Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 24
Текст из файла (страница 24)
скачок статистической функции 1 распределения в каждом наблюденном значении равен —, где л— и' число наблюдений. При увеличении числа опытов и, согласно теореме Бернулли, при лю ом х частота события Х ~ х приближается (скол;пся по зероягцости) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличен!ш и статистическая функция распределения гть(х) приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения Р (х) случайной величины Х. Если ь; неп ры ея глучзячзч зезичинз. то прн увеличении числа наблюлений и число скачков функции 7!з(х) увеличивается, самые скачки уменьшаются и график функции гта(х) неограниченно прыбчнжзется к плавной кривой Р (х) — функции распределения величины Х. 1ЗЕ вазоны васпвядзлкния слгчанных вкличин (гл г В принципе построение статистической функции распределения уже решает аадачу описания экспериментального материала.
Однако прн большом числе опытов а построение с"" (х) описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно— в смысле нзглядности — пользоваться другими характеристиками статистических распределений, аналогичными не функции распределения г" (х), а плотности 7(х). С такими способами описания статистических данных мы познакомимся в следующем параграфе. 7.3. Статистический ряд. Гистограмма При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала — оиа становится слишком громоздкой и мало наглядной.
Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке — строится так называемый «статистический ряд». Предположим, что в нашем распоряжении результаты наблюдения над непрерывной случайной величиной Х, оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон наблюденных значений Х на интервалы или «разряды» и подсчитаем количество аначений шо приходящееся на каждый (-й разряд. Это число рааделим нз общее число наблюдений и и найдем частоту.
соответствующую данному разряду: (7.3.!) Сумма частот всех разрядоз, очевидно, должна быть равна единице, Построим таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты, Эта таблица называется сталгистичесхим рядом: Р; ~ Р1 ! 3 Здесь 1,— обовначение Г-го разряда; х„х,, — его границы; р,'— соответствуюшзя частота; й — число разрядов. !ЗТ СТАТИСТИЧЕСКИП РЯД. ГИСТОГРАММА Пример 1. Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной пели.
Результаты измерений (в тысячных долях радиана) сведены в статистический ряд: 2; 3 3; 4 — 4; — 3 -3; — 2 1;2 0; 1 — 2; — 1 — 1; 0 /66 !ЗЗ 120 (и 1О 6.266 0,050 0,012 0344 0,240 0,176 0,092 0.020 Здесь !2 обозначены интервалы значений ошибки наводки; ш2 — число наблюдений в данном интервале, р~ — — — — соответствующие частоты. 2вг л При группировке наблюденных значений случайной величины по разрядам возникает вопрос о том, к какому разряду отнести значение, находящееся в точности нз границе двух разрядов, В этих случаях можно рекомендовать (чисто условно) считать данное значение принадлежащим в равной мере к обоим разрядам и прибав- 1 лять к числам и, того и другого разряда по —.
2' Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком малым (при малом числе разрядов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо), Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число разрядов порядка 10 — 20. Чем богаче и однороднее статистический материал, тем большее число разрядов можно выбирать при составлении статистического ряда. Длины разрядов могут быть как одинаковыми, так и различными.
Проще, разумеется, брать их одинаковы« ми, Однако при оформлении данных о случайных величинах, распределенных крайне неравномерно, иногда бывал удобно выопрзгь в области наибольшей плотности распределения разряды более узкие, чем в области малой плотности. Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называеиой гисшог,эаммы. Гистограмма строится следующим обраом. По оси з"сц'шс откладывшотся разряды, и нз каждом из разряаов кзк их основании строится прямоугольник, плошадь которо~о равна частоте данного разряда.
для построения гистограммы нужно ""с '-'"",' набидого разряда разделить на его длину н полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине !38 3АкОны РАспРеделениЯ слхчАиных Величин (гл, г разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная плошадь ее равна единице. В качестве примера можно привести гистограмму для ошибки наводки, построенную по данным статистического ряда, рассыотренного в примере ! (рис. 7.3.!).
