Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Эксперимента 1ьные данные првведеиы в таблице 14.3.2 и нэ: рафика (рис. 14.8.! 1). подобрать и построить пря- !Аа) сГлАжиВАние эхспеяиментАльных ЗАвисимостед 36$ Получаем новую таблицу значений величин: $ $ — $4' й ='А — йа (табл. 14,8.3), Определяем моменты: ~Ч", $4 мг ($ ! = 13 6869' О, = 6869 — (т~,) 6869 — (164,4 — 150)т = 6662; ~' $;А Т а б л и ц а 14.8.3 Таблица 14.8.2 З,=З4-1Ю 4 «=А -Ю А !мм! 12 ~ ~269 13 301 К. „= а! ~!$, Ь'! — та. тл — — 842 — (164,4 — 150)(21,1 — 20)— и 842 — 16 = 826. Уравнение прямой имеет вид: Кз» ти ~~~ ь$ тс) или й — 21,1 = 0,124 ($ — 164,4).
(14.8.22) Прямая (14.8.22) показана яа рнс. 14.8.!1. П р н м е р 2. Произведен ряд опытов по измерению перегрузки авиационной бомбы, проникающейт в грунт, при различных скоростях встречи. Полученные знзчения перегрузки Ф в зависимости от скорости о приведены в таблнпе 14.8.4. Построить по методу наименьших квадратов квздратичную зависимость вида: тт' = аит+ Ьо+ с, наилучшим обрааом согласую:цуюся с экспериментальными ттянычн. 1 2 3 5 6 7 8 9 10 1! 4! 50 81 104 120 139 954 180 208 241 250 4 8 10 14 16 20 !9 23 26 30 31 36 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 — 109 — 100 — 69 И' — 30 — 1! 4 30 58 91 100 119 151 — 16 — 12 — 10 — 6 — 4 0 — 1 3 6 1О 11 16 17 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ 1гл, 14 * с 148,36 «з[п) и 14 у 2 63,49 «2[о[ = — ' = — '=4,535; и 14 т, ~ч[, с 28,79 а*И =ш,= =,'4 -2,056; 1 Х дгг « Ф аэ 2[п, М)=«~[дг]=тж —— 14 16,23 14 = — ' — = 1,159; ~Ч'~ и;)тгг ° 2 36,81 «2 2 [и, А7) = — = — ' — =2,629; и 14 Ч'т 2АГ и 4 88,02 14 «(мГсс«1 Система уравнений (14.8.18) имеет вид: 25,92«+ 10,606 + 4,535 с = 6,287, 10,60« + 4,5356 + 2,056« = 2,629, 4 535«+ 2056«+ с = 1,15« Решая эту систему, находим: а ш 0,168; Ь ш 0,102; с ш 0,187.
На рис. 14.8.12 нанесены экспериментальные точки и зависимость дг «пэ [ ьп+„ построенная по методу наименьших квадратов. Пр и меч а н не. В некоторых случаях может потребоваться провести кр 2«ую у = у(х) так, чтобы оиа точно проходила чсрез некоторые заданные заранее точки. Тогдз некоторые из числовых параметров а, Ь,'с, ..., входв- Р вше н и е. В целях удобства обработки удобно изменить единицы измерения так, чтобы не иметь дела с многозначными числами; длн этого можно значения о выразить в сотнях ж/сек (умножить на 1О 2), а Ф вЂ” в тысячах единиц (умножить на 10 «) и всю обработку провести в этик условных единицах. Находим коэффициенты уравнений (14.8.18).
В принятых условных единицах: «1[«) = = ' =25,92; 362,95 Таблица 1484 т пз сГлАжиВАние ВкспениментАльных ЕАВнсимостеи 367 ььа1 Например, в условиях примера 2 может понадобиться проэкстраполироаать зависимостыУ(о) на малые значения и; при атон естественно провести параболу второго порядка так, чтобы она проходила через начало координат (т. е. нулевой скорости встречи соответствовала нулевая перегрузка). Тогда, естественно, с = 0 и зависимость ДГ(о) приобретает вид: в система уравнений для определения а и Ь будет иметь вид: 25,92а+ 10,60Ь = 6,287, 10,60а+ 4,535Ь = 2,629. Пример 3.
Конденсатор, заряженный до напряжения Уа =.100 вольги разряжается через неноторое сопротивление. Зависимость напряжения (7 Рис. 14.8.12. между обклалкамн конденсатора ог времени 1 аарегистрироваиа на участке времени 1О сек с интервалом 1 сек. Напряжение измеряется с точностью до 5 вольт. Результаты измерений прнведенм в таблице !4.8.5. Согласно теоретическим данным, зависимость напряжения от времени должна иметь внд: (у = и, Основываясь на опытных данных, подобрать иетодом наименьших квадратов значение параметра к.
Р е ш е н и е. По таблицам функции е л убеждаемся, что е " доходит приблизительноо до 0,05 при л ш 3; следовательно, коэффициент а должен иметь 368 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ (гл, ы Т а б л и ц а 14.8.6 порвдок 0,3. Задаемся в районе а =0,3 несколькими значениями а: а = 0,28; 0,29; 0,30; 0,31; 0,32; 0,33 и вычисляем для них значения функции (т =(Тое в точках т1 (табл. 14.8.6). В нижней строке таблицы 14.8.6 помещены значения суммы квадратов отклонений Х(а) в зависимости от а. Рис.
