Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма». Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квздратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других. более точных способов определения ш Пример 1.
Случайная величина Х, распределенная по нормальному закову, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 (м); среднее квадратическое отклонение ошибки измерения равно 0,8 (гг). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 (м). Решение.
Ошибка измерения есть случайная величина Х, подчиненная нормальному закону с параметрами т 1,2 и а=0,8. Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от а = — 1,6 до Р =+ 1,6. По формуле (6.3.7) имеем: „/ 1,6 — 1,2 ь, г — 1,6 — 1,2 т о,в ) '1 о,в = Ф* (0,5) — Ф* (-3,5). Пользуясь таблицами функции Ф'(х) (врнложение, табл.
1), найдем: Ф" (0,5) = 0,69!5; Ф' ( — 3,5) = 0.0002, отьтаа Р ( — 1,6 < Х < 1,6) = 0,6915 — 0,0002 = 0,6913 = 0,691. Пр имер 2. Нзйти ту же вероятность, что в предыдущем примере, но при условии, что систематической ошибки нет. Р е шеи не, По формуле (6.3.10), полагая 1= 1,6, найдем; Р ( ~ Х ~ < 1,6) = 2Ф'1 — ' ~ — 1 = 0,955. , ' 1,6 э '1 о,в) Пример 3.
По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой Равна 20 м, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде. Прицеливаиие ведется по средней линии автострады. Срелиеа 126 нопыдльнын ндкон вкснпидплкння сгл з квадратическое отклонение в направлении стрельбы равно а = 8 м. Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м. Найти вероятность попаданна в автостраду прн одном выстреле. Р е ш е н не, Выберем начало координат в любой точке на средней линии автострады (рис.
6.3.3) и направим ось абсцисс перпендикулярно автостраде. Попадание или непопадание снаряда в автостраду определяется значением только одной координаты точки падения Х (другая координата У нам безразлична). Случайная величина Х распределена по нормальному закону лклдлллгллв гл(леюлж Рнс. 6.3,3. Рис. 6.34. с параметрами кч — 3, ч 8. Попадание снаряда в автостраду соответствует попаданию величины Х на участок от а= — 10 до 6 +10.
Применяя формулу (6.3.7), имеем: ут( — 10 < Х < 10) Ф*1 — 1 — Ф'~ — — ) Ф'(1,625) — Ф'( — 0,875) ш 0,757. П р и и е р 4. Имеется случайная величина Х, нормально распределенная, с центром рассеивания т (рис. 6.3.4) и некоторый участок (ч, 6) оси абсцисс. Каково должно быть среднее квадратическое отклонение ч случайной величины Х для того, чтобы вероятность попаданчя р на участок (а, 6) достигала максимума) Решение.
Имеем: Р- (к<Х<6)-Ф*~~ ) Ф (' )=7(ч), Проднфференцируем зту функцию величины ч; г н Ф'(л) —, 1 е и'Л 1 т т'2к 127 ви оятнои (свединнои) отклонении а.(1 (Р- т(' =е 2*' ( — ., )= )Р я (Э- ~ау — 2аа р — т аа)Р 2« Аналогично Для нахождения экстремума положим: (а- аа)а П- т(а 1 2Н а т'(а) = (((а — т) е — (р — т)е аа)Р 2л (6.332) При «=со зто выражение обращается в нуль н вероятность р постигает минимума. Максимум р получим нз услония (а- т(' (Э- «Р(а (а — т)е 2' — (3 — т)е Р' =О, (6.3,13) Уравнение (6.3.13) можно решить численно нлн графически.
6.4. Вероятное (срединное) отклонение В ряде областей практических применениИ теории вероятностей (в частности, в теории стрельбы) часто, наряду со средним квадратическим отклонением, пользуются еще одной характеристикой рассеивания, так называемым ееролтнылс, или срединным, отклонением. Вероятное отклонение обычно обозначается буквой Е (иногда В). Верон(пнь(м (срединн(а(.Р() отклонением случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, называется половина длины участка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в который равна половине.
Геометрическая интерпретация вероятного отклонения показана на рис. 6.4.1. Вероятное отклонение Š— это половина длины У (летка Оси абсц((сс, сиь(ьшт(.ичиого Отиоситсльио тОчки РРР, на котоРый опирается половина площади кривой распределения. Поясним смысл термина «срединное отклонение» иля «срединная Ошибка», ьо(орым час(О ио(Разую(си в артиллернйскон практике вместо «вероятного отклонения».
Ппименяя правило дифференцирования кнтеграла по переменной, в ходящей в его предел, получим: 128 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1гл. з рассмотрим случайную величину Х. распределенную по нормальному закону. Вероятность того, что она отклонится от центра рассеивания т меньше чем на Е, по определению вероятного откло- 1. кения Е. равна —:, 1 (6.4.1) Вероятность того, что она отклонится от т больше чем на Е, 1.
