Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, имеет вид: Убедимся прежде всего, что последовательность вероятиостей, задаваемая формулой (5.9.1), может представлять собой ряд распре- !9У закон нтассона деления, т. е. что сумма всех вероятностей Р равна единице. Имеем: ~)~~ Рттт ~ --~е-о=е-о ~ т о т о т О Но откуда и„=М [Х) = ~~О иР О 0 ! г Д 4 о Е 7 Р =~~ и — е-". Рис. 5.9.!. гя! т О Первый член суммы (соответствующий довательно. суммирование можно начинать ОО СО ОЭ ат кч тат-! и„ = у и , е-' = ае-' ~ и кьа и=О) равен нулю, сле с и=1: и-~ а "' =ае-о у 2Е (т — 1)! и=! т ! Обозначим и — 1=А! тогда о ъч а и =ае-о т — =ае-ое'=а.
к,Да о=о (6.9.2) Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х. Х Р =е-' т=О На рнс. 5.9.1 показаны многоугольники распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а. В таблице В при- Р ложения приведены значения Р для различных а. Определим основные ха- !)5 рактеристнки — математическое ожидание и дисперсию — случайной величины Х, распределенной по вакону Пуассона. По определению математического ожидания 108 слУчхиныв величины и их зАноны РАСИРеделения !гл.
в 'тля онгевеления лиспсосин найдем сначала второй начальный момент величины Х: ат ат-' т! — е-'=а у т е-а т! = 2~ (в! — 1)! т=о ак! — ! (т — 1) ! = а ~. ((т — 1) + 1! е гл = ! По ранее доказанному чч ев т=! А=О кроме того, ит — ! е-'=е-"е" =1, (т — 1) ! т 1 следовательно. и! — — а (а + 1). )Аалее находим дисперсию величины Х! В =и — т! =а!+а — а!= а. к 2 (5.9.3) Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию а. Это свгй!Ство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона.
Для етого определяют из опыта статистические характеристики — математическое ожидание н дисперсию — случайной величины '). Если их значения близки. то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие зтих харзктеристик, напротив, свидетельствует против гипотезы. Определим для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, вероятность того, что она примет значение не меньше ') О способах зкспериментального определения зтнх характеристик см.
ниже, гл. 7 и 14. 199 ЗАКОН ПУАССОНА з.з1 заданного й. Обозначим зту вероятность И». Очевидно, вероятность )с » может быть вычислена как суммз и! =» Однако значительно проще определить ее из вероятности противоположного события: »-1 ГС» = 1 — (Ра + РЪ + ° .. + Р» Г) = 1 — С.'~ Рж. (5.9. 4) в=а В частности, вероятность того, что величина Х примет положительное значение, выражается формулой »с,=1 — Р,=1 — е'. (5.9.5) Мы уже упоминали о том, что многие задачи практики приводят к распределению Пуассона.
Рассмотрим одну из типичных задач такого рода. Пусть на оси абсцисс Ол случайным образом распределяются точки (рис. 5.9.2). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям: 1. Вероятность попадания того кли иного числа точек на отрезок 1 зависит только от длины этого отрезка. но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами.
точки распределены на оси Ряс. 6.9УЬ абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность (т. е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины) через ).. 2. Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т. е. вероятность попадания того или другого числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой дру. гой отрезок, не перекрывающийся с ним. 3. Вероятность попадания на малый участок бв двух нли болев точек пренебрежимо Мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух илн более точек). 110 слУчАйные Величины и их ЗАконы РлспРеделения [гл. з Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины ( и рассмотрим дискретную случайную величину Л вЂ” число точек, попадающих на этот отрезок.
Возможные значения величины будут О, 1, 2, ..., и... (5.9.6) Тзк как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что пх там окажется сколь угодно много, т. е. ряд (5.9.6) продолжается неограниченно. Докзжел[, что случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, Для этого вычислим вероятность Р того, что на отрезок [ попадет ровно и точек. Сначала решим бо,тее простую задачу. Рассмотрим нз оси Ох малый участок Ьх н вычнсшм вероятность того, что на эгог учасычс попадет хотя бы одна точка, Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок.
