Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Вероятность хотя бы одного попадання прн трех выстрелах равны )(, =1 — (1-0,56)з =0,16. ГЛАВА 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫИ 1.1. Основные задачи математической статистики Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями. лишенными физического содержанияг они представляют собой математическое выражение реальных закономерностей.
фактически существуюших в массовых случайных явлениях природы. До снх пор, говоря о законах распределения случайных величин, мы ие затрагивали вопроса о том, откуда берутся, на каком основании устанавливаются эти законы распределения. Ответ на вопрос вполне определенен — в основе всех этих характеристик лежит опыт; каждое исследование случайных явлений, выполняемое методами теории вероятностей, прямо нлн косвенно опирается на экспериментальные данные. Оперируя такнмн понятиями, как события и их вероятности, случайные величины, нх законы распределения и числовые характеристики, теория вероятностей дает возможность теоретическим путем определять вероятности одних событий через вероятности других, законы распределения н числовые характеристики одних случайных величин через законы распределения и числовые характеристики других.
Такие косвенные методы позволяют значительно 'гонамить время и средствз, затрачиваемые на эксперимент, но отнюдь не исключают самого эксперимента. Каждое исследование в области случайных явлений, как бы отвлеченно оно ни было, корнями своими все~да уходит в эксперимент, в опытные данные, в систему паба:олений. Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдеиия массовых случайных явлений, составляет предмет спс„":,альной науки —.чите.иитической статистики.
Все задачи математической статистики касаются вопросов абраг'и ииблюиений над массовыми случайными явлениями, но в завис" мости от характера решаемого практического вопроса и от объема 132 законы влспвздвлання слгчлиных ввлнчнн 1гл. г имеющегося экспериментального материала эти задачи могут принимать ту или иную форму. Охарактеризуем вкратце некоторые типичные задачи математической статистики, часто встречаемые на практике.
1. Задача определения закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным Мы уже указывали, что закойомерности, наблюдаемые в массовых случайных явлениях, проявляются тем точнее и отчетливее, чем больше объем статистического материала. Прн обработке обширных по своему объему статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных случайных величин. Теоретически прн достаточном кодичестве опытов свойствчнные этим случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно.
На практике нам всегда приходится иметь дело с ограниченным количеством эксперимеНтальных данных; в сйязи с этим результаты наших наблюдений н их обработки всегда содержат больший или меньший элемент случайности. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления отнрсятся к постоянным, устойчивым и действительно присущи ему. а йакие являются случайными н проявляются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема экспериментальных данны)г.
Естественно. к методике обработки экспериментальных данных следует предъявить такие требования, чтобы она, по возможности, сохраняла типкчные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное. второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного материала. В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживзння или выравнивания статистических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических аавнсимостей.
2. Задача проверки правдоподобия гипотез Эта задача тесно связана с предыдущей; при решении такого рода задач мы обычно не располагаем настолько обширным статистическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были в достаточной мере свободны от элементов случайности. Статистический материал может с ббльшим или меньшим правдоподобием полтверждать или не подтверждать справедлцвость той иля иной гипотезы. Например, может возникнуть такой вопрос: согласуются лн результаты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная в личина пгдчнн;на закону распределеюш Р (л)7 Другой подобный вопрос; указывает лн наблюденная в опыте тен- СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ )зз денция к зависимости между двумя случайными величинами на наличие действительной объективной зависимости межлу ними или же она объяшшется случайными причинами, связанными с недостаточным объемом наблюдений? Для решения подобных вопросов математическая статистика выработала ряд специальных приемов.
3. Задача нахождении неизвестных параметров распределения Часто при обработке статистического материала вовсе не возникает вопрос об определении законов распределения исследуемых случайных величин. Обыкновенно зто бывает связано с крайне недостаточным объемом экспериментального материала. Иногда же характер закона распределения качественно известен до опыта, из теоретических соображений; например, часто можно утверждать заранее, что случайная величина подчинена нормальному закону.
