Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 67
Текст из файла (страница 67)
~тс (~) (1 5.7.16) т. е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания. Следовательно, операцию дифференцирования, как и операцию интегрирования, тоже можно менять местами с операцией математического ожилания. Для определения К (г. К) перейдем к центрированным случайным функциям У(1) и Х(1)1 очевидно, Г(1) =— их (г) иг (15.7.17) По определению К,((, 1)=М[У(1) Г(Р)!. Подставим вместо г (1) и г (Р) их выражения: К,(1, Р)=д1'~",,' -'„,'; Представим выражение под знаком математического ожидания в виде второй смешанной частной производной: иХ(г) их(Р) агХ(Г) Х(г > (15.7.1 Е) др ин дг дР 7!ы доказали, что математическое ожидание производной случайной функции равно производной от математического огкидания, т.
е. ') Ск. сноску' ) на сто. 394. п.п лнпипныя пггозяазовлння сляпанных вкнкцип 397 анаки дифференцирования и математического ожидания можно менять местами. Следовательно, = лгат К (г г')' ('57'9) Таким образом, (15.7.20) К (~,1) дг др Итак, чтобы найти корреляционную функцию производной, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем— по другому.
Сравнивая правила нахождения математического ожидания и корреляционной функции для двух рассмотренных нами линейных однородных операторов, мы видим, что они совершенно аналогичны, а именно: для нахождения математического ожидания преобразованной случайной функции тот же линейный оператор применяется к математическому ожиданию исходной случайной функции; для нахождения корреляционной функции тот же линейный оператор применяется д в ажды к корреляционной функции исходной случайной функции. В первом частном случае это было двойное интегрирование, во втором — двойное дифференцирование.
Можно доказать, что такое правило является общим для всех линейных однородных операторов'). Мы здесь сформулируем зто общее правило без доказательства. Если случайная функция Х (1) с математическим ожиданием лг„(1) и корреляционной функцией К (1, 1') преобразуется линейным однородным оператором 5 в случайную функцию У(г) =5 (Х(Ф то для нахождения математического ожидания случайной функции у'(1) нужно применить тот же оператор к математическому ожиданию случайной функции Х(1): 'ш,(г)=5( г.(1)). (15.7.21) а для нахождения корреляционной функции нужно дважды применить тот же оператор к корреляционной функции случайной функции Х(1), сначала по одному аргументу, затем — по другому: К,,Ь, ь')=Ь 5 (К,(1, 1)1.
(15.7,22) В формуле (15.7,22) значки (Г), (1') у знака оператора Ь указывают, по какому аргументу он применяется. ') См., например, В. С. Пугачев, Теория случайных функций н ее арииеиение к задачам азтомазического управления, Физматгиз, 1960. 398 основнып понятия тяотии слтчлпных втнкнип 1гл.
ю Во многих задачах практики нас. в конечном счете. интересует не корреляционная функция Ку(С, 8') на выходе линейной системы, а дисперсия Р (г), характеризующая точность работы системы в условиях наличия случайных возмущений; Дисперсию 0 (г) можно найти, зная корреляционную функцию: Р„(1) =Ку(У.
У), (15.7.23) При этом нужно подчеркнуть, что, как правило, для определения дисперсии на выходе линейной системы недостаточно знать дисперсию иа ее входе, а существенно важно внать корреляционную функцию. Действительно, линейная система может совершенно по-разному реагировать на случайные возмущения, поступающие на ее вход. в аависимости от того. какова внутренняя структура этих случайных возмущений; состоят лн они. например, по преимуществу из высокочастотных или низкочастотных колебаний.
Внутренняя же структура случайного процесса описывается не его дисперсией, а корреляционной фукцней. Пример. На входдифференцирующегомеханизма поступает случайная функция Х(г) с математическим ожиданием ю (Г) ='з!иг н корреляционной функцией К„(йг) р,, «гу где Р» — постоянная дисперсия случайной функции х(г). Ойределить натемзтическое ожидание н дисперсию нв выходе системы. Р е щ е н н е.
Случайвзв функция 1'(() на выходе системы (реакция) связана с воздействием Х(Г) оператором дифференцирования: у (г) = — Х (г). и в'г Применяя общие праввла, имеем: в( юу (Г) = — юв (Г) = соз й Ку (Г г') Кв (Г Г ) = 2Р вв-в(н ьт [1 2а (и — Г)в). Полагая Е =С, имеем: Рв% =2Р а, или, замечая, что Ру (Г) не зависит от б Ру = 2Рув Итак, дисперсия иа выходе днфференцирующего механизма зависит не только от дисперсии р„на входе, но также и от коэффициента а, характеризующего быстротт затухании корреляционной связи между сечениями случайной функции х(г) йри возрастании промежутка межлу ними. если коэффициент а маз, корреляционная связь затухает медленно, случайнаа функция изменяется со временем сравнительно плавно, и, естественно, дифференцирование такой функции ириеодит к сравнительно малым ошибкам. Напротив, если коэффициент в зелик, корреляционная фувкция убывает быстро; в составе случайной функцки преобладают резкие.
беспорядочные 1Б.а! сложении сльчанных екнкцип 399 вмсокочастогиые колебашш; естественно, дифференцирование такой функцик приводит и большим случайным ошибкам. В таких случаях обычно прибегают и сглаживанию дифферевцируепоп функции, т. е. тзк меняют оператор системы, чтобы оп давал меньшие случайные ошибки па выходе.
15.8. Сложение случайных функций Во многих задачах практики мы встречаемся с тем, что на вход динамической системы поступает не одна случайная функция Х(1), а две или более случайные функции, кзждая из которых связана с действием отдельного возмущающего фактора. Возникает задача сложения случайных функций, точнее — задача определения характеристик суммы по характеристикам слагаемых. Эта задача решается злементарио просто, если две складываемые случайные функции независимы (точнее, некоррелированны) между собой.
В общем же случае для ее решения необходимо знание еще однсй характеристики — так называемой взаимной корреляционной функции (иначе — корреляционной функции связи). Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций Х(1) и Г()) называется неслучайная функция двух аргументов 1 и Ф'.
которая при каждой паре значений г, г' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции Х(1) и случайной функции У(1)а )1.,(~, У') = М (Х(1) У(Р)). (15.8.1) Взаимная корреляционная функция, так же как н обычная корреляционная функция, ие изменяется при прибавлении к случайным функциям любых неслучайных слагаемых. а следовательно, и пря центрировании случайных функций. Из определения взаимной корреляционной функции вытекает следующее ее свойство: )~.,( ')=Ю,.(1'. 1). (1 5.8.2) Вместо функции )с (~, 1') часто пользуются нормированной взаньшой коррсляцчонной функцией: г (Р г) пег(а Г ) (15.8.3) "у ' аа (Г) а (р) Если взаимная корреляционная функция равна нулю при всех значениях 1, 1', то случайные функции Х(1) и у(1) называются некоррелированными (несвязанными). На практике обычно суждение о некоррелпрозанности случайных функций составляют не на основании равенства нулю взаимной корреляционной функции, а, наоборот, взаимную корреляционную функцию полагают равной нулю на основании физических соображений, свидетельствующих о независимости случайных функций.
400 Основные понятия теОРии случАйных Функций [Гл. 1а Пусть, напоимер, два самолета обстреливагот наземную цель; обозначим Х(1), У(1) углы пикирования первого и второго самолетов в процессе выполнения боевой операции. Если самолеты заходят на цель поодиночке, естественно считать случайные функции х(1) и г (1) некоррелированными; если же маневр выполняется самолетами совместно, причем один из них является ведущим, а другой — ведомым, очевидно наличие корреляционной связи между фушсцнями Х(1) и у(1).
Вообще, если из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи, вытекает наличие зависимости между фигурирующими в задаче случайными функциями, то их взаимные корреляционные функции должны быть обследованы. Зная математические ожидания и корреляционные функции двух случайных функций Х(1) и Е(1), а также их взаимную корреляционную функцию, можно нзйтн характеристики суммы этих двух случайных функций: г(1) = Х(1)+ У(1). По теореме сложения матеъгатических ожиданий; т, (1) = т (1) + т (1), (15.8.5) т.
е. при слог«внии двух случайных фун«ций их математичес«ае ог«иданггя с«ладыеаются. .1(ля определения корреляционной функции К,(1, 1') перейдем к цгнтрированным случайным функциям а(1), х(1), г'(1). Очевидно, (15,8.6) а (1) = Х(1)+ г'(1). По определению корреляционной функции К, (1, 1') = М [2 (1) 2 (1')) = = Л4 [(Х(1)+ 3'(1) ) (Х(1')+ У(1') )) = - д4(Х(1) Л (1))+М(У(1) У(1)[-~-М(Х(1) У(1))+ М(Х(1) У(1)). или К (1, 1) =-К, (1, 1'1 — 'К, (1, 10- — О, [Л 1')-г- [7, „(", П. ([5.8.7) Формула ([5.8.7) аналогична формуле ([0.2.7) для дисперсии суммы случайных величин.
В случае, когда случайные функции Х(1) и г'(1) некоррелированны, )ТУУ(1, 1')==О, и формула ([5.8.7) принимает видг К, (г, 1 ) — Л л [1: 1 ) -[- Л у [г, 1 ), ([ 5.8.8) т. е. Лра слолсении негсоррелироеанных с.гучойных фун«ций их корреляционные фун«ции с«ладываготся. Выведенные формулы мо~ут быть обобщены на случай произвольного числа слагаемых.
Если случайная функцги Х(1) есть сумма я 801 СЛОЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 15 81 случайных функций: (15.8.9) (15.8.10) т. е. корреляционная функция суммы взаимно некоррелированных случайных функций равна сунме корреляционных функций слагаемых. Формула (15.8.12) аналогичнз теореме сложения дисперсий для обычных случайных величин. Частным случаем сложения случайных функций является сложение случайной функции со случайной величиной. Рассмотрим случайную функцию Х(1) с характеристиками т„(Е) и Кл(г, !') и случайную величину г' с математическим ожиданием т„ и дисперсией 1:уу Предположим, что случайная функция Х(1) и случайная величина г' некоррелированны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
