Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 72
Текст из файла (страница 72)
При выполнении расчетов на счетной машине или ариф- и — 1' мометре промежуточные результаты умножений не записываются, а непосредственно суммируются '). Полученная таким способом корреляционная матрица системы случайных величин Х(0), Х(0,4), ..., Х(2,4) — она же таблица значений корреляционной функции К '(Г, 2') — приведена в таблице 17,1,2. Таблица Пйе2 12.1! понятие о стлпнондрном слкчднном процессе 425 Извлекая из этих величин квадратные корни, найдем зависимость среднего квадратического отклонения е от времени: 0,8 1,2 0,485 0,470 1,6 2,0 2,4 0,49! 0,519 0,536 0,4 э (Г) 0,488 Деля значения, стоящие в табл.
17.1,2, на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, получим таблицу значений нормированной корреляционной функции г (й Н) (табл. 17.1.3). Таблица 171.3 « 1,2 2,Е ед о,а 1,Э 1 0,700 0,405 0,241 — 0,053 1 0,856 0,707 0,345 1 0,943 0,643 1 0,829 1 0,090 0,095 0,390 О,ЗИ 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 0,612 0,524 0,923 0,650 1 0,760 ! Перейдем к построению нормированной корреляционной функции того стационарного процесса, которым можно заменить случайную функцию Х(Г). Для стационарного процесса корреляционная функция (а значит, и нормированная корреляционная функция) зависит только от т = Н вЂ следовательно, Проанализируем полученные данные под углом зрения предполагаемой стационарности случайной функции Х (Г).
Если судить непосредственно по данным, полученным в результате обработки, то можно прийти к выводу, что случайная функция х (г) стационарной не являетси; ее математическое ожидание не вполне постоянно; дисперсия также несколько меняется со временем; значения нормированной корреляционной функции вдоль параллелей главной диагонали также не вполне постоянны. Однако, прпнимая во внимание весьма ограниченное число обработанных реализацйй (л = 12) н в связи с этим наличие большого элемента случайности в полученных оценках, эти видимые отступления от стационарности вряд ли можно считать значимыми, тем более, что онн не носят сколько-нибудь закономерного характера.
Поэтому вполне целесообразной будет приближенная замена функции Х (Г) стационарной. Для приведения функции к стацяонарной прежде всего осредним по времени оценки дли математического ожидания: тх (0) (- тх (О 4) + ... + лгх (2 4) 7 Аналогичным образом осредним оценки для дисперсии: о )хх(0)+ххх(0,4)+ ... +Ох(2,4) 0236 7 Извлекая корень, найдем осредиенную оценку с. к. ол эх = 0486 стлиионлпнын слгчлиныа вкнкиии 1гл, н прн постоянном т корреляционная функция должна быть постоянной. В таблице 17.1.3 постоянному т соответствуют: главная диагональ (2 =0) и параллели этой диагонали (т = 0,4; т = 0,8; т = 1,2 и т, д.), Осредняя оценки нормированной корреляционной функции вдоль этих параллелей главной диагонали, получим значении функции Р„(2): 0,8 1,2 0,60 0,38 2,0 1,6 0,4 Рк (т) — 0,10 0,13 0,84 1,00 ! 6 ! 1,6 ( 1 0 ) 2,9 2.2 2.6 ! О 9,2( 96 0.6 0,6 ) 1.О 1.2 1 а21-96~ 02~9\~029)006 ! ;,22 160 6261002~921~ — 906~~~-ЬО~ 1 График функции р„(Ф) представлен на рис.
17.1.8. Из сравнения графиков рис. 17.1.8 и 17.1.6 видно, что корреляционная функции, изображенная График функции Р„(2) представлен на рис. 17.1.6. При рассмотрении рнс. 17.!.6 обращает на себя внимание наличие для некоторых т отрицательных значений корреляционной функции. Это указывает нэ то, что в структуре случайной функции имеется некоторый элемент периодичности, в связи с чем на расстоянии по времени, равном примерно половине периода основных коле- пп баиий, набаюдается отрицательная ру корреляция между значенияии случайной функции: положительным отклонениям от среднего в одном сечении соответствуют отрицательные отклонения через определенный промежуток времени, и наоборот. Такой характер корреляционной функции, с переходом на отрицательные значения, очень часто встречается на практике.
