Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Преобразования или операторы, применяемые к функциям, могут быть различных типов. Наиболее важным для практики является класс так называемых линейных операторов. Оперзтор 7. называется линейиым однородным, если он обладает следующими свойствами: 1) к сумме функций оператор может применяться почленно: 7.)х>(Г)+х,(Г)) =Ь )х>(С)) +7,)хт(С)); (15 6 6) 2) постоянную величину с можно выносить за знак оператора: 7. )сх(1)) = с7.
)х(1)). (15.6.7) Из второго свойства, ме>клу прочим, следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство (1 5.6.8) т. ч. нрн нулевом вхо.н>ом воздействии реаниля с;>стены р.внз нулю. 390 основные понятия теовии слвчлиных эвикции 1гл. сз Примеры линейных олнородных операторов: 1) оператор дифференцироваиияс У(г) = 1 ах(с) . 2) оператор интегрирования: у (1) = ~ х ( с) сст; о 3) оператор умножения на определенную функцию ср(1)с у (1) = ср (С) х (С); 4) оператор интегрирования с заданным «весом» р(1)с ,у(1) = ~ х(с)ср(т)аст о и т. д.
Кроме линейных однородных операторов, существуют еще линей- ные неоднородные операторы. Оператор с'. называется лилейнам неоднородныл, если он со- стоит из линейного одиородного оператора с прибавлением некото- рой вполне определенной функции р(1): ~ (х (1Н = Р-е (х (1)) + Ъ (1).
(15.6.9) где Ее — линейный однородный оператор. Примеры линейных неоднородных операторов: 1) у(1) = д +р(1) лх (О 2) у (Г) = ~ х (т) р (т) с(с + ср, (1), о 3) у(С)= рс(Ф)х(1)+-срс(с), где р(1), срс(1), рз(г) — вколие определенные функцил, а х(1) — пре- образуемая оператором функция. В математике и теющке щссроко припекается услоапая форма записи операторов. аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избегать сложных преобразова- ний к записывать формулы в простой и удобной форме, Например, оператор дифференцировзния часто обозначают буквой р: Р= сгс ' помещаемой в виде множителя перед выражением, подлежащим диф- ферспцпрозапию, При этом запись у (с) = рх (1) 391 ЛИНЕПНЫЕ И НЕЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !б.б] равносильна записи у(г) = "„,"' Двойное дифференцирование обозначается множителем рт! Р л(Г) = ар а'л (г) и т.
д. Пользуясь подобной символикой, в частности, очень удобно записывать дифференциальные уравнения. Пусть, например, работа динамической системы А описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, связывающими реакцию системы у(г) с воздействием л(г). В обычной форме записи вто дифференциальное уравнение имеет вид: а "у (П а" !у (П ау (!) В символической форме это уравнение может быть записано в виде: (а,р" + а,,р" '+ ...
+ а,р+ аб) у(!) = =(й.р.-+й. !р"-'+ ". +й!р+бб) л(т), и где р = — — оператор дифференцирования. аг Обозначая для краткости полиномы относительно р, входящие в правую и левую части, А„(р)=а„р" +а„,р" ' + ... +а,р+а, "м(Р)=амр +а -гр !+ ° ° ° +Р!Р+!!б запишем уравнение в сшс болес компактной форме: А„(р)у(Г)=В (р)л(г). (!5.6.11) )Г ~ЛР) у (!) = л (!) Аб (р) (10.0.19) Пользуясь аналогичной символикой, можно записать в операторной форме и линейное дифференциальное уравнение с переменными Наконец, формально разрешая уравнение (15.6.11) относительно у(т), можно символически записать оператор решения линей- ЛОГО дифференциалы!ОГО уравнеш!я В яяз!Имз Биде: 392 основныз понятия тзогни сличлпных аинкцнгт !гл ж коэффициентами.
