Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 60
Текст из файла (страница 60)
') Заметим, что выражение (14.7,4) совпадает с приведенным з главе 9 выражением (9.2.2) лля угла а, определяющего направление осей симметрии эллипса рассеивания. збО ОБРАВОТКА ОПЫТОВ !гл. !з Оценки для глазных средних квадратических отклонений выразятся формулами: (14.7.6) л ~ У1 л Х! м! 1=! л ! =1 т„= л 2Кку 1 — агс!и 2 (14.7,7) Бк — Р„' е! —— 1 Р созза+Ккгз!и 2а+ Р„з!па а; Р, з!и! а — К„з!и 2а+ Р„соэза, где л ~,' (х1 — л1к)! 1=1 Р,= ~ ', (У1 — л1„)! 1=! Р,== „! (14.7.
8) ~~~ (х! — л! ) (У! — л1к) 1=1 К „= В ззключение следует заметить, что обработку:стрельб по полныи формулам (14.7.7) имеет смысл предпринимать только тогда, когда число опытов достаточно велико (порядка многих десятков); только з этои с..! .ае угол а может быть оценен с достаточной точностью. При малом числе наблюдений значение а, полученное обработкой, является в значительной мере случайным, Задачу обработки стрельб дистанционными снарядами мы здесь рассмотрим только в простейшем случае, когда направление главных осей рассеивания (хотя бы ориентировочно) известно заранее. Как правило, встреча!он!неся в практике стрельбы дистанционными снарядами задачи обработки опытоз относятся к этому типу.
Тогда можно выбрать координатные оси параллельно главным осям рассеивания и расска!ризать три координаты точки разрыва снаряда как независимые случайные величины. Выпишем отдельно полную сводку формул для обработки стрельб по плоской мишени з случае, когда направление главных осей рассеивания заранее неизвестно, Оценки искомых параметров определяются формулами: ада) сглАжиВАние вкспеяиментАльных 3АВисимОстей 351 Пусть в результате и независимых выстрелов зарегистрированы координаты и точек разрыва дистанционных снарядов (хн )1И х1); (ха 3'а ха) °...
(хд, Уд, Яд) д ~~~„д 1=1 т == д У У1 1=1 ги г и о (14.7.9) и ~~ (у — т )' 1=1 и — 1 е д ~, (г1 — т,)' 1=1 и — 1 од = На решении задачи обработки стрельб дистанционными снарядами в случае, когда направления главных осей рассеивания заранее неизвестны, мы останавливаться не будем, так как на практике зта задача встречается сравнительно редко, 14.8. Сглаживание вкспериментальиых зависимостей по методу наименьших квадратов К вопросам.
связанным с обработкой опытов, разобранным в данной главе, близко примыкает вопрос о сглаживании экспериментальПусть производится опыт, целью которого является исследование аависимости некоторой физической величины у от физической величины х (например, зависимости пути, пройденного телом, от времени; начальной скорости снаряда от температуры заряда; подъемной силы от угла атаки и т. д,). Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью: (14.8.1) у = о(х). Вид втой зависимости и требуется определить из опыта. в системе координат вания, Оценки для формулами: Х, тд и с осями, параллельными главным осям рассеипараметров нормального закона определятся 352 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ 1гл.
гч Предположим, что в результате опыта мы получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х (рис. 14.8.1). Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильным образом — дают некоторый «разброс», т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой обшей закономер- Ряс. 14.81, Рис, 14.82, ности, Этн уклонения связаны с неизбежнылш при всяком опыте ошибками измерения. Возникает вопрос, как по этим эксперииентальным данным наилучшим образом воспроизвести зависимость у от х? Известно, что через любые п точек с координатами (хп уг) всегда можно провести кривую, выражаемую аналитически полиномом степени (а — 1), так, чтобы она в точности прошла через каждую нз точек 1рнс.
14.8.2). Однако такое решение вопроса обычно не является удовлетворительным: как правило, нерегулярное поведение экспериментальных точек, подобное изображенному на рис. 14.8.1 и 14,8.2, связано не с объективным характером зависимости у от х. а исключительно с ошибка- У ми измерения.
Это легко а обнаружить, сравнивая наблюденные уклонения (раза~ брос точек) с примерно изр~ вестныни ошибками измсригельной аппаратуры. Тогда возникает весьма ча сглаживания экспел ричентальной аавнсимости. . 14.8.3. кис. 4... желательно обрабогать экспериментальные данные так, чтобы по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости у от х, но вместе с тем сгладить незакономерные, случайные уклонения, связанные с неизбежными погрешностями самого наблюдения.
ым сглаживании экспвгнмзнтлльных завнснмоотвп 353 виде зависимости мы н будем решзть в настоящем и', Пусть н и е ются результаты а независимых опытов, оформленные в виде простой статистической таблицы (табл. 14,8,1), где 1 — номер опьым х; — значение аргумента; уг — соответствующее значение функции. Топо: (хн уг) нанесены на график (рис. 14,8.5). Из теоретических или иных соо- «г у У1 ! бра,лений еы~рьи принципиальный внд зависимости у=с (х). Функция у=э(х) л ~ х„ — содержит ряд числовых параметров а. Ь.
