рис. б.б,7). В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой, Б.7. Моменты.

Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение Кроме харзктеристик положения — средних, типичных значений случайной величины, — употребляется еще ряд характеристик, каждая нз которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаше всего применяются так называемые моменлгы, Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.

д,), Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины, Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные. Начальным моментом з-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида: МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка в в механике, если на осп ы:сцнсс з точках х,, 'х,, ..., х„ сосредоточены массы р,, р,, ..., р„.

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом в-го порядка называется интеграл (5.7.2) Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем и' основная характеристика положения — математическое ожидание — представляет собой не что иное, как первый начальный момент случаиной величины Х. Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (5.7.1) и (5.7.2) в одну.

Действительно, формулы (5,7.1) и (5.7.2) по структуре полностью аналогичны формулам (5.6.1) н (5.6.2), с той рааиицей, что в них вместо х, и х стоят, соответственно, х', и х'. Поэтому можно написать общее определение начального момента в-го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин: а, (Х] = М '1Х~1, (5.7.3) т. е. начальным моментом в-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание в-й степени этой случайной величины '). Перед тем как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины». Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием те.

Характеристики

Список файлов книги