В обычной форме это уравнение имеет вид: а„(с) „+а„,(~) „, +... +а,(г) — + а„ЯуЯ= а у(В и Г(Г) ау(Г) Обозначая многочлены относительно р, коэффициенты которых зависят от г, А„(р, т) =ае(г) р" +ае,(!) р" '+ ... +а,(С) о+аз(Г) в (р, 1)=ь (г) р +ь,„,(с) р - + ... +д,(т) р+д„(г), можно записать оператор дифференциального уравнения в виде: у(с)= ." 'х(с). (15.6. ! 4) В дальнейшем мы по мере надобности буден пользоваться такой символической формой записи операторов. Встречавшиеся в технике динамические системы часто описываются линейными дифференциальными уравнениями.
В этом случае, как нетрудно убедиться, оператор системы является линейным. Динамическая система, оператор которой является линейным, называется линейной динамической системой. В противоположность линейным операторам и системам рассматриваются системы и операторы нелинейные. Примерами нелинейных операторов могут служить 1 у(г)=х'(с), у(г)= ~ хз(т)с(т, у(г)=з!пх(г). о а также решение нелинейного дифференциального уравнения, хотя бы у'(т)+асозу(О=х(т). Динам инская снсеечз, оперзт р к тор ~й не яз.чается линг!Нпчч, называется нелинейной систе иой.
На практике линейные системы встречаются очень часто. В связи с линейностью этих систем к анализу их ошибок может быть с большой эффективностью применен аппарат теории случайных функций. Подобно тому как числовые характеристики линейных функций обычных случайных величин могут быть получены по числовым характеристикам аргументов, характеристики случайной функции на выходе линейной динамической системы могут быть определены, если известны оператор системы и характеристики случайной функции на ее входе. линейные пРеоБРлзовлния слУчАйных ФУнкций 393 1з 71 Еще чаще, чем линейные системы, на практике встречаются системы не строго линейные. но в известных пределах допускающие линеаризацию .
Если случайные возмущения на входе системы достаточно малы. то практически любая система может рассматр иваться — в пределах этих малых возмущения — как приближенно линейная, подобно тому как при достаточно малых случайных изменениях аргументов практически любая функция может быть линеар изована. прием приближенной линеаризаци и дифференциальных уравнений широко применяется в теори и ошибок динамических систем .
В дальнейшем м ы будем р ассматр ивать только линейные (или линеаризуемые) динамические системы и соответствующие им линейные операторы. 15.7. Линейные преобразования случайных функций Пусть на вход линейной системы с оператором 7. воздействует случайная функция Х (г), причем известны ее характеристики: математическое ожидание т„(г) и корреляционная функция К (г, г'). Реакция системы представляет собой случайную функцию У (1) = 7.
(Х (С)). (15.7.!) Требуется найти характеристики случайной функции г'(г) на выходе системы: тг(г) и КУ(г, 1'). Короче: по характеристикам случайной функции на входе линейной системы найти характеристики случайной функции на выходе. Покажем сначала, что можно ограничиться решением этой задачи только для однородного оператора 5. Действительно, пусть оператор 7. неоднороден и выражается формулой й [Х(1)! = 5а(Х(СИ +9(С), (1 5.7.2) где 7з — линейный однородный оператор, Ф(г) — определенная неслу- чайная функция.
Тогда гл,, П).= 711!7.11ХЮ)1+'-",(с) (15.7 ЗЭ т. е. функция 77(1) просто прибавляется к математическому ожиданшо случанпоп функции на выходе линепнон системы. Что же кзсается корреляционной функции, то, как известно, она не меняется от прибавления к случайноп функции неслучайного слагаемого. Позпому в дальнейшем изложении под «линейными операторами» будем разуметь только лннедныа однородные операторы. Решим задачу об определении характеристик на выходе линейноп системы сначзла для некоторых частных видов линейных операторов.