14.8.13. График функции Х(к) приведен на рис. 14.8.13. Из графика видно, что значение а, отвечающее минимуму, приближенно равно 0,307. Таким образом, и.з! сглаживание экспевиментлльных влвисимостеи 369 по методу наименьших квадратов наилучшим приближением к опытным дан- ным будет функция 7? = Уее азоте. График втой функции вместе с вкспери. иентальнымн точками дан йа рис. 14.8.14. Рис, !4.8.!4, Т а б л и ц а 14.8.6 =О,аз -Оат =О,З2 о,зз а=о,зо 8 9 8 9,1 ~ 8,4 6,7 6,1 5,0 ( 4,5 10 9 !! 11 10 2 (а) ! 83,3 ~ 40,3 ~ 1?,4 ! И,б ~ 25,7 ) 51,4 24 е. с. веетцель 1 2 3 4 5 6 ! ОО.О 75,5 57,1 43,2 32,6 24,6 18,6 14,1 10,7 8,0 6,1 !Оп О 74,8 56,0 41,9 31,3 23,5 17,6 9,8 ?,4 5,5 ! ОО.О 100,0 74,1 73,3 54,9 53,8 40,7 39,5 ЗО 1 28,9 22,3 21,2 16,5 ' 15,6 гОО,О 72,6 52,7 38,3 27,8 20,2 14,7 ?,7 5,6 4,1 71,9 51,7 3?,2 26,7 19,2 13,8 о9 7,1 5,1 3,7 ГЛАВА 15 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 16.1.
Понятие о случайной функции До сик пор в нашем курсе теории вероятностей основным предметом исследования были случайные величины. Случайная величина характерна тем, что она в результате опыта принимает некоторое одно, заранее неизвестное, но единственное значение. Примерами таких случайных величин могут служить: абсцисса точки попадания при выстреле; ошибка радиодальномера при одном, единичном измерении дальности; горизонтальная ошибка наводки при одном выстреле и т. д.
Ограничиваясь рассмотрением подобных отдельных случайных величин. мы изучали случайные явления как бы «в статике», в каких-то фиксированных постоянных условиях отдельного опыта. Однако такой элементарный подход к изучению случайных явлений в ряде практических задач является явно недостаточным.
На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Примерами таких случайных величин могут служить: ошибка радиодальномера при непрерывном намерении меняющейся дальности; угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления и.,» самонаведения, Такие случайные величины, изменяющиеся з процессе опыта.
мы будем в отличие от обычных случайных величин называть случайными функциями. Изучением подобных случайных явлений, в которых случайность пРоявляется в форме процесса, занимается специальная отрасль теоРии вероятностей — теория случайных функций;:шаче — теория "-.".,"- чайных нля стохастических процессов).
Эту науку можно образно назвать «динамикой случайных явления». Теория случайных функций — новейший раздел теории вероятностей. паззяшпийся. в основном, за последние два-три десятилетия. 1ал1 понятия о слмчлинои эхнкции В настоящее время эта теория продолжает развиваться и совершенствоваться весьма быстрыми темпами. Это связано с непосредственными требованиями практики, в частности с необходимостью решения ряда технических задач. Известно, что за последнее время в технике все большее распространение получают системы с автоматизированным управлением.
Соответственно все большие требования предъявляются к теоретической базе этого вида техники — к теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно воздействующих случайных возмущений (так называемых «помех»). Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать конструктивные параметры системы управления, необходимо изучить ее реакцию на непрерывно воздействующие случайные возмущения, а единственным аппаратом, пригодным для такого исследования, является аппарат теории случайных функций, В данной главе мы познакомимся с основными понятиями этой теории и с общей постановкой ряда практических задач, требующих применения теории случайных функций.
Кроме того, здесь будут изложены общие правила оперирования с характеристиками случайных функций, аналогичные правилам оперирования с числовыми характеристиками обычных случайных величин. Первым из основных понятий, с которыми нам придется иметь дело, является само понятие случайной функции. Это понятие настолько же шире и богаче понятия случайной величины, насколько математические понятия переменной величины и функции шире и богаче понятия постоянной величины. Вспомним определение случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное аначение, неизвестно заранее в какое именно. Дадим аналогичное определение случайной функции.
Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее — какой именно. Конкретный вид, принимаемый слу мйцо1! функцц и в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции. Приведем несколько примеров случайных функций. П р и м е р 1. Самолет-бомбардировщик на боевом курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость У. Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального аначення и представляет собой случайную функцию времени.
Полет на боевом курсе можно рассматривать как оцыт, в котором случайная функция 11 'П пп пш а т пп елеинюо пеалнзз~~ию гпнг. 15.1.1). От опыта 372 основныв понятия теояии слкчаиных эвикции !гл. !з Рнс. !5.!.2 Ряс. 15.!.4, Рис. 15,1.3, за целью сопровождается ошибками — так называемыми ошибками наводки (рис. 15.1.4). Горизонтальная и вертикальная ошибки наводки в процессе прицеливания непрерывно меняются и представляют собой азе случайные функции ХИ) и у((). Реализации этих случайных функ- к опыту вид реализации меняется. Вели на самолете установлен самопишущий прибор, то он в каждом полете запишет новую, отлич- ную от других реализаьуг) цию случайной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