Обычно 11 г у в таких саучаях по мере увеличения т ампаитуда колебаний корреаяционной фуякцни уменьшается н прн дальнейшем увеличении т Рис. 17.1.6. корреляционная функция стре- мится к нулю. П ри мер 2. Случайная функция Х(Ф) задаяа совокупностью 12 своих реализаций (рис. 17.1.7). Приближенно заменив функцию Х(Г) стацмонарной, сравнить ее нормированную норреляционную функцию с фупицией Р (2) предыдущего примера. решен не. Так как случайная функция Х(г) отличается значительно менее плавным ходом по сравнению с фуикпней Х(Г) предыдущего примера, проме2куток мсжту сбчениячи 12кг нсп Оя брзт2 1 ь2:Ои: 0 (',2;16, лю.
в ирдыдущем примере, а следует взять по крайней мере вдвое меньше (например, 0,2 сек, как на рис. 17.1.7). В результате обработни получаем оценку для нормированной корреляционной функции Р (2): спнктзлльнов влзложнпнв нл конвчном зчлсткн 427 тт.з! убывает значительно быстрее. Это и естественно, так изменения фучкции Х1г! в примере 1 гораздо более на рнс, 17,1Я, как характер ргр! 1 ! ! 3 й Ге й г, й гс плавный и постепенный, чем в примере 2; в связи с зтнм корреляции между значениями случайной функции в примере 1 убмвает медленнее. Прн рассмотрении рис. 17,1.Й бросаются в глаза незакономерные колебания функцки рг(г) для боль- 4Р шихзначений т. Так как при больших зна~ениях ч точки графика полуучены осреднеиием сравнителыш очень небольшого числа данных, их иельза считать надежными.
В подобных случаях имеет смысл сгладить коррелициоииую функншо, как, например, показано пунктиром иа рис. 17.1.з. П.й. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий Рис. 17.1.8 На двух примерах, приведенных в предыдущем н', мы наглядно убедились в том, что существует связь между характером корреляционной функции и внутренней структурой соответствующего сй случайного процесса. В зависимости от того, какие частоты н . ° Рис, 17,1,7, з;Э .сй7 Ю ду зМ Лглу лг7Г! хгто ч777 лгтг! ггг згтг) 1 хл!П !е 423 стАННОИАРныи случАнныв Функции (гл. тт в каких соотношениях преобладают в составе случайной функции, ее корреляционная функция имеет тот или другой вид.
Из таких соображений мы непосредственно приходим к понятию о спектральном составе случайной функции. Понятие «спектра» встречзетсч не только в теории случайных функций; оно широко применяется в математике, физике и технике. Рис. 17.2.1. Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник»), то спектром колебательного процесса называется функция, описываюшая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.
Совершенно аналогичное спектральное описание можно дать и стационзрному саучайному процессу; вся разница в том, что для случайного процесса ампли- туды колебаний будут случайными величинами. Спектр стационарной случайной функции будет описывать распределение дисперсий по различным частотам. Подойдем к понятию о спектре стационарной Рлс 179~ сл; Ы1ншй фуш ции ьз следуюших соображений. Рассмотрим стационарную случайную функцию Х(1), которую мы наблюдаем на интервале (О, Т) (рнс.
17.2.1). Задана корреляционная функция случайной функции Х(1) Х,(1 Г+т)=Д,,(т) Функция д„(т) есть четная функция: д,(т) = д„( — ) и, следовательно, на графике изобразится симметричной кривой (рис. 1 7.2.2). спектвлльное влзложение нл конечном эчастке 429 1тл! При изменении 1 и 1' от О до Т аргумент о =К вЂ” ~ изменяется от — Т до +Т. Мы знаем, что четную функцию на интервале ( — Т, Т) можно разложить в ряд Фурье, пользуясь только четными (косннусными) гармониками: СО А (т)= ~ В„созв,ю о=о 2ч ч 2Т Т' (17.2.3) Имея в виду, что функции 7о (т) и соя в„т четные, можно преобразовать формулы (17.2.3) к виду: (17.2.4) Перейдем в выражении (17.2.1) корреляционной функции й„(т) от аргумента т снова к двум аргументам 1 и 1'. Для этого положим созв„т=созв~(К вЂ” 1)=сов в~С'созв~1+з!пв„1'з!пв Е (1725) и подставим выражение (!7.2.5) в формулу (17.2.1): Кл(11)~о(Оо соя во(соева)+Оаз!Пва151пво()(1726) а=о Мы видим, что выражение (17.2.6) есть не что иное, как каноническое разложение корреляционной функции К (т, 1).
Координатными функциями этого канонического разложения являются попеременно косинусы и синусы частот, кратных в,: созе,:,1, э!и ог (й =О, 1, ...). а коэффициенты Е>о определяются формулами: Е)~= — ! А„( )И~, -т 1)о — — Т ! 2„(т) соя ватле при (о Ф О. Т -т 7).= —,,! й.()7, 1 Т т 7)„= — ! (г (т)созвото(т при нные. 2 Р о (17.2.
1) (17.2.2) 4ЗО стАцИОНАРные СЛУЧАйные ФУНКции [ГЛ. 1т Мы знаем, что по каноническому разложению корреляционной функции можно построить каноническое разложение самой случайной функции с теми же координатными функциями и с дисперсиями, равными коэффициентам Р„в каноническом разложении корреляционной функции '). Следовательно, случайная функция Х (1) может быть представлена в виде канонического разложения: СО Х(1) = ~ (Ра соз Фа[+ а'ь з[п Фь[), (17.2.7) ь=о где Рь, Ъ'ь — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом й: Р (([ь) = Р 1)сь[ = Р,. (17.2.8) Дисперсии .Рь при различных я определяется формулами (17.2.4).
Таким образом, мы получили на интервале (О, Т) каноническое разложение случайной функции Х (г), координатными функциями котоРого ЯвлЯютсЯ фУнкции созюьт, з[пюаь' пРИ Рлаличных юь. Разложение такого рода называется спентральным разложением стационарной случайной функции. На представлении случайных функций в виде спектральных разложений основана так называемая спектральная теория стационарных случзйных процессов, Спектральное разложение изображает стационарную случайную функцию разложенной на гармонические колебания различных частот: Ф1 Щг ' 1ьь причем амплитуды этих колебаний явлнютса случайными величинами.
Определим дисперсию случайной функции х(1), заданной спектральным разложением (17,2.7). По теореме о дисперсии линейной функции некоррелировютых слука[Рных в личин Р, = Р(Х ([)) = ~г (соко Фа[+ з1пгюь[) Рл = ~~' Р». (17.2.9) ь=о *=о Таким образом, дисперсия стационарной слуиайной функции равна сумме дисперсий всех гармонин ее спектрального разложения. Формула (17.2.9) показывает, что дисперсия функции Х[1) ') можно доказать, что для любой корреляционной функции л„(т) коэффикиснты Тойе выРажаеиые фоРнУлани (17осс[), ноо~ркчэтоьькы.
тт,я спектеальное тазложение нл весконечном хчлстке 431 известным образом распределена по различным частотам: одним частотам соответствуют ббльшие дисперсии, другим — меньшие, Распределение дисперсий но частотам можно проиллюстрировать графически в виде так называемого слеклгра стационарной случайной функции (точнее — спектра дисперсий). Для этого по оси абсцисс откладываются частоты вз = О, мн мя,..., мю..., а по оси ординат †соответствую- Рис. 17.2,3. щие дисперсии (рис. ! 7.2.3).
Очевидно, сумма всех ординат построенного таким образом спектра равна дисперсии случайной функции, 17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции Строя спектральное разложение стационарной случайной функции Х(г) на конечном участке времени (О, Т), мы получили спектр дисперсий случайной функции в виде ряда отдельных дискретных линий, разделенных равными промежутками (так называемый «прерывистый» или «линейчатып» спектр). Очевидно, чем ббльший участок времени мы будем рассматривать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
