Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции 1г(О (рис. 15.1.2). Пример 2. При пап Ф ведении управляемого сиаРис. 15.!.!. ряда на цель ошибка наведения )с (!) представляет собой отклонение ий центра массы снаряда от теоретической траектории, т. е. случайную функцию времени(рнс. 15,1.3). В тои же опыте случайными функциями времени являются. например, 0 перегрузка снаряда й((!).
угол атаки к(Г) и т. д. Пример 3. При стрельбе с самолета по самолету перекрестие прицела в течение некоторого времени должно непрерывно совмешаться с целью — следить эа ней. Операция слежения 373 понятии О случлпноп Функции ций можно получить в результате дешифровки снимков фотопулемета, фотографирующего цель в течение всего процесса слежения. Число примеров случайных функций. встречающихся в технике, можно было бы неограниченно увеличивать. Действительно, в любом случае.
когда мы имеем дело с непрерывно работа!Ошей снстемой (системой измерения, управления, наведения, регулирования), при анализе точности работы этой системы нам приходится учитывать наличие случайных воздействий (помех). Как сами помехи, так и вызванная ими реакция системы представляют собой случайные функции времени. До сих пор мы говорили только о случайных функциях, аргументом которых является время 1.
В ряде задач прзктики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от других аргументов. Например, характеристики прочности неоднородного стервою могут рассматриваться как случайные функции абсциссы сечения х. Температура воздуха в различных слоях атмосферы может рассматриваться как случайная функция высоты О. На практике встречаются также случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких. Например, аэрологические данные, характеризующие состояние атмосферы (температура, давление, ветер), представляют собой в общем случае случайные функции четырех аргументов: трех координат х, у. г и времени Ф. г! йу рис.
!э.!.5. В данном курсе мы будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой Г. Кроме того, условимся, как правило, обозначать случайные фущгцин большими буквами (Х(г), У(г), ...) в отличие от неслучайных функций (х(!), у(!),...). Рассмотрим некоторую случайную функцию Х(!). Предположим, что над ней произведено п независимых опытов, в результате которых полу~~~о и реализаций (рис.
)Ь.!.б). Обозначим их соотвегственно номеру опыта х1(~), л (!), ..., х„(!). ВУ4 основные понятия теояии слкчлпных эгнкции 1гл ж Каждая реализация, очевидно. есть обычная (неслучайная) фушсцэя. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция Х(т) превращается в обычную, неслучайную функцию. Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента г и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция Х(8).
Очевидно, она превратится в случаяную величину в обычном смысле слова. условимся называть эту случайную величину сечением случайной функции. соответствующим данному 8. Если провести «сечение» семейства реализаций при данном 1 (рис. 15.1.5), мы получим и значений, принятых случайной величиной Х(г) в л опытах. Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента. она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) фу нкцию. В ходе дальнейшего изложения мы часто будем попеременно рассматривать одну и ту же функцию Х(1) то как случайную функцию, то как случайную величину, в зависимости от того, рассматривается ли она на всем диапазоне изменения 1 или при его фиксированном вначении.
15.2. Понятие о случайной функции как расширеняе понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции Рассмотрим некоторую случайную функцию Х(1) на определенном отрезке времени (рис. 15.2.1). Строго говоря, случайную функцию мы не можем изображать с помощью кривой на графике: начертить мы можем лишь ее Ряс.
1 5.2.1. конкретные реализации. Однако в целях наглядности можно позволить себе условно изобразить на черте~хе случайную фупкцщо Х(г) в виде кривой, понимая под втой кривой не конкретную реализацию, а всю ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАПНОИ ФУНКЦИИ 375 совокупность возможных реализаций Х (1). Эту условность мы будем отмечать тем. что кривую, символически изображающую случайную функцию, будем проводить пунктиром. Предположим, что ход изменения случайной функции регистрируется с помощью некоторого прибора, который не записывает случайную функцию непрерывно, а отмечает ее значения через определенные интервалы — в моменты времени йн (ю ..., 1 . Как было указано выше, при фиксированном значении 1 случайная функция превращается в обычную случайную величину.
Следовательно, результаты записи в данном случае представляют собой систему гл случайных величин: Х (1,), Х (1,), ..., Х (1,„). (15.2.1) Очевидно, при достаточно высоком темпе работы регистрирующей аппаратуры запись случайной функции через такие интервалы даст достаточно точное представление о ходе ее изменения. Таким образом, рассмотрение случайной фушсции можно с некоторым приближением заменить рассмотрением системы случайных величин (15.2.1).