очевидно, равно ЛЬх (т. к. на единицу длины попадает в среднем Л точек). Согласно условию 3 для малого отрезка Ьх можно пренебречь возможностью попадания на пего двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание ЛЬх числа точек, попадающих на участок Ьх, будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в наших условиях равнозначно. хотя бы одной).
Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при Ьх -ь О можно считать вероятность того, что на участок Ьх попадет одна (хотя бы одна) точка, равной ЛЬх, а вероятность того. что не попадет ни одной, равной 1 — ЛЬх. Воспользуемся этим для вычисления вероятности Рм попадания на отрезок [ ровно и точек. Разделим отрезок [ на а равных частей длиной [Лх = — . Условимся называть элементарный отрезок [Лх л ' «пустым».
если в него не попало нн одной точки, и «занятым», если в него лопала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок Ьх окажется «занятым», приближенно равна ЛЬх = Л[ Л[ = —; вероятность того, что он окажется «пустым», равна 1 — —. л ' л ' Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы. то наши и отрезков можно рассмотреть как л независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть П «занят» с вероятностью р = —. Найдем вероятность того, что среди л л отрезков будет ровно и «занятых». По теореме о повторении опытов эта вероятность равна ЗАКОН ПУАССОНА илн, обозначая ),1 = а, С.'"( — „') (1 — =(и "'. При достаточно большом и эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок 1 ровно т точек.
так как попадание двух или больше точек на отрезок йх имеет пренебрежимо малую вероятность. Лля того чтобы найти точное значение Рт, нужно з выражении (5.9.7) перейти к пределу при и -ь со: Си( ) (1 — ) (5.9.8) Прсо'11ззуем зырзжг1ие, стояшге под зпакзз п,1где.1з: ,/а!т/ а!и-т и(и — 1) ... (и — т+1) т! и (и — 1) ... (и — т+ 1) ат т (5.9.9) ит т! ( (5.9.!О) При и — ьсо — — ь "о, и выражение (5.9.!0) стремится к е '. и а Таким образом, доказано, что вероятность попадания ровно т точек в отрезок 1 выражается формулой ат Р = — е-", т т! где а =11, т. е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром а =)1.
Отметим, что величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок 1. Величина )сг (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок 1 попадет хотя бы одна точка: й = ! — е-'. 1 (5.9.1 1) Первая дробь и знаменатель последней дроби в выражении(5.9.9) ат прн и-ьж, очевидно. стремятся к единице. Выражение — от и не т! зависит.
Числитель последней дроби можно преобразовать так: 1!2 слхчлиныи вялнчины и их законы влспввдвлвния ггл. з Таким образом, мы убелились, что распределение Пуассона вози»каст там, !ле как !е-го точки (иги друю!е элены!гы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество зтнх точек, попавших в какую-то оолас!ь.
~ нашем случае такой «областью» был отрезок 1 на оси абсцисс. Однако наш вывод легко распространить и на случай распределения точек на плоскости (случай»ое плоское поле точек) и в пространстье (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия: 1) точки распределены в поле 'статистически равномерно со средней плотностью ),; 2) точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом; и) точк» но»зляюгся поодиночке. а не парами, тройками н г.
д., то число точек Х, попадающих в любую область О (плоскую!или пространственную), распределяется по закону Пуассона: зм Р = — е-л (т=О, 1, 2, ...), т! где а — среднее число точек, попадающих в область О. Для плоского случая а=8рЛ, где Юр — площадь области О; для пространственного а=Ур ), где Ъ'и — объем облзств О. Заметим, что для наличия пуассоновского распределения числа точек, попздающих в отрезок или область, условие постоянной плотности (Л = сопз1) несущественно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