Тогда возникает более узкая зздача обработки наблюдений в определить только некоторые параметры (числовые характеристики) случайной величины илн системы случайных величин. При небольшом числе опытов задача более или менее точного определения этих параметров не может быть решена; в этих случаях экспериментальный материал содержит в себе неизСежно значительный элемент случайности; поэтому случайными оказываются и все параметры, вычисленные на основе этих данных. В таких условиях может быть поставлена только задача об определении так называемых «оценок» или «подходящих значений» для искомых параметров, т.
е. таких приближенных значений, которые при массовом применении приводили бы в среднем к меньшим ошибкам, чем всякие другие. С задачей отыскания «подходящих аначений» числовых характеристик Тесно связана задача оценки их точности и надежности. С подобными задачами мы встретимся в главе 14. Таков далеко не полный перечень основных задач математической статистики.
Мы перечислили только те из них, которые наиболее важны для нас по своим практическим применениям. В настоящей главе мы вкратце познакомимся с некоторыми, наиболее элементар- 7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения Предположим, что изучается некоторая случайная величина Х. зюгсн распределения ксторой в точности неизвестен, и требуетея онределить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина Х подчинена тому или иному закону. '- эгей целью нзд случайной величиной Х производится ряд незззис 'мых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величина Х принимает определенное значение.
Совокупность наблюденных значений величины и представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Обычно простая статистическая совокупность оформляется в виде таблицы с одним входом, в первом столбце которой стоит номер опыта 1, а во втором — наблюденное знзчение случайной величины. П р и м е р 1. Случайная величина Р— угол скольжения самолета в момент сбрасывания бомбы '). Произведено 20 бомбометаний, в каждом нз которых зарегистрирован угол скольжения Р з тысячных долях радиана.
Результаты наблюдений сведены в простой статистический ряд: 20 8 — 30 15 120 16 — 100 17 — 80 18 20 19 40 20 — 60 — 10 20 30 — 80 60 70 — 60 — 10 30 60 70 — 10 9 10 11 12 13 14 Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами.
Одним из способов такой обрзботки является построение статистической функции распределения случайной величины. Статистической функпией распределения случайной величины Х называется частота события Х < х в данном статистическом материале: Р*(х) = Р* (Х < х). (7.2.1) Для того чтобы найти значение статистической функции распределения прн данном х, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина Х приняла значение, меньшее чем х, и разделить г . общее число и произведенных опь;тоз.
Пример 2. Построить статистическую функцию распределения для случайной величины р, рассмогренной в предыдущем примере а). ') Под углом скольжения подразумевается угол, составленный вектором скорости и плоскостью симметрии самолета. ') йдесь н во зоюгпх случаи Атее, нрп рзссмогренин конкретных практических примеров, мы не будем строго придерживаться правила — обозначать случаиные величины большими буквами, а их возможные значеняя— соответствующими малыми буквами. Если зго не может привести к недораз'„;маниям, мы в ряд случаен будем ооозвачать случаииую величину и ее возможное значение одной и той же буквой. 134 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН 1ГЛ.
-7 18б СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФУНКИИЯ РАСПРЕДЕЛЕИИЯ Тш Р е ше н ив. Так как наименьшее наблюденное значение величины равно 100, то Р( — 100) =О. Значение — 100 наблюлено один раз, его частота 1 1 равна — ' следовательно, в точке — 100 Р (Р) ил!еет скачок, равный 20 1 20 ' 1 В промежутке от — 100 до — 80 функция Р'(!Р) имеет значение —; в точке 2 20 ' — 80 происходит скачок функции Р'(Р) на — , так как значение — 80 наблюдено дважды, и т. д.
График статистической функции распределения величины представлен за рис. 7.2.1. 0 Л7 !ОР -шо Рис. 7.2.1. Статистическая функция распределения любой случайной величины — прерывной или непрерывной — представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по велнчкне равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины Х было наблюдено только один раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