тоже равна —: 2' 1 Р((Х т~) Е) Таким обрааом, при большом числе опытов в среднем половина значений случайной величины Х отклонится от т больше чем на Е, а половина — меньше, Отсюда и термины «срединная ошибка», «срединное отклонение». Очевидно, вероятное отклонение, как характеристика рассеивания, должно находиться в прямой аависимости от среднего квадратического отклонения а. установим эту зависимость. Вычислим вероятность события (Х вЂ” т ( < < Е в уравнении (6.4.1) по формуле (6.3.10). Имеем: Р(~Х вЂ” т ~ < Е)= =2Ф*( — ) — 1 2' Отсюда Ф* ~~ — ) = — = 0,76. (6.4.2) (а/ 4 Ряс.
6.4!. По таблицам функции Ф"(х) можно найти такое значение аргумента х, при котором она равна 0,76. Это значение аргумента приближенно равно 0,674; отсюда — = 0,674; Е = 0,674а. (6.4.3) а Таким образом. зная значение а, можно сразу найти пропорциональное ему аначение Е.
Часто пользуются еше такой формой записи этой зависимости: Е=р )7'2 а, (6.4.4) где р †так значение аргумента, при котором одна из форм интеграла вероятностей — так называемая функция Лапласа Ф(х) = — ( ~-Р~й 2 /' о 129 ВЕРОЯТНОЕ /СРЕДИННОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ Б.л) — равна половине. Численное значение величины р приближенно равно 0,4 / /.
В настояшее время вероятное отклонение, как характеристика рассеивания, все больше вытесняется более универсальной характеристикой а. В ряде областей приложений теории вероятностей она сохраняется лишь по традиции. Если в качестве характеристики рассеивания принято вероятное отклонение Е, то плотность нормального распределения ааписывается в виде: тл л — —,1л- ял)л в (6.4 6) у(х)= а вероятность попадания на участок от а до р чаше всего ааписы вается в виде: Р (а ( х < р) = (6.4.6) где Рл Ф(х)= — 1 в-и~й (6.4.7) (' — так называемая приввден- а /// ная фуннция Лапласа. Сделаем подсчет, аналогич- Рвс.
64.2. ный выполненному в предыдуШем и' для среднего квадратического отклонения с: отложим от центра рассеивания т последовательные отрезки длиной в одно вероятное отклонение Е (рис. 6.4.2) и подсчитаем вероятности попадания в зти отрезки с точностью до 0,01. Получим: Р (т < Х ( т + Е) = 0,25; Р/т + Е с Х (/и + 2Е) 0 ! и Р(т .+ 2Е < Х < т.+ ЗЕ) ж 0,07; Р(т+ ЗЕ < Х (т -1-4Е) =0,02. Отсюда видно, что с точностью до 0,01 все значения нормально распределенной случайной величины укладываются на унастке т х 4Е.
П р и и е р. Свллолет-/нтурмовик вронтводит обстрел колонны войск нротивника, ширина которой равна 8 м. Полет — вдоль колонны, прицеливвние — по средней линии колонны; вследствие скольжения имеется систематическая ошибка: 2 м вправо но направлению полета. Глав//ыс вероятные отклонения; по направлению полета Вл — 15 м, в боковом направлении 9 В.
С. Елл/нлн. 1ЗО НОРМАЛЬНЫИ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (гл, е Ве= 5 лс )те нмея в своем распоряжении никаких таблиц интеграла вероятностей, а зная только числа: 25%, 16%, Ч%, 2%, оценить грубо-приближенно вероятность попадания в колонну при одном выстреле и вероятность хотя бы одного попадания прн трех независимых выстрелах. решение. для решения задачи достаточно рассмотреть одну коордн. нату точки попадання — абсцнссу Х в направлении, перпендикулярном колоние. Эта абсцисса распределена по нормальному закону с центром рассеивания ш = 2 н вероятным отклонением Вз = Е = 5 (л).
Отложим мысленно от центра рассеивания в ту н другую сторону отрезки длиной в 5 ль Вправо от центра рассеивания цель занимает участок 2 лг, который состзвляет 0,4 вероятного отклонении. Веронтность попадание на зтот участок приближенно равна: 0,4 ° 25% = 0,1. Влево от центра рассеивания цель занимает участок 6 Ас Это — целое вероятное отклонение (5 л), вероятность попадания в которое равна 25% плюс часть длиной 1 м следующего (второго от центра) вероятного отклоненкя, вероятность попадания в которое равна 16%. Вероятность попадания в часть длиной 1 лг приближенно равна: — ° 16% 0,03. 1 5 Таким образом, вероятность попадания в колонну прнблшкенно равна: 0,1+0,25+0,05 = 0,66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
