Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Перейдем к задаче определения параметров а, Ь, с, ..., исходя из принципа наименьших квадратов. Пусть имеется таблица экспериментальных данных (табл. 14.8.!) и пусть ив каких-то соображений (связанных с существом явления или просто с внешним видом наблюденной зависимости) выбран общий вид функции у =р(х), зависящей от нескольких числовых параметров а, Ь, с. ...; именно эти параметры и требуется выбрать согласно методу наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов отклонений у, от р(х1) была минимальна. Запишем у как функцию не только аргумента х.
но и параметров а, Ь, с, ...: у = в(х; а. Ь, с, ...). Требуется выбрать а, Ь, с, ... так, чтобы выполнялось условие: ,>, [у,— р(х1; а, Ь, с, ...))а=ш[п. 1=1 (14.8.6) Найдем значения а, Ь, с...., обращающие левую часть выражения (14.8.6) в минимум. Для этого продифференцируем ее по а, Ь, с, ... и приравняем производные нулю: п ~~~ 1У,— р(х,; а, Ь, с, ...))( — т) =О, 1=1 П ~Я~ (у1 — т (х1', а, Ь, с, ° ..))( д[, ) =О, 1=1 и ,~~(у,— [4(х,; а. Ь, с, ...))( — дт) =О. (14.8.
7) где[ — ) = 47,'(х1; а, Ь, с, ...) — значение частной производной функ(дт [ , 7 дт ! 1 дт ! цин р по параметру а в точке х,; 1 †), 1 †) .... — аналогично. С~с~с~~ уравнений (14.8.7) сод~ржит столько же уравнений, сколько неизвестных а, Ь, с, ... Решить систему (14.8.7) в общем виде нельзя: для этого необходимо задаться конкретным видом функции 47. Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая: когда функция !1 линейна н когда она выражается полиномом второй степени (параболой). 14ХИ сГлАжиВАние экспеРиментАльных ЗАВисимостен 387 1. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов В опыте зарегистрирована совокупность значений (х1, у!) (1= 1, 2, ....
а; см. рис. !4.8.6). Требуется подобрать по методу наименьших квадратов параметры а, Ь линейной функции у=ах+Ь, Ь изображающей данную экспериментальную аависимость. Решение. Имеем'. у = ~р (х", а. Ь) = ах + Ь. (14.8.8) Дифференцируя выражение (14,8.8) по а и Ь, имеем: Рис, 14.8.8. Подставляя в формулы (14.8.7), получим два уравнения для определения а и Ь: ~ [у, — (ах;+Ь)[ х,=О, 4=1 я ~ [у, — (ах, + Ь) [ = О, г=! пли, раскрывая скобки и производя суммирование. ~',ху,— а ~ х; — Ь~ х,=О, !=! 1=! 1=1 (1 4.8.9) и !! "„., — а ° х, — Ьа = О.
1-! ! ! Разделим оба уравнения (14.8.9) на а! Хх Ь ' О 1=! а 414 Я !О) Ху! Хх! ! 1 4=1 — — а= — Ь=О ОБРАБОТКА ОПЫТОВ [Гл ы Суммы, входящие в уравнения (14.8.10), представляют собой не что иное, как уже знакомые нам статистические моменты: Л ~~»', х! — = е",[Х[; л ~У~ х!»! :=а'! ! [Х, у[. ~З~ Х1 1=1 ==т; и (14.8. 12) (14.8.13) где Л Х» 1=1 т == и ° 1=1 т к л ~„(х1 — т,) (»1 — т„) П 4.Я.! 4) Х Ху „'~~ (х! — т„) 1=1 Таким образом, поставленная задача мость, связывающая у и х, имеет внд: ~ХУ „-х т » Х решена, и линейная зависи- ~ку» т О„Х Подставляя зги выражения в систеиу (14.8.10), получим: и* [Х, У[ — аа'[Х[ — Ьт*„=О, 1 т' — ат* — Ь=О.
~ У Х Выразим Ь нз второго уравнения (14.8.11) и подставим в первое: Ь=т' — ат', У Х' а,' ![Х, У[ — аа'[Х[ — (т" — ат")т„*=О. Решая последнее уравнение относительно а, имеем: ;,1' »»--Х ,»к» - !":7 Выражение (14.8.12) можно упростить, если ввести в него не началь- ные, а центральные моменты.
Действительно, а1,1[Х, у'[ — ткту=-Кку. аа[Х[ — (тк)'=0„, откуда ~ху а= — У; Ь=т' — ат', к сглаживание зкспевиментлльных злвиснмостеи 360 !кз! или, перенося т в левую часть, у (14.8.15) Мы выразили коэффициенты линейной зависимости через центральные, а не через начальные вторые моменты только потому, что в таком виде формулы имеют более компактный вид. При практическом применении выведенных формул может оказаться удобнее вычислять моменты К„„и О„не по формулам (14.8.14), а через вторые начальные моменты: к ~~'.! к!ус 1=1 т и (14.8.
16) Для того чтобы формулы (14.8.16) не приводили к разностям близких чисел, рекомендуется перенести начало отсчета в точку, не слишком далекую от математических ожиданий т*, т'. " Ьх к' 2. Подбор параметров параболы второго порядка методом наименьших квадратов В опыте зарегистрированы зна- ! чения (х!, у!) (1=1, 2, .... и; ! см. рис. 14.8.7). Требуется мето- ! дом наименьших квадратов подо- ! ! ! брать параметры квадратичной !7 го л. функции — параболы второго по- п !Лат у=ахз-+Ьх+с, соответствующей наблюденной экспериментальной зависимости. Имеем: с) = ахз+ Ьх+ с. у=в(х; а, Ь, — = хт. дт да — =х; дт да — =1; дт дс 360 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ Подставляя в уравнения (14.8,1), имеем: жи. !4 и ~~,'4 (у1 — (ах11+ Ьх,.
+ с)1 хе1 = О, г=! ~ [у1 — (ах', + Ьх1 + с)1 х, = О, ~~ (у1 — (ах',. + Ьх, + с)) = О, 1=1 или, раскрывая скобки, производя суммирование и деля на и, ~ч4 3 ~~ 2 учли х4 с — 0 л ~~~~, ХЗ1 ~~ х~~ ~~ х !=! Ь вЂ” с= — 0 ~~,'„Х1У1 1=1 (14.8.17) ~. У1 ~~~, Х1 ~Ч~, Х1 ю=! 1=1 1=! — — а — Ь вЂ” с=О и и и Коэффициенты втой системы также представляют собой статистические моменты системы двух величин Х. Г, а именно: ~2, у 1=! == т =а (У); и Р 1 Хх, '=1 — ' — * 1Х1. п л 1 == а*(Х) з л и и 9, 1 Пользуясь этими выражениями для коэффициентов через начальные моменты одной случайной величины и системы двух величин, ~~у" х1У1 1=1 ~'х1 : — 24 [Х1; и ыв[ сглаживании экспвтимянтлльных зависимостям 361 можно придать системе уравнений (14,8.7) достаточно компактный вид.
Действительно, учитывая, что а*„[Х[=1; ие,[Х, 1'[=а,*1У[ и перенося члены, ие содержащие неизвестных, в правые части, приведем систему (14.8.17) к виду: а',! Х1 а + а [ Х[ Ь + и* [Х[ с = а', [ Х. У[, а' [Х1 а + а' [ Х[ Ь+ а' [Х ! с = а',, [Х, У[, а* [ Х! а + и', [ Х! Ь + а„'1Х1 с = х', [Х, 1'1. (14.8.18) у.=р(х; а,, а,,,... а ) = =а,т,(х)+атч,(х)+ ... +аьР (х)= — ~~~ аР,(х), (14.8.19) г=т и когда требуется определить коэффициенты а,. ') Решения системы (14.8.18) относительно неизвестных а, Ь, с в общем вила мм ие приводим, так как вто решеиие слишком громоздко, а на практике обычно удобнее решать систему (14.8.18) не с помощью определителей, а последовательным исключением неизвестных.
Закон образования коэффициентов в уравнениях (14.8.18) нетрудно подметить: в левой части фигурируют только моменты величины Х в убывающем порядке; в правой части стоят моменты системы (Х, У), причем порядок момента по Х убывает от уравнения к уравнению, а порядок по У всегда остается первым '). Аналогичными по структуре уравнениями будут определяться коэффициенты параболы любого порядка. Мы видим, что в случае, когда экспериментальная зависимость выравнивается по методу наименьших квадратов полиномом некоторой степени, то коэффициенты этого полинома находятся решением системы линейных уравнений. Коэффициенты этой системы линейных уравнений представляют соббй статистические моменты различных порядков.
характеризующие систему величин (Х. У), если ее рассмотреть как систему случайных величин. Почти так же просто решается задача сглаживания экспериментальной аависимости методом наименьших квадратов в случае, когда сглаживающая функция представляет собой не полипом, а сумму произвольных заданных функций <р,(х), ез(х), ..., ~ра(х) с коэффициентами ат, ат, ..., аа.' 362 оьязьотка опытов 1гл. !4 1 (х; а1, ая, аз, а4) = а, соз ах+ азз1п <ох+ аз соз 2мх+ а4 2!и 2 ах или линейной комбинацией показательных функций Р(х; ао ая, а,)=а,е"'+а,е" +азет', и т. д.