По мере увеличения лг такая замена становится все более и более точной. В пределе число значений аргумента — и соответственно число случайных величин (15.2.1) — становится бесконечным. Таким образом, понятие случайной функции можно рассматривать как естественное обобщение понятия системы случайных величин на случай бесконечного (несчетного) множества величин, входящих в систему. Исходя из такого толкования случайной функции попытаемся ответить на вопрос: что же должен представлять собой закон )Распределения случайной функции? Мы знаем, что закон распределения одной случайной величины ес|ь функция одного аргумента, закон распределения системы двух величии — функция двух аргументов и т. д.
Однако практическое пользование в качестве вероятностных характеристик функциями многих аргументов настолько неудобно, что даже для систем трех- четырех величин мы обычно отказываемся от пользования законами распределения и рассматриваем только шсловые характеристики. Что касается закона распределения случайной функции, который представляет собой функцию бесчисленного множества аргументов, то такой закон в лучшем случае можно чисто формально записать в какой-либо символической форме; практическое же пользование подобной характеристикой, очевидно, совершенно исключено.
Можно, однако, для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем. рассмотрим случайную величину Х (1) — сечение случайной функции в момент Г (рис. 15.2,2). Эта случайная величина, очевидно. 376 ОснОВные понятия теОРии случлпных Функций [гл. !3 обладает законом распределения, который в общем случае зависит от 1.
Обозначим его г(я, 1). Функция 7" (х, 1) называется одномерным законом распределения случайной функции Х(Г). Очевидно, функции 7(х, 1) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции Х(1). Действительно, эта функция характеризует только закон распределения Х(7) для данного, Рис. 15.2 2. хотя и произвольного 1; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин Х(1) прн различных Г. С втой точки зрения более полной характеристикой случайной функции Х(1) является так называемый двумерный закон распределения: (15.2,2) Это — закон распределения системы двух случайных величин Х (Г!), Х(фз), т.
е. двух произвольных сечений случайной функции Х(Г). Однако и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей; еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон: (15.2.3) У'(хи х,, хз; 1!, г,, 1з). Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать при этом все более подробную, все более игчРппь!яачЗП!Тж хаоактепистику случайной ьч!$кн!!и но ГЗпРГЗнповать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от мнотих аргументов, крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции лостаточно. Напр!!мер, знания функции (!5.2.2) !так называемые «процессы без последействия»). В гределах настоящего элементарного наложения теории случайных функций мы вовсе не будем пользоваться законами распределения, а ограничимся рассмотрением простейших х а р а к т е р и с т и к случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин.
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 3УУ 1 6.3. Характеристики слу чайных функций Мы имели много случаев убедиться в том, какое большое значение в теори и вероятностей имеют основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия — для одной случайной ве ли ч и ны, математические ожидз ния и ко р ре ляцио ни ая матрица — для системы случайных величин .
Искусство п ользов аться числовыми характеристиками, оставляя по возможности в стороне законы распределения, — основа прикладной теор и н в е роят пастей . Аппарат ч и с ловых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволюоший срзвнительно 1у(1 просто решать многие практические задачи. Совершенно аналогичным аппаратом пользуются и в теории случайных функций.
Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, н устанавливаются правила действий с этими ег (у/ характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения мно- Рис. 15.3.1, гих практических задач. В отличие от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции. Математическое ожидание случайной функции Х(1) определяется следующим образом.
Рассмотрим сечение случайной функции Х(1) при фиксированном Т. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину, пареде.щм ее мз~сызгмчеььое ожмдгии. ючазмдпо, в оощем случае оно зависит от 8, т. е. представляет собой некоторую функ- тс (Т) = М !Х (С)1. (15.3.1) Таким образом, лгатематичес1сим ожиданием случайной при каждом значении аргумента Т равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.
По смыслу математическое ожичанне случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции. На рис. 15.3.1 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией — ее математическое ожидание. Аналогичныл! образом определяется дисперсия случайной функции.
Дисперсией случайной функции Х(г) называется неслучайная функция Е) (г), значение которой для каждого Г равно дисперсии соответствуюгцего сечения случайкой функции: с) (г) = О [Х (1)1. (15.3.2) Дисперсия случайной функции при каждом с характеризует разброс возможных реали- Щ зацнй случайной функции относительно среднего. иными словаки, «степень случайности» случайной функции. Очевидно. 0,(г) есть неотрицательная функция. ! Навлекая из нее квадрат! ный корень, получим 1 в!г, !Гг функцню о„(г) — среднее ! квадратическое отклонение случайной функции: в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