594 ОснОВные пОнятия теОРии случлиных Функции 1гл. га 1. Интеграл от слу чайной функции Дана случайная функция Х(1) с математическим ожиданием пел(Т) и корреляционной функцией К (г, р). Случайная функция У(г) свявана с Х (Г) линейным однородным оператором интегрирования: ! У(Т) = ~ Х (т) йт. (15.7.4) о Требуется найти характеристики случайной функции У(г): иг„(1) и К„(Т, Р). Представим интеграл (15.7.4) как предел суммы: ! У(й)= ~ Х(т)йт= 1!пг ) Х(с)йт (15.7.5) г!.+ о и применим к равенству (15.7.5) операцию математического ожидания. По теореме сложения математических ожиданий имеем," ги (1) = Л1 1У (г)) = 11~ ~~1 Л4 (Х (т!)) б~ = г! +О = йю У пгл('с!) Ь'с= ~ тл(т)йт!) (15 7 6) г!.+О Итак сп (1) = )! и (с) йс.
(15.7.7) о т. е. мавемалчичесное ожидание интеграла оач случайной функции равно инпгегралу оса ее могпематичесного ожидания. Иными словами: операцию интегрирования и операцию математического ожидания мовсно менять местами. Это н естественно, так как операция интегрирования по своей природе не отличается от операции суммирования, которую, как мь! рзн,ше убсд:!он!со, можно менять местами с операцией математического ожиданно. Найдем корреляционную функцию К (Т, р). Для этого перейдем к центрированным случайным функциям: ХЯ= ХЯ вЂ” пс„(Г); У(1) = УЯ вЂ” т (Г).
Нстругот убедиться, что с" Х(т)а;. (! о. ! . 8)! О !) При агом мы предполагаем. чго математическое ожнланяе предела равно гределу ог математического ожидания. На практике мы, как правило, имеем дело с функцнямя, для которых такая перестановка возможна. где ?'(!) = ~ Х (т) с(т; Г (!') = ~ Х(т') ю7т' ~). (15.7.9) о е Перемножим выражения (15.7.9): н У(!)?'(Е)= ~ Х(т)~й»~ Х(с)с[с'. (157.10) о о Нетрудно убедиться, что произведение двух интегралов в правой части формулы (15.7.10) равно двойному интегралу Х (т) Х (т') г!т г(т'.
(15.?.11) Действительно. в связи с тем, что подынтегральная-функция в интеграле (15.7.11) распадается на два множителя. из которых первый зависит только от т, второй — только от т'. двойной интеграл (!5.7.11) распадается на произведение двух однократных интегралов (15.7.10). Следовательно, г н У(Р) ?'(1')= ~ ~ Х(~)Х«')сК«й'. (15.7.12) о е Применяя к равенству (15.7.12) операцию математического ожидания и меняя ее в правой части местами с операцией ннтегрнрова ния, получкм: Х (!, 1') = М [г'(!) У (~')! = ~ ~ М [Х (т) Х (т')[ г!т йт, или окончательно: с н К,'(Е, !') = ~ ~ К, «, ),)т,(,.
(15.7.13) Таким образом, для того чтобы найти корреляционную функцию интег л от ~лч ч»йнви ~ь»нкц»н нт щт»» «» л *ю и» и и а г и сначала по одному аргументу, затем — по другому. ') Каа известно, и опрелелеппои пнтеграле переменная иптегрирозипю может быть обозначена любой буквоз; в данном случае удобно обозначить ее е и соответственно. гз,п лпнвпныв пвяоввлзовлнни слтчлпных окнкцип 395 По определению корреляционной функции, Х„ (а. а') = м [ ?т (!) Р (г')[, 396 основныи понятия тиооин слкчлпных екнкцип (гл.
и 2, Производная от случайной функции Дана случайная функция Х ф с математическим ожиданием т„(() и корреляционной функцией К (с, с'). Случайная функция Г(с) связана со случайной функцией Л (1) линейным однородным оператором дифференцирования: их (г) (15.7.14) Требуется найти т (1) и К (р, ~'), Представим производную в виде предела: х(г+ лг) — х(г) )х(1) = Дш Ь И -ха Применяя к равенству (15.7.15) операцию математического огкидания, получим: т (г) гы!у()) йщ тх(С+Лг) — тх(г) дтх(г) 1) ю.+о лс йг Итак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