В случае, если функция задается выражением типа (14.8.19), козффициенты а,, аз, ..., аа находятся решением системы и линейных уравнений вида: и ~~„' [уг — [а!р!(х1)+пара(х1)+ ... +а„р,(х1)[[~!(х1) =О, 1=! л ~4 [у, — [а11р! (х1)+ а21р2(х1)+ ... -+ а„ре(х )[[ 1ря(х1) = О, 1=1 ~~4 [У! — [а1Р1(х1)+ аяР2(х1)+ ... + аале(х1)[[ Ра(х1) =О, Выполняя почленное суммирование, имеем: и а, ~~'.! [1р, (х,)[2+ ая ~ ря (х1) з1 (х,) .+ ... + аз ~4 !ра (х,) чь (х,) = 1=1 1=! = Х УР! (х1) 1=1 . +ма Х р,( 1) р,(,) = ~Р! (хг) ~2(Х1) [- а2 ~ [аз (Хз)]2-[- 1=1 =мурр (х;) 1=1 а, ~', 1р!(х1)2!а(х1)-+ а, ~4 1р2(х1)ее(х1)[- ... + а, ~~ [ое(х,)[2= 1=1 1=-1 1=1 = ~я" У1Р (хг), :=1 Нацрнмер. вкспериментальную зависимость можно сглаживзть тригонометрическим полиномом сглаживания экспзяимвитальиых зависимостей 383 ((зй нли, короче, а л (( .~ аг ~ р! (х() у) (х() = ~ у((у! (х().
!Э~ а(2~ 7а(х() ~7(х() = 2~ У(уз (х() у=! (=! (-! (1 4.8.20) ,а'.( а) с'.( 9~ (х() 9) (х() = ~~ У((7а(х(). 7=! (=! (=! и Х(а)= 2'„(у — 7(хс а))т. Нанесем значение Е(а) на график (рис. 14.8.9). То значение а, для которого кривая Е(а) имеет минимум, и выбирается как подходящее значение параметра а в выражении (14.8.21).
Систему линейных уравнений (14.8.20) всегда можно решить и определить таким образом коэффициенты а,. ам ..., аа. Сложнее решается задача о сглаживании методом наименьших квадратов, если в выражение функции у=о(х; а, Ь, с, ...) числовые параметры а, Ь, с,... входят нелинейно. Тогда решение системы (14.8.7) может оказаться сложным и трудоемким. Однако и в этом случае часто удается получить решение аздачи с помощью сравнительно простых приемов. Проиллюстрируем идею этих у=уз(х а) приемов на самом простом примере функции, нелинейно зависящей только от одного параметра а (например, у = е-' * или у = а1п ах, или 1 у= — ).
Ииеем! у=(у(х, а), (14.8.21) х (( где а — параметр, подлежащий под- ° ° бору методом наименьших квадратов для наилучшего сглаживания заданной экспериментальной зависимости Ряс. 14.8.8. (рис. ! 4.8.8). Буаз ! Рхш:(;!. зал.('(у следующим об(разом. Зададимся р(щои значений параметра а и для каждого из них найдем сумму квадРатов отклонений у, от ((х(, а).
Зта сумма квадратов есть некоторая функция а; обозначим ее Е(а)! ОБРАБОТКА ОПЫТОВ !ГЛ. 1Я Совершенно так же, в принципе, можно, не решая уравнений (14.8,7), подобрать совокупность двух параметров (а, Ь), удовлетворяющую Х/а/ Щб) Рнс. !4.8.10. Ряс. 14.8.9. принципу наименьших квадратов; работа прн этом лишь незначительно усложнится и сведется к построению не одного, а нескольких графиков (рис. 14.8.10); при этом придется искать совокупность значений а, Ь, обеспечивающую минимум минимального значения суммы квадратов отклонений Е (а, Ь). Ркс.
1Я 3.!1, 274 шэ = — = 212 ° 13 !3 Для обработки но начальным моментам переносим начало координат в близкую к средней Яочку: $я — — 150; Лэ —— 20. Требуется по методу наименьших квадратов мую, изображающую зависимость )я ог ф. Решение. Имеем: е 1 2137 та — — — ' = — - !64,4, 13 13 Пример 1. В опыте исследована аависимость глубины проникания Ь тела в преграду от удельной энергии В (энергии, приходящейся на квадратный сантиметр площади соударения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
