Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножением плотности Л на длину, площадь илн объем области, а интегрированием переменной плотности по отрезку, плошади или объему. (Подробнее об этом см. и' 19.4.) Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме — не единственное условие. при котором возникает распределение Пуассона. Можно, например, доказать, что закон Пуассона является предельным для бнномиального распределения: Р., „=С„р (1 — р)"-", (5.9.1 2) если одновременно устремлять число опытов и к бесконечности, а вероятность р — к нулю, причем их произведение лр- сохраняет постоянное значение: ар=а.
(б 9ЗЗ) 113 ЗАКОН ПУАССОНА ь.ь! Действительно, это предельное свойство биномнзльного распределения можно записать в аиде: Вт С„р (1 — р)' =.— — е '. «.ь са ю! (5.9.1 1) Но из условия (5.9.13) следует, что Ю р= и' (5.9.15) Подставляя (5.9,!5) в (5.9.!4), получим равенство Пш С„'" ( — 1 (1 — — ) = —,е-", (5.9.! 6) которое только что было доказано нами по другому поводу. Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытои н, в каждом из которых событие А имеет очень малую вероятность р. Тогда для вычисления вероятности Р того, что событие А появится ровно ль раз, можно воспользоваться приближенной формулой Р ж(Р) е«« щ! Пример 1. На автолгатическую телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью К вызовов в чзс.
Считая, что число вызовов на любои участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что зз две минуты иа станцию поступит ровно три вызова. Р е ш е н и е. Среднее число вызовов за две минуты равно: 2К К 60 30 ' По формуле (5.9.1) вероятность иоступления ровно трех вызовов равна: П р и и е р 2. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что за две минуты придет хотя бы один вызов. 3 е. С, вевткель где ар = а — параметр того закона Пуассона, которым приближенно ааменяется биномиальное распределение. От этого свойства закона Пуассона — выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события — происходит его название, часто применяемое в учебниках статистики: закон редких явлений. Рассмотрим несколько примеров, связанных с пузссоновским распределением, из различных областей практики.
!!4 слкчлиные величины и их законы распределения !гл.а Решение. По формуле (5.9А) имеем; К 77,=! — е л=! — е зз. Пример 3. В тех же условиях найти вероятность того, что за две минуты прилет не менее трех вызовов. Р еще нне. По формуле (5.9.4) имеем; К, ! г 7(гтч )7т=! — (Р,)-Р, +Р,) =1 — и зс~1+ — + — „' ( — ! ~. ЗО '., 307 ПРИМЕР 4. !Га тКацКСК Стаях ПН-Ь Об "" " " р ПЧ75 ьакк в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за смену (8 ча- сов) число обрывов нити будет заключено в границах 2 и 4 (не менее 2 и Решение. Очевидно, а=0,375 8 3; Р (2 ( Х «( 4) = Р, + Ръ+ Р,. имеем: По таблице 8 приложения при а = 3 Рт — — 0,224; Рт=0,224; Р»=0168 Р(2 <Х~4) =0,616.
П р н и е р 5. С накаленного катода за единицу времени вылетает в среднем д(Г) электронов, где ! — время, протекшее с начзла опыта. Найти вероятность того, что за промежуток времени длительности т, начинающийся в момент йв с катода вылетят ровно т электронов. Решение. Находим среднее число электронов а, вылетающих с катода за данный отрезок времени. Имеем; Гя+т а= ~ д(!) ж.
По вычисленному а определяем искомую вероятиосттн и л Р,„= — е ш! При м ер 6. Число осколков, попадающих в малоразмерную цель нри заданном положении точки разрыва, распределяется по закону Пуассона. Средняя плотность осколочного поля, в котором оказывается цель при данном положении точки разрыва, равна 3 оск./лгт. Площадь цели равна 5 = = 0,5 лгт.
Для поражения цели достаточно попадания в иее хотя бы одного осколка. Найти вероятность поражении цели при данном положении точки разрыва. Решение. а=!.8=1,5. По формуле (5.9.4) находим вероитность попадания хотя бы одного осколка; Й, 1 — е 'з 1 — 0,223 = 0,777. (Для вычисления значения показательной функции е л пользуемса таблицей 2 приложения.) ЗАКОН ПУАССОНА 115 П р и и е р 7.
Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 длг' воздуха. Найти вероятность ггво, что в нее будет обнаружен хотя бы одни Уширсб, Р е ш е н и е. Принимая гийотезу о пуассоновском распределении числа микробов в объеме, находим: а = 0,1; Й, = 1 — е с з ш 1 — 0,819 ш 0,18. П р и м е р 8. По нехоторой цели производится 50 независимых выстрелов Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,04.
Пользуясь предельным своиством биноииального распрелеления (формула (5.9.17) ), найти приближенно вероятность тото, что в цель птшадет: ни одного снаряда, один снаряд, два снаряда. Решение. р!меем и=яр=бб 0,04=2. По таблице 8 приложения находим вероятности: Р„=. Р,! 75; Р, = 0,271; Р, = 0,271. ГЛАВА 6 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 6.1. Нормальный закон и его параметры Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение.
Нто — наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом. к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, полчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величии суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин. таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.
д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых — элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений з сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается полчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в обшей сумме относительно малую роль. Если зто условие не выполняется и, например. одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию на сумму резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах ее закон распределения.
Теоремы, устанавливающие нормальный закон как предельный для суммы независимых равномерно малых случайных слагаемых, будут подробнее рассмотрены в главе 13. ноРИАльныи ЗАкон и вго НАРАметоы е. 11 Нормальный закон распределения характеризуется плотностью верозтности вила: (х-т)' У(х) == е (6.1.1) е г'2я ный холмообразный янд (рис. 6.1.1), Максимальная ордиката кривой 1 рзвная = , соответствует точке е 'Гг2е 1ух) х = т; по мере удаления от точки т плотность распределения падает, и при х -ь + со кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.
Выясним смысл численных параметров т и е, входяптих в выражение нормального закона (6.1.1); докажем, что величина т есть не что иное. как математическое ожидание, а величина е — среднее Ряс. 6.1.1. квадратическое отклонение величины Х. Для этого вычислим основные числовые характеристики величины Х вЂ” математическое ожидание и дисперсию. М(Х) = / хг'(х)дх== / хе ао дх. е у'2я ОР ОР Применяя замену переменной х — т — =С, е )г2 имеем: М [Х] = = / (а (г 21+ т) е ' д( = угя,/ = 1е-" И+ = ег н Й. (6.1.2) Нетрудно убедиться, что первый из двух интервалов в формуле (6.1.2) равен нулю; второй представляет собой известный интеграл Эйлера— Пуассона: ~ е РЖ=-2/ есной=')гя.
(6.1.3) — ОР о [Гл а НОРМАЙЬНЫН ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕННЯ Следовательно, М[Х[=лг, т. е. параметр и представляет собой математическое ожидание величины Х. Этот параметр, особенно в задачах стрельбы, часто называют центром рассеивании (сокрашенно — ц. р.). Вычислим дисперсию величины Х: (и-тд 0[Х[== 1 ( — гл) е '* г(~. а )Г2в Применив снова замену переменной х — гл ь )/2 имеем П[Х[== 1 Гзе-РМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
