Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные, основные, решающие; влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают.

Такая схема изучения явлений постоянно применяется в физике, механике, технике. При пользовании этой схемой для решения любой задачи прежде всего выделяется основной круг учи- гп ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ тываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи онн влияют; затем прим.няегся тот нщ1 иной мате11атзческий аппарат (например, составляются и интегрируются дифференциальные уравнения, ОппсыВзющиз явл"кнс)~ таким Образок Выявляется Основная закономерность, свойственная ланному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развитии науки число учитываемых факторов становится все больше; явление исследуется полробнее; научный прогноз становится точнее.

Однако для решения ряда вопросов опнса1п1ая схема — классическая схема так называемых «точных наук» вЂ” оказывается плохо приспособленной. Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все этн факторы. Вто — задачи, в которых мно~очисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов исследования себя не оправдывает.

рассмотрим пример. и, Производится стрельба по ба некоторой цели Ц из орудия, установленного под углом 0В к гори- рнс. !.!ЗЬ зонту (рис. 1.1.2). Траектории снарядов, как было указано выше, не совпалают между собой; в результате точки падения снарядов на земле рассеиваются. Если размеры цели велики по сравнению с областью рассеивания, то этим рассеиванием, очевилно, можно пренебречь: при правильной установке орудия любой выпущенный снаряд попадает в цель. Если же (как обычно н бывает на практике) область рассеивания снарядов превышает размеры цели, то некоторые из снарядов в связи с влиянием случайных факторов в цель не попалут.

Возникает ряд вопросов, например: какой процент выпущенных снарялов в среднем попадает в цель? Сколько нужно потратить снарядов для того, чтобы достаточно належно поразить цель? Какие следует принять меры для уменьшения расхода снарядов? Чтобы ответить на подобные вопросы, обычная схема точных наук оказывается недостаточной. Эти вопросы органически связаны со случайной природой явления; для того чтобы на них ответить, очевилно, нельзя просто пренебречь случайностью, — надо изучить случайное явление рассеивания снарядов с точки арения закономернзстей, присущих ему именно как случайному явлени1о. Надо исследовать аакон, по которому распределяются точки падения снарядов; ВВЕДЕНИЕ (гл.

з нужно выяснить случайные причины, вызываю~Дне рассеивание, срав,;ьть нх между собой но ст и'н.. зюю:ости н ы д. рассмотрим другой пример. Некоторое техническое устройство, ..знрнмер система автоматического управления, Р-шьет определенную задачу в условиях, когла иа систему непрерывно воздействуют слушйные помехи. Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторой ошибкой, з ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие слелует принять меры для того. чтобы практически иск.лючить их возможность? Чтобы ответить на такие вопросы.

необходимо исследовать природу и структуру случайных зозмушений, воздействующих на си стеня, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид этой реакции. Все подобные задачи. число которых в физике н технике чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных. главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах.

но и аналиаа случайных возмушений и искажений. связанных с наличием второстепенных факторов н придающих исходу опыта при заданных условиях элемент неопределенности. Какие же существуют пути и методы лля исследовании случайных явлений? С чисто теоретической точки врения те факторы, которые мы условно назвали «случайными». в принципе ничем не отличаются от других, которые мы выделили в качестве «основных».

Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов: от самых существенных до самых ничтожных. Однако практически такая попытка одинаково подробно н тшательно проанализировать влияние решительно всех фшпоров, от которых зависит явление. привела бы только к тому. что решение задачи, в силу непомерной громоздкости и сложности, асазалось бы практически цйосушествимым н к тому же не имело бы никакой познавательной ценности. Например, теоретически можно было бы поставить и решить задачу об определении траектории вполне определенного снаряда, с учетом всех конкретных погрешностей его изготовления.

точного веса и конкретной структуры данного, вполне определенного порохового заряда при точно определенных метеорологических данных (температура, давление, влюкность, ветер) э каждой точке траектории, Такое решение не только было бы необозримо сложным, но и не имело бы никакой практической ценности, так как относилось бы только к данному конкретному снаряду и заряду в данных конкретных условиях, которые практически больше не повторятся.

Очевидно, должна сушествовать принципиальная разница в методах учета основных, решающих факторов, определяющих в главных ИРедмет теОРии веРОятностеп чертах течение яатенш, и втор:щных, второстепенных факторов, влияющих на течение явления в качестве «погрешностей» или «возмущений». Элемент неопределенности, сложности, многопричннностн, присущий случайным явлениям, требует создания специальных методов еля изучения этих явлений. Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей.

Ее предметом явлньпся специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях. Практика показывает, что, нзолюдая В совокупности массы Однородных случайных явлениИ, мы обычно обнаруживаем в ннх вполне опреде лепные закономерности, своего рода у с т о й ч и в о с т и, свойгчеецо «ассе У» слгча11»ыч язленняи. Например, если много раз подряд бросать монету, частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к вполне опре- 1 деленному числу, именно к — .

Такое же свойство «устойчивости 2' частот» обнаруживается и пре многокрзтном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее неопределенным, случайным. Так, при увеличении числа выстрелов частота попадания в некоторую цель тоже стабилизируется, приближаясь к некоторому постоянному числу. Рассмотрим другой пример. В сосуде заключен какой-то объем газа, состоящий из весьма большого числа молекул. Каждая молекула за секунду испытывает множество столкновений с другими молекулами, многократно меняет скорость и направление движения; траектория кзждой отдельной молекулы случайна. Известно, что давление газа на стенку сосуда обусловлено совокупностью ударов молекул об эту стениу.

Казалось бы, если траектория кюкдой отдельной молекулы случайна. То н давление на стенку сосуда должно было бы изменяться случайным и неконтролируемым образом; однако это не так. Если число молекул достаточно велико. то давление газа практически ие зависит от траекторяй отдельных молекул и подчиняется вполне определенной и очень простой закономерности. Случайные особенности, свойственные движению каждой отдельной молекулы, в массе взаимно компенсируются; в результате, несмотря на сложность и запутанность отдельного случайного явления, мы получаем весьма простую закономерность, справедливую для массы случайных явленяй.

Отметим, что именно массовость случайных явлений обеспечивает выполнение втой закономерности; при ограниченном числе молекул начинают сказываться случайные отклонения от закономерности, так называемые флуктуации. Рассмотрим еще один пример.

По некоторой мишени производится один за другим ряд выстрелов; наблюдается распределение точек попадания на мишени. При ограниченном числе выстрелов точки 16 ВВедение 1ГЛ. Е попчдан~ я рагпределчются по мишени в почноч беспорядке, без какой.шбо видлмой закономерности. По мере увеличения числа выстрелов » расположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность; эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем гольшее количесто выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизнзеллно снмметрпчньщ относительно н«которой центральной точки: в центральной области гр)ппы пробоин онн расположены гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону (так называемый «нормальный закон» ила «закон Гаусса», которому будет уделено большое внимание в данном курсе).

Характеристики

Список файлов книги