Очевидно, при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды; при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, -4 -л -1 -1 д ! 1 3 4 зг Рис. 7.3.1, равную единице. Нетрудно убедиться, что зта кривая представляет собой график плотности распределения величины Х. Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины Х.
Построение точной статистической функции распределения с несколькими сотнями скачков во всех наблюденных значениях Х слишком трудоемко и себя не оправдывает. Лля практики обычно достаточно построить статистическую функцию распределения по нескольким точкам. В качестве этих точек Удобно взЯть гРаницы хн ха, ... разрядов, которые фигурируют в статистическом ряде. Тогда, очевидно, е41 ханлктззистики статистичвского ааспгзпелеиия 139 Соединяя полученные точки ломаной линией или плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения.
П р н м е р 2. Построить приближенно статистическую функцию распределения ошибки наводки но данным статистического ряда примера 1. -4 -3 -з" -I Р I у У Ю Ряс. 7.3.2. Решение. Применяя формулы (7.3.2), имеем: Р'( — 4)=0; Р ( — 3)=0,012; Р*( — 2)=0,012+0,050=0,062; Р'( — 1) =0206; Р" (0) =0472; Р'(!) =0712; Р'(2) 0888; Р' (3) = 0,980; Р~ (4) = 1,000. Приближенный график статистической функции распределения дан на рнс. 7.3.2. 7.4. Числовые характеристики статистического распределения В главе 5 мы ввели в рассмотрение различные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты различных порядков.
Эти числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей. Аналогичные числовые характеристики существуют и для статистических распределений . Каждой числовой характеристике случайной величины Л' соответствует еч гпатистнчсская аналогия. ' ля ... внл11 характеристики положения — математического ожидания случайной величины — такой зпалогисй является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины: ЛГ(Х)= =- —, (7.4.
1) л где „- зпачс н с л, ч йц й зел чины, н~бчюченное в 1-м опыте. и — число опытов. [4О ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. 2 Эту характеристику мы будем в дальнейшем называть статистическим средним случайной величины. 1огласно закону больших чисел, при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается (сходится по вероятности) к математическому ожиданию. При достаточно большом п статистическое среднее может быть принято приближенно равным математическому ожиданию.
При ограниченном числе опытов статистическое среднее является случайной величиной. которая, тем не менее, связана с математическим ожиданием и может дать о нем известное представление. Подобные статистические аналогии существуют для всех числовых характеристик.
Условимся в дальнейшем вти статистические аналогии обозначать теми же буквами, что и соответствующие числовые характеристики, но снабжать их значком е. Рассмотрим, например, дисперсию случайной величины. Она представляет собой математическое ожидание случайной величины Х2 — (Х и )2: 7) [Х! = М [Х2! = М ИХ вЂ” „)2!. (7,4.2) Если в атом выражении заменить математическое ожидание его статистической аналогией — средним арифметическим, мы получим статистическую дисперсию случайной величины Х: ~, (хг — и") ])" [Х]= ~ (7.4.3) где ш', = М' [Х! — статистическое среднее. Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любых порядков: а,*[Х]= '=' (7.4.4) р'!Х]= '=' (7.4.5) Все зти определения полностью аналогичны данным в главе 5 определениям числовых характеристик случайной величины, с той разницей, что в них везде вместо математического ожидания фигуоирует среднее арнгкметическсе, Пр..
увелзме н*.н числа наблюдений, очевидно, все статистические характеристики будут сходиться по вероятности к соответствующим ма2смапсчеси:,и характеристикам н при достзточном п могут быть приняты приближенно равными им. хАРАктеРистики стАтистическогО РлспРеделеиия 141 Нетрудно доказать, что для статистических начальных и центральных моментов справедливы те же свойства, которые были выведены в главе 5 для математических моментов. В частности, статистический первый центральный момент всегда равен нулю: к к ~~»', (Х вЂ” »!)) ~Ч~~ Х1 э 1=! 1=1 * 1 Ф = — — Гл =»г — Ав =О. л Л к к к ~Ч( Х! ~Ч!~ Х 2» к =! ( Г «)а к Г к)т (7.4.6) и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