с... Требуется тзк выбрать этп параметры, чтобы криваа у=у(х) в каком-то смысле наилучшим образом изображала зависимость, полученную в опыте. 33 О, С. Веетцееь Для решения подобных задач обычно применяется расчетный метод, известный под названием «метода наименьших квздратов». Этот метод дает возможность при заданном т и п е зависимости у = ~у(х) так выбрать ее числовые параметры, чтобы кривая у=э(х) в известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные.
Скажем несколько слов о том, из каких соображений может быть выбран тип кривой у=э(х). Часто этот вопрос решается непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости. Например, вкспериментальные точки, изображенные на рис. 14.8.3, явно наводят на мысль о прямолинейной вависимости вида у=ах+Ь. Зависизюсть, изображенная на рис.
14.8.4, хорошо может быть предста влена полиномом второй степени у =ах'+ Ьх+с, Если У речь идет о периодической функции, часто можно выбрать для ее изображения несколько гарионик тригонометрического ряда и т, д. Очень часто бывает так, что вид зависимости (линейная. квадратичная, показа- ~ в-~ тельная и т. д.) бывает известен из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи, а из опыта требуется установить только некоторые параметры этой зависимости. Задачу о рациональном выборе таТаблица 14.8.1 ких числовых параметров при данном 354 ОБРАБОТКА ОПЫТОВ [ГЛ.
ы Решение этой задачи. как и любой задачи выравнивания или сглаживания. зависит от того, что именно мы условимся считать «наилучшим». Можно, например, считать «наилучшим» такое взаимное расположение кривой и экспериментальных точек, при котором максимальное расстояние между ними обращается в минимум; можно потребовать, чтобы в минимум обращалась сумма абсолютных величин отклонений точек от кривой и т. д.
При каждом из этих требований мы получим свое решение задачи, свои значения параметров а, Ь, с,... Однако общепринятым при решении подобных задач является так называемый метод наименьших квадратов, прн котором требование наилучшего согласования кривой у = р(х) и !й ! экспериментальных точек 1Ук сводится к тому, чтобы сумма квадратов откло[4[ ! лений экснерименталь! х ных точек от сглаживающей кривой обращалась Рис. 14УД5. в минимум. Метод наимень- ших квадратов имеет перед другими методами сглаживания существенные преимущества: во-первых, он приводит к сравнительно простому математическому способу определения параметров а, Ь, с, ...; во-вторых.
Он допускает довольно веское теоретическое обоснование с вероятностной точки зрения. Изложим это обоснование. Предположим, что истинная зависимость у от х в точности выражается формулой у=у(х); экспериментальные точки уклоняются от этой зависимости вследствие неизбежных ошибок измерения. Мы уже упоминали о том, что ошибки измерения, как правило, подчиняются нормальному закону.
Допустим, что это так. Рассмотрим какое-нибудь значение аргументах,. Реаильтат опыта сть слу 1айная Величина у "зспределенная нормальному закону с математическим ожиданием р(х[) и со средним квадратическим отклонением ан характеризующим ошибку измерения. Предположим, что точность измерения во всех точках одииакова: Тогда нормальный закон, по которому распределяется величина 1'и [у[-ч(кд)' у. (у,) е гм ° (1 4.8.2) в 'г'" 2ч нл] сглаживании экспевнмвнтлльных завнснмостеи 353 В результате нашего опыта †ря измерений — произошло следующее событие: случайные величины (У,.
Уа, ..., У„) приняли совокупность значений (ун у, ..., у„). Поставим задачу: так подобрать математические ожидания р (х,), р (ха), ..., н (х„). чтобы в е р о я тность этого события была максимальна'). Строго говоря, вероятность любого из событий Уг=уы так же как и их совмещения, равна нулю, так как величины Уь непрерывны; поэтому иы будем пользоваться не вероятностями событий 1' =у, а соответствующими элементами вероятно стерн [у~-т(ь )]' у,(у,)а'у,==в ьв аун (14.8.3) вУ 2п Найдем вероятность того. что система случайных величин Ун Уз, ..., У„примет совокупность аначений, лежащих в пределах (ур у,+йу,) (у=1, 2, ..., л).
Так как опыты независимы. эта вероятность равна произведению элементов вероятностей (14.8.3) для всех значений 1: 1 и [г1-т(ь)]' ~* 2',[гь-т("ь)]' 33 в з' Иу — Кв (14.8А) где К вЂ” некоторый коэффициент, не зависящий от р(хь). Требуется так выбрать математические ожидания у(х,), р(х3, . °, ..., р(х„). чтобы выражение (14.8.4) обращалось в максимум. Величина - —, ч1~ [у -т (х )]* в всегда меньше единицы; очевидно, она имеет наибольшее значение, когда показатель степени по абсолютной величине минимален: 1 сч 2...Г, [у~ — р(х,)]а = ш1п.
ь ь Огсюдщ о1брасыаая поглоянный множитель - —,—, получаем трсб"- 2оь ванне метода наименьших квадратов: для того чтобы данная совокупность наблюденных значений была наиверолтнейшей, нужно выбрать функцию р(х) так. чтобы сумма квадратов отклонений каблюдвнных значений уь от т(хь) была минимальной ~~ [уь — е (х,.)]т = ш] и. ь=1 856 ОБРАБОткА Опытов [ГЛ. 14 Таким образом обосновывается метод наименьших квздратов. исходя из нормального закона ошибок измерения н требования максимальной вероятности данной совокупности ошибок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
