Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 30
Текст из файла (страница 30)
плотность васпяддвлииия системы двкх величии 167 з.з1 2 . Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности р вопр еде лен ия системы ранен единице: ОЭ ) ) 7(х. у)сгхау=1, (8.3.6) Это видно из того, что интеграл (8.3.6) есть не что иное, как верочтность попадания во всю плоскость хОу, т. е. вероятность достоверного события. Геометрически это свойство означает, что у полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью хОу, равен единице„ Пример 1.
Система двух случайных величин (Х, У) подчинена закону распределения с плотностью 1 х У" У)= '(1+ ')(1+у') ' 1 Найти функцию распрелелення Р(х, у). Определить вероятность попадания случайной точки (Х, г') в квадрат Л (рис. 8.3.6). Р е ш е н и е. Функцию распределения г" (х, у) находим по формуле (8.3.5). 11 2)~я Вероятность попадания в прямоугольник Л находим по формуле (8,3.4): 1 1 1 ! Пример 2.
Поверхность распределения системы (Х, г) представляет собой прямой круговой конус, основанием которого служит круг радиуса Л тхл ул Рис. 8.3.8. Рис. 8.3.7, с центром в начале координат. Написать выражение плотности распределе- Оарсдегинь зероягиосгь того, что случайная точка (х, у) попадет в круг А радиуса а (рис. 8.3.7), причем а < Л. системы слгчлиных величин [гл в Решение. Вмражение плотности распределения внутри круга К находим из рис. 8.3.8: у(х, у) — Ог — ргх'+ у!) Ь Я тле Ь вЂ” высота конуса. Величину а определяем так, чтобы объем конуса 1 бмл равен елиннее: — к)с'д = 1, откуда 1' 3 3 я= —, я)га ' у(х, у) = — (я ргхг+у'). 3 Вероятность яопаданая з круг К определяем по формуле (8.3.4): Р((Х, )')г-К) =~ ~ У(х, у))тхеу.
!К) Для вычисления интеграла (8.3.Т) удобно перейти к полярной системе координат г, у: Р ( (Х, 1') <= К) = а тк а /' 3 6 р ° = ~ 1 — ()1 — г) г !(г )Гт = — 1 (Я вЂ” г) г Фг = 3 ~ — ) — 2 )1 — ~ . ила оа / Ь) '(К ) е е е ВА. Законы распределении отдельных величии, входящих в систему. Условные заковы распределении х со ,()= (. )= У Г~(, ) откуда, дифференцируя по х, получим выражение для плотности распределения величины Х: У (х)=Р (х)= ) у(х у)Ф. (8.4.2) Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. В и' 8.2 мы уже вывели выражения для функций распределения отдельных величин, входящих в систему, через функцию распределения системы, а именно, мы показали, что Р,(х)=Р(х, со); Рт(у)=Р(со, у) (841) Выразим теперь плотность распределения каждой из величин, входящих з систему, через плотность распределения системы.
Пользуясь форму)!Он (ь.д.д), выражающей фуш(цзю рай)Заявления чфез плотность распределения, напишем: законы влспведеления отдельных величин 189 Лналогично (8.4.3) гг(у)= рг(у)= ~ у(х. У) Фх. Таким образом, для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему. нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу. соответствующему другой случайной величине. формулы (8.4.1), (8.4.2) и (8.4.3) дают возможность. зная закон распределения системы (заданный в виде функции распределения или плотности распределения), найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему.
Естественно, возникает вопрос об обратной задаче: нельзя ли по законам распределения отдельных величин, входящих в систему, восстановить закон распределения системы? Оказывается, что в общем случае этого сделать нельзя: зная только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, не всегда можно найти закон распределения системы.
Для того чтобы исчерпывающим образом охарактеризовать систему, недостаточно знать распределение каждой из величин. входящих в систему; нужно еще знать зависимость между величинами. входящими в систему. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью так называемых условных законов распределения.
Условным законом распределения величины Х. входящей в систему (Х, У), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина У приняла определенное значение у. условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью. Условная функция распределения обозначается Р (х ! у), условная плотность распределения у (х ~ у). Так как системы непрерывных величин имеют основное практическое значение, мы в данном курсе ограничимся рассмотрением условных законов, заданных плотностью распределения.
Чтобы нагляднее пояснить понятие условного закона распределения. рассмотрим пример. Система случайных величин Ь и Ц предстэеляет собой длину и вес осколка снаряда. Пусть нас интересует длина осколка Ь безотносителыю к его весу; э о есть случащглл величина, подчиненная закону распределения с плотностью Г,(1). Этот закон распределения мы можем исследовать, рассматривая все без исключения осколки и оценивая их только по длине; у,(1) есть безусловный закон распределения длины осколка. Однако нас может интересовать и закон распределения длины осколка вполне определенного веса, например 10 г. для того чтобы его определить, мы будем исследовать не все осколки, а только опрелеленную весовую группу, з которой зес приблизительно рззен 1О г, и получим У с л о в н ы й закон распределения длины осколка при весе 10 э 1уо СИСТЕМЫ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН 1гл, а с плотностью у(1)д) при 4=10.
Этот условный закон распределения вообще отличается от безусловного у,(!); очевидно, более тяжелые осколки должны в среднем обладать и большей длиной; следовательно, условный закон распределения длины осколка существенно зависит от веса д. Зная закон распределения одной из величин, входящих в систему, и ,(г условный закон распределения второй, можно составить закон распределения системы.
Выведем формулу, выражающую это соотношение, для непрерывных случайных величин. 1(ля этого воспользуемся понятием об элементе вероятности. Рассмотрим прилежащий к точке (х, у) элементарный прямоугольник Я„со стоРис. 8.4Л. ранами Их, ~(у (рнс. 8.4.1). Вероят- ность попадания в этот прямоугольник — элемент вероятности г" (х, у) ах г(у — равна вероятности одновременного попадания случайной точки (х, 1') в элементарную полосу 1, опирающуюся на отрезок Фх.
и в полосу П, опирающуюся на отрезок ау: г'(х, у)г(хг(у=Р((Х. 1') с= )1з)= = Р((х < Х < х+ а'х) (у < 1' < у+ г(у) ). Вероятность произведения этих двух событий, по теореме умножения вероятностей, равна вероятности попадания в элементарную полосу /, умноженной на условную вероятность попадания в элементарную полосу П, вычисленную при условии, что первое событие имело место. Это условие в пределе равносильно условию Х=х; следовательно, ~ (х. у) ах Фу = у, (х) ах г' (у ~ х) г(у, откуда (8А.4) 1(х, у) = у,(х) у'(у/х), т. е.
плотность распрсделения системы двух величин равна плотности распределения одной нз величин, входящих в систему, умно- жсниОИ На чегшяичш ПЛОТНОСТЬ аен ДЕЛЕИИЯ Д Гой ВЕЛИЧВГ цчгагчччы пни чсаовчи чтч печ ча ~лщ н и '.ение. Формулу (8.4.4) часто называют гиеоремод унноженля законов расправе.гения. Эта теорема з схеме с.",учайпых зслпчпп аналогична теореме умножения вероятностей в схеме событий, злй злвисимыв и назлвисимыв слтчлпнын величины (у( (8.4.6) пли, применяя формулы (8,4.2) и (8.4.3), у (у ! х) = ~У(х, у)лу У(х!у) = / у(х, у)нх (8.4.Л 8 5.
Зависимые н независимые случайные величины При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение одной случайной величины, можно в точности указать значение другой. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми. Понятие о независимых случайных величинах — одно из важных и "ятий теории вероятностей.
Случайная величина у называется независимой от случайной величины Х, если закон распределения величины )' не зависит от того, какое значение приняла величина Х. Йля непрерывных случайных величин условие независимости ог Х может быть записано в виде: У(у! )=Л(у) при любом у. г(зпротиз. в случае, если У зависит от Х, то У(у!х)+Уа(у) Очевидно, формуле (8.4.4) можно придать другой вид, если задать значение не величины Х, а величины г'." у(х, у)=у (у) у(»!у). (8.4.5) Разрешая формулы (8.4.4) и (8.4.5) относительно у(у/х) и у'(х!у). получим выражения условных законов распределения через безусловные: У (У ! «) = у У(х, у) У(х!у)= у (,), у(х, у) системы слтчдпных ввлнчин 122 1гл з Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина У не зависит от Х, то и величина Х не зависит от У.
Действительно, пусть У не зависит от Хг У (У! х) = гег (У) (8.5.1) Из формул (8.4.4) и (8.4.5) имеем: уг(х) у' (у ! х) = у'2 (у) у (х / у). откуда, принимая во внимание (8.5.1), получии: у(к ~у) = уг(х), что и требовалось доказать. Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин. Случайные величины Х и У называются независимыми, если закон распределения каждая из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины Х и У называются зависимыми.
Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения ааконов распределения принимает вид: г (»' У) 21(х)гг(у)' (8.5,2) т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностеа распределения отдельных величин, входящих з систему.
Условие (8.5.2) может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин. Часто по самому виду функции у'(х. У) можно заключить, что случайные величины Х, У являются независимымн, а именно, если плотность распределения у (х. У) распадается на произведение двух функций, из которых одна зависит только от х, другая †толь от у, то случайные величины независимы. Пример. Плотность распределения системы (Х, У) имеет виж 1 У(х' У) кг(хг-1-уг 1 лгуг+1) Г)иределить. зависимы или независимы случайные величины Х и У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
