Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 68
Текст из файла (страница 68)
е. при любом ! М [Х(г) Ц = О. Слоуким ель наину ю фенкщпо Х(Г) со слюгайной велич .....и 1', получим случайную функцию г. (г) = — Х(1)+ !'. Определим ее характеристики. Очевидно, лг: (1) огл (~) + лак (1 5.8.!4) Чтобы найти К,(1, Р), пользуясь теоремой сложения корреляцион- ных функций (15.8.8), рассмотрим случайную величину у как частный случай случайной функции, не меняющейся во вреиени, и наплел» ее корреляционную функцию: у ) — г (у (о 1 у()) л= ',11)"-) =- 1) .
(15 8.15) 26 Е. С. Венелель Х(1).= Х Х,(). то ее математическое ожидание выражается формулой т (г) = ~„т (г), е=у а ее корреляционная функция — формулой К (1, Р) = ~~'., К,(г, 1')+ ~е Ялл (1, 1'), (15.8.11) е~/ где суммирование распространяется на все возможные размещения индексов ! и у' попарно. В случае, когда все случайные функции Х,(!) некоррелированны, формула (15.8.! 1) превращается в теорему сложения «орреляцио»- ных функций: К. (1, !') = Х к.,(1, г').
(15.8.12) 402 основныв понятия твооин сляпанных вкнкцнп ггл. 1в Применяя формулу (15.8.8), получим~ К,(1, 1) =К,(Е. ~')+В,, т. е. при прибавлении к случайной функции некоррелированной с нею случайной величины к корреляционной функции прибавляется постоянное слагаемое, равное дисперсии втой случайной величины. 16.9. Комплексные случайные функции / При практическом применении математического аппарата теории случайных функций часто оказывается удобным записывать как сами случайные функции. так и их характеристики не в действительной, а в комплексной форме. В свя- У зи с этим необходимо дать определение комплексной случайной величины и комплексной случайной функции.
Комплексной случайной величиной называется случайная величина вида: 2 = Х+1)'. (15.9.1) где Х, 1' — действительные случайные величины; 1=')à — 1— мнимая единица. Рвс. !5.9.1, Комплексную случайную ве- личину можно геометрическл интерпретировать как случайную точку 2 на плоскости кОу (рис 15.9.1). )аля того чтобы аппарат числовых характеристик был применим н к комплексным случайным величинам, необходимо обобщить основные понятия математического ожидания, дисперсии н корреляционного момепга пл сл) чай ьзпплспсцых с В'юйпых ьслпчпл.
сл юьнлно, э~л обобщения должны быть сделаны так, чтобы в частном случае, когда К=О и величина Л действительна, они сводились к обычным определениям характеристик действительных случайных величин. Математическим ожиданием комплексной случайной величины Л=Х+гг называется комплексное число и.
= т + 1тго (15.9.2) Это есть некоторое среднее значение величины Е илп, геометрически, средняя точка т„, вокруг которой происходит рассеивание случайной точки 2 (рис, 15.9,1). КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ФУНКЦИИ !3 91 Дисперсией комплексной случайной величины называется математическое ожидание квадрата модуля соответствующей Нентрировинной величины: Р, =М[ф[а[ (15.9.3) где Е= Х вЂ” т,.
Геометрически дисперсия компленсной случайной величины есть не что иное, как среднее значение квадрата расстояния от случайной точки л до ее математического ожидания т, (рнс. 15.9.1). Эта величина характеризует разброс случайной точки с. около ее среднего положения. Выразим дисперсию комплексной случайной величины через дне персии ее действительной и мнимой частей. Очевидно, с. =с. — т,=Х+(У вЂ” т — (т =Х+1У1 отсюда Р, = М [ [с. [Т[ = М [Хт+ Ут[ = М [Хт[+ М [Ут[ или Р,=Р„+Р, (15.9.4) т, е. дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей.
Из самого определения дисперсии следует, что дисперсия комплексной случайной величины всегда действительна и существенно положительна. Обращаться в нуль она может только в случае, если величина Е не случайна. Данные выше определения математического ожидания и дисперсии, очевидно, удовлетворяют поставленному требованию: при У=О и 2 = Х онн превращаются в обычные определения математического ожидания и дисперсии действительной случайной величины. Попытаемся построить аналогичное определение корреляционного момента двух комплексных случайных величин Е, и Еа: 2, = Х, + (У,; Е, = Х, +(УН (15.9.5) Это определение, очевидно, должно быть построено так, чтобы при 7,=Ля=-2 корреляционный момент обращался в дисперсию величины л.
Оказывается, этому требованию нельзя было бы удовлетворить, если бы мы, как в случае действительных величин, назвали корреляционным моментом математическое ожидание произведения л,ла. Нетрудно убедиться, что при Л, =ля =л математическое ожидание такого нронззеденкв оудет не действительным. а комплексным, т. е. уже не дает дисперсии, которая, согласно определению, действительна н существенно положительна. Этого не будет, если назвать корреляционным моментом математическое 26" 404 ОснОВные пОнЯтиЯ теОРии слУчАйных ФУнкций [гл Б ожидание произвеления 7, не на самую величину лз, а на соответствующую ей комплексную сопрялсеккую величину: л, = Ха — [[;. (15.9.6) Тогда при л,=л,=л корреляционный момент, очевидно, обратится в дисперсию величины л: К„=М[(Х+[г)(Х вЂ” [у)[=М[Хз[+Мр [=В,.
(159,у) Таким образом, целесообразно дать следующее определение корреляционного момента двух комплексных случайных величии л, и лт: Кюх, = М [2~ А[ (15.9.8) где чертой наверху обозначается комплексная сопряженная величина. Выразим корреляционный момент двух комплексных случайных величин через корреляционные моменты их действительных и мнимых частей, Имеем: К,,„= М [7~2~[= М[(Х, +П',)(Х вЂ” [у)[ = = Ккх, + Ку,у, +1(Ку,х, — Кк,у,) (15 9.9) где К . о Ку,у,, Ку,х„Кху, — соответственно корреляционные моменты величин (Хо Хз), ()кр у'з); (Рн Ха), (Х,, )'а). Очевидно, в случае, когда все эти величины между собой не коррелированы, корреляционный момент величин лг, лз также равен нулю. Таким образом, определения основных характеристик комплексных случайных величин отличаются от обычных определений аналогичных характеристик для действительных величин только тем, что: 1) в качестве дисперсии рассматривается не математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины, а математическое ожидание кеадрапга ее модуля; 2) в качестве корреляционного момента рассматривается не математическое ожидание произволения центрировзнных величин.
а матекаточсскос оющснне пронзесдсшщ однон це»грированной величины на комплексную сопряукеккую другой. Перейдем к определению комплексной случайной функции и ее характеристик, Комплексной случайной функцией называется функция вида: л([) = х([)+ [у([), (15.9.! О) где Х(г), )к(1) — действительные случайные функции. Математическое ожидание комплексной случайной функции (15.9.10) равно: (15.9.11) 405 КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ФУНКПНН 19 91 2(Г) = 2(Г) — лт,(Г) = Х(1)+ау((), (159.15) Из определения (15,9.12) видно, что дисперсия комплексной случайной функции действительