Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 69
Текст из файла (страница 69)
х-у!((/ При решении практических задач значительно чаше применяются другие методы, приводящие к бо- Рис. 16.1.1, лее простым преобразованиям. Один из них — так называемый метод кинонических разложений, разработанный В. С. Пугачевым, и составляет содержание данной главы. Идея метода канонических разложенлй состоит в том, что случайная функция, над которой нужно произвести те или иные преобразования, предварительно представляется в виде суммы так называемых элементарных случайных функний. Элементарной случайной функцией называется функция вида: Х (г) = )гав (!), (1 6.1.3) где (г — обычная случайная величина, о (() — обычная (неслучайная) функция.
Элспск!ариал сии!г'ч а ф . пгщ лэч"етс. нтчбо..ее лоос.ын типом случайной функции. Действительно, в выражении (16.1,3) случайным является только множитель И, стоящий перед функцией у((); сама же зависимость от времени случайной не является. Все возможные реализации элементарной случайной функции Х(Г) могут быть получены из графика функции х=э(1) простым изменением масштаба по оси ординат (рнс.
16.1.1). При этом ось абсцисс (х ' О) также представ.п!е! собой одну !ю ьозмо!кных реализаций случайной функции Х(г), осуществляющуюся, когда случайная величина 1' принимает значение 0 (если это значение принадлежит к числу возможных аначений величины И). 403 кАнонические РАзлОжения случаииых Функции [гл. [а В качестве примеров элементарных случайных функций приведем функции Х([) =1/з[пЮ (рис. !6.1.2) и Х(Г) =)гтз (рис.
16.1.3). Элементарная случайная функция характерна тем, что в ней разделены две особенности случайной функции: случайность вся сосредоточена в коэффициенте )г, а зависимость от времени — в обычной функции ~Р (г). ~! Рнс. 16.!.2, Рис. 16.1.3. Определим характеристики элементарной случайной функции (16.1.3). Имеем: т (1) = Л! !1'~ (Г)) = т,~1(1), где и[, †математическ ожидание случайной величины 1'. Если т„ =О, математическое ожидание случайной функции Х (!) также равно нулю, причем тождественно: т (Г)==0. Мы знаем, что любую случайную функцию можно центрировать, т.
е. привести к такому виду, когда ее математическое о[кидание равно нулю. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать то л ь к о центр ированные элементарные случайные функции. лля которых т„=0; Ъ' =.-1'; и (г)==0. Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции Х(!). Имеем: К (1, г') = л!1х(1) х([')1 = — и(г) <р(г') м(ь"-1 = <р(1) р(1') !), где Π— дисперсия величины Ь'.
Над элементарными случайными функциями весьма просто выполняются всевозио кные линейные ппеобргзования. Например, проднфференцнрусм случайную функш!ю (16.! 3). Случайная ветичина 1', не зависящая от 1. выйдет за знак производной, и мы получим: Х' (Г) = [Уе' (Г). пгвдстлвлвннв слэчапноп Фэнкцнн в вндв сэммы 409 1Б и Лналогично ~ Х(т)йт=И ) у(т) йт. Х(Е)=т (1)+ ~ $~р;(1), г=г где (г,— случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, ~7;(1) — неслучайные функции, тх(1) — математическое ожидание функции Х(1). Условимся называть представление случайной функции в форме (16.1.6) разложением случайной функции. Случайные величины $'и Рз, ..., 1' будем называть коэффициентами разложения, а неслучайные функции у,(1), уз(1), ..., у (1) — координатныви функциями.
Определим реакцию линейной системы с оператором Л на случайную функцию Х(1), заданную в виде разложения (16.1.6). Известно. что линейная система обладает так называемым свойством суперлоэиции, состоящим в том, что реакция системы на сумму нескольких воздействий равна сумме реакций системы на каждое отдельное воздействие. Действительно, оператор системы 7., будучи линейным, может, по определению, применяться к сумме почвенно. Обозначая Г(г) реакцию системы на случайное воздействие Х(г), имеем: Г (О = Л (Х (Г)) = Е (т„(1)] + ~а Ьг~Ь «Р, (Г)).
(16.! . 7) (16.1.6) о о Вообще, если элементарная случайная функция (16.!.3) преобразуется линейным оператором 5, то при этом случайный множитель И. как не зависящий от ~, выходит за знак оператора, а неслучайная функция у(!) прео5разуется тем же оператором Е: Е, [Х (1)) = Ь'7. «у (1)). (1 6.1.4) Значит, если элементарная случайная функция поступает на вход линейной системы, то задача ее преобразования сводится к простой задаче преобразования одной неслучайной функции у(1), Отсюда возникает идея: если на вход динамической системы поступает некоторая случайная функция общего вида, то можно ее представить— точно нли при5лиженно — в виде суммы элементарных случайных функций и только затем подвергать прео5разозанию. Такая идея разложения случайной функции на сумму элементарных случайных функций н лежит в основе метода канонических разложений.
Пусть имеется случайная функция: Х(1) =т,(!)+Х(!). (16.1.5) Лопустим, что нам удалось — точно или приближенно — представить ее в виде сувгмы 410 «Анонические РАзлОжения случАйных Функций 1гл. 1е Приладим выражению (16.1.7) несколько иную форму. Учитывая общее правило линейного преобразования математического ожидания, убеждаемся. что ~ !тл (')1 ту(1)' Обозначая Е 17! (1)1 = ф (1).
имеем: У(1) = ту(О+ ч );ф,(1). (1 6.1.8) 1=1 Выражение (16.1.8) представляет собой не что нное, как разложение случайной функции У(Г) по элементарным функциям. Коэффициентами этого разложения являются те же случайные величины ~l1, ~'г, ..., )Уы, а МатЕМатнЧЕСКОЕ ОжИДаНИЕ И КООРДИНатНЫЕ ФУНК- ции получены нз математического ожидания и координатных функций исходной случайной функции тем же линейным преобразованием Е, какому подвергается случайная функция Х(1). Резюмируя, получаем следующее правило преобразования случайной функции, заданной разложением.
Если случайная функция Х(1). заданная разложением по элементарным функциям, подвергается линейному преобразованию Ь, то коэффициенты разложения остаются неизменными. а математическое ожидание и координатные функции подвергаются тому же линейному преобразованию Е. Таким образом, смысл прелставления случайной функции в виде разложения сводится к тому, чтобы свести линейное преобразование случайной функции к таким же линейным преобразованиям нескольких неслучайных функций — математического ожидания и координатных функций.
Это позволяет значительно упростить решение задачи нахождения характеристик случайной функции У(1) по сравнению с общим решением, данным в и'15.7. Действительно, каждая из неслучайных функций Л1„(г), 71 (1). 1 я(1)..., „1у' (1) в данном случае преобразуется только о д и н р а з в отличие от корреляционной функции К„(1, 1'). которая„согласно общим правилам, преобразуется д в а ж д ы. 16.2. Каноническое разложение случайной функции Рассмотрим случайп) ю функци1о Х(1), заданную рвало!«гнием Х (1) = т, (1) + ~, )ср!(1), ;=1 где коэффициенты (У1, 1'ю ..., У представляют собой систему случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю и с корреляционной матрицей )~К,"1~.
1а.и ЕАноническое РАзложение слУчАНИОи ФУнкции 411 Найдем корреляционную функцию и дисперсию случайной функции Х(г). По определению кк(е г )= м(х(1) х(г')1, (16.2.2) где Х(г) = Х)г;р (г) (16,2.3) Х(1) (16.2 4) В формуле (16.2.4) инлекс суммирования обозначен буквой,/. чтобы подчеркнуть его независимость от индекса суммирования 8 в формуле (16.2.3).
Перемножая выражения (16.2.3) и (16.2.4) и применяя к произведению операцию математического ожидания, получим: Кк (Г ~') = М~Х 1'РР1(Г) Гу(Г')1= с~ Л41)ко) 91(Г) ру(Г') (16 2 9 [1, 1 ну где суммирование распространяется на все пары значений 1, г' — как равные. так и неравные. В случае, когда 1=,/, ММУ)=ММ=К =Рн где Р1 — дисперсия случайной величины У1.
В случае. когда 1~/, М (Р,.)г,) = К„, где К1~ — корреляционный момент случайных величии Ъ'1, )кд Подставляя зти аначения в формулу (16.2.6), получим выражение лля корреляционной функции случайной функции Х(Г), заданной разложением (16,2.1): Полагая в выражении (16.2.6) Г'=Г, получим дисперсию случайной функции Х(1)1 Р (г) = Фа(1г1 (1))т Р1 + ~л' р1 (г) Р) (г) К11 (1 6,2.
1) 1=1 1.к 1 412 клноннчвскнв глзложвння слгчлпных Функ<в<Я пл. <в Очевидно, выражения (16.2.6) и (16.2.7) приобретзют особенно простой вид, когда все коэффициенты )г< разложения (16.2.1) некоррелированны, т. е. Кы — О при 1+ 7. В этом случае разложение случзйной функции называется «каноническим». Таким образом, каноническим рпзлоз<еениел< случайной функции Х(!) называется ее представление в виде; (16.2.8) где жл (!) — математическое ожидание случайной фу«кции; <е< (<), <уз(Г), ..., Т„(Г) — коорлинатные функции, а Ъ'<, )гв, ..., Ъ',„— некоррелированпые случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю.
Если задано каноническое разложение случзйной функции, то ее корреляционная функция К„(г, К) выражается весьма просто. Полагая в формуле (16.2.6) К„ = О при < ~,у', получим: (1 6.2.9) Выражение (16.2.9) называется каноническим разлолсением корреляционной <7<униции. Полагзя в формуле (16.2.9) 1'=1, получим дисперсию случайной функции П„(!) = ~(Т,(Г))вон (1 6.2.! 0) Таким образом, зная каноническое разложение случайной функции Х(<), <<ажно сразу найти каноническое разложение ее корреляционной функции.
Можно доказать, что обратное положение тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разложение корреляционной функции (16.2.9), то для случайной функции Х(г) справедливо каноническое раззожение виза г!6.2.8) с коорлшютнымп ф) кцгя гн <!« ) я ко <в<рви сн<амн К< с дисперсиями 0;. Мы прицел< это положение без специального доказательства'). Число членов канонического разложения случайной функции может быть не только конечным, но и бесконечным.
Примеры канонических разложений с бесконечным числом членов встретятся нам в главе 17, Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интееральные канонические предел<пеленал случая«ых функций, в которых сумиа заменяется интегралом. ') Локазательство с», В. С. Пугачев, Теория случайных функций н ее нр»»е <с»по в ззззчзк аз<о<<зткчсского 1:рсва <ыя, Ф <зк<в<гнз, !96Л КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 413 Канонические разложения применяются не только для действительных, но и для комплексных случайных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
