Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Разумеется, все зти соображения пр име пимы только в тех с лу чаях, когда количество опытов и достаточно велико (порядк а нескольк их сотен) и когда имеет смысл применять сам критерий, осн о. ванный на предельном распределении меры расхождения п р и п — ь со. Заметим, что при пользовании критерием уз достаточно большим должно быть не только общее число опытов и, но и числа наблюдений тг в отдельных разрядах. На практике рекомендуется иметь в каждом разряде не менее 5 — 10 наблюдений. Если числа наблюдений в отдельных разрядах очень малы (порядка 1 — 2). имеет смысл объединить некоторые разриды. П р и м е р 1.
Проверить согласованность теоретического и статистического распределений для примера 1 п' 7.5 (стр. 137, 146), Р е ш е н и е. Пользуясь теоретическим нормальным законом распределения с параметрами лг = 0,168, а 1,448, находим вероятности попадании в разряды по формуле р! Ф ( !ь' ) — Фч( ! ), где кь хгь, — границы 1-го разряда. Затем составляем сравнительную таблицу чисел попаданий в разряды юг и соответствующих значений лр,(л = 600). ! — 4; — 3~ — 3; — 2( — 2; — 1 — 1001~1223~34 6 ! 26 ! 72 1 ~ЗЗ ( !20 ~ ЕВ ~ М 1 10 лр~ ! 6,2 ! 26,2 ! 71,2 122,2 131,8 ~ 90,6 ~ 38,2 ! !ОД ! ' ! ' ! По формуле (7.6,4) определяем значение меры расхождении 7. = = 3.94.
Л„Р, Опоелеляеч ччгзи гтгчаи и игободы кзх ... ло рзсрадсз кипре число наложенных связей з (в данном случае а = 3): а 3 ... Г и= 156 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН 1ГЛ. 1 По табл. 4 приложения находим для г=-5: при 7'=300 р= 070; при 7'=4,35 р=0,50. Следовательно, искомая вероятность р при х' 3,94 приближенно равна 0,56. Эта вероятность малой не являетса; позтому гипотезу о том, что величина Х распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.
П р и м е р 2. Проверить согласованность теоретического и статистического распределеций для условий примера 2 и' 7.5 (стр. 149). Р е ш е н и е. Значения р; вычисляем как вероятности попадания на участки (20; 30), (30; 40) и т. д. для случайной величины, распределенной по закону равномерной плотности на отрезке (23,6; 96,9). Составляем сравнительную таблицу значений тг и пр~ (и = 400): 60; 70 80; 90 90; 100 И ( (( 40; 50 50; 60 70; 80 72 21 51 54,6 54,6 54,6 38,0 54,6 По формуле (7.6.4) находим тл: лрг Число степеней свободы Кроме критерия ут, для оценки степени согласованности теоретического и статистического распоеаелеиий на практике применяется еще ряд других критериев.
Из них мы вкратце остановимся на критерии А. Н. Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями А. Н. Колмогоров рассматривает максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения точ(х) и соответствующей теоретической функцией распределения: )) = шах ~ тса (х) — Р (л) ~. Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины )) является простота ее вычисления. Вместе с тем она имеет достаточно с=8 †3. По табл. 4 приложения имеем: при 7,' = 20,5 и г = 5 р = 0,001.
Следовательно, наблюденное нами расхождение между теоретическим п статистическим распределениями могло бы за счет чисто случайных причин появиться лишь с вероятностью рю 0,001. Так как зта вероятность очень мала, следует признать зксперимеитальные данные яр о т ив оре ч а щи и п гипотезе о тон, что величина Х распределена по закрну равномерной плотности. 187 КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ т В> простой закон распределении. А. Н, Колмогоров доказал, что, какова бы ни была функция распределения Р(х) непрерывной случайной величины Х, при неограниченном возрастании числа неаависимых наблюдений и вероятность неравенства й р п)~>. стремится к пределу Р(>,) 1 ч; ( — 1)ае-аалх* Значения вероятности Р() ), подсчитанные по формуле (7.6.6), приведены в таблице 7.6.1.
Т а 6 а и ц а 7.6.1 (7.6.6) Р<х> х Р(л> х Р<Л> Схема применения критерия А. Н. Колмогорова следующая: строятся статистическая функция распределения Ра(х) и предполагаемая Рис. 7.6.2. теоретическая функция распределения Р(х), и определяется максимум 1) модуля разности между ними (рис, 7,6,2) А=О >ла 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 0,964 0,864 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 0,711 1д 0,544 1б 0,393 1,6 0,270 1,7 0>78 18 0,112 1,9 0,068 2,0 0,040 0,022 0,012 0,006 0,003 0,002 0,001 158 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАННЫХ ВЕЛИЧИН (ГЛ. 2 и по таблице 7.8.1 находится вероятность Р ()).
Это есть вероятность того, что (если величина Х действительно распределена по закону Р (х)) за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между Р"(х) и Р (х) будет не меньше, чем фактически наблюденное. Если вероятность Р ()) весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную; при сравнительно больших Р(А) ее можно считать совместимой с опытными данными. Критерий А. Н.
Колмогорова своей простотой выгодно отличается от описанного ранее критерия уа; поэтому его весьма охотно применяют на практике. Следует, однако, оговорить, что этот критерий можно применять только в случзе, когда гипотетическое распределение Р (х) полностью известно заранее иэ каких-либо теоретических соображений, т. е.
когда известен не только вид функции распределения Р (х), но и все входящие в нее параметры. Такой случай сравнительно редко встречается на практике. Обычно из теоретических соображений известен только общий вид функции Р(х), а входящие в нее числовые параметры определяются по данному статистическому материалу. При применении критерия )(2 это обстоятельство учитывается соответствующим уменьшением числа степеней свободы распределения )(2.
Критерий А. Н. Колмогорова такого согласования не предусматривает, Если все же применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теоретического распределения выбираются по статистическим данным, критерий дает заведомо завышенные значения вероятности Р(й); поэтому мы в ряде случаев рискуем принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными. ГЛАВА 8 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 8.1. Понятие о системе случайных величии В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывзется не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими комплекс или систему.
Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой — и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. Аналогично точка разрыва дистанционного снаряда определяется комплексом трех случайных величин. При стрельбе группой нв л выстрелов совокупность точек попадания на плоскости может рассматриваться как комплекс или система 2а случайных величин: и абсцисс и а ординат точек попадания.
Осколок. образовавшийся при разрыве снаряда, характеризуется рядом случайных величин: весом, размерами. начальной скоростью, направлением полета и т. д. Условимся систему нескольких случайных величин Х, 1', ..., Ю обозначать (Х, Г, ..., Ю). Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, ее составляющих: помимо этого, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. ::'.: Г:ссвотрсеип вэпросоз, связанных с спстсзщмп случайны.
личин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин (Х, г') можно изображать случайной точкой на плоскости с координатами Х и г (Рис. 8.1.1), Аналогично система трех случайных величин может быть изображена случайной точкой в трехмерном пространстве. Часто бывает удобно говорить о системе и случайных величин как о «случайно- тощ:е в пространстве и измеренийз. Несмотря на то, что последняя интерпретация не обладает непосредственной наглядностью, поль- в"ванне ею дает некоторый выигрыш в смысле общности терминологии и упрощения записей.
18О систимы слгчапных ззличии (гл. а Часто вместо образа случайной точки для геометрической интерпретании системы случайных величин пользуются образом с лучайного вектора. Систему двух случайных величин при этом рассматривают как случайный вектор на плоскости хОу, составляющие которого по осям представляют собой случайные величины Х, У (рис. 8.1.2). Система трех случайных величин изображается случайным вектором в трехмерном пространстве, система а случайных величин— Ряс.
8.1,2. Рие. 8.!Л, случайным вектором в пространстве л измерений. При этом теория систем случайных величии рассматривается как теор на с лу ч айны х векторов. В данном курсе мы будем в зависимости от удобства изложения пользоваться кзк одной, так и другой интерпретапией, Занимаясь системами случайных величин, мы будем рассматривать как полные. исчерпывающие вероятностные характеристики — законы распределения, так и неполные — числовые характеристики. Изложение начнем с наиболее простого случая системы двух случайных величин.
8.2, Функция распределения системы двух случайных зелпчни Функпией распределения системы двух случайных величин (Х, 1') называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х(л и К(у: Г(х. у)=Р((Х~к)(г <у)). (8.2.1) Если пользоваться для геометрической интерпретапии системы обрааом случайной точки, то функпня распределения Р'(х. у) есть не что иное, как аерояГнос1ь яонаданн» с1учагн~ой точки (Х, 1') в бесконечный квадрант с вершиной в точке (л, у).
лежащий левее отнкиия илспввделвиня снстнмы двтх внличии 1ь. вв! н ниже ее (рис. 8.2.1). В аналогичной интерпретации функция распределения одной случайной величины Х вЂ обознач ее Р,(х)— представляет собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссон х (рис.
8.2.2); функция распределения одной величины ) — Рв(у) — вероятность И попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатон у (рис. 8.2.3). я В и'5.2 мы привели основные свойства функции распределения Р(х) для одной случайной величины. Сформулируем аналогичные свойства для функции распределения системы случаИ- ных величин н снова воспользуемся геометрической интерпретацией лля Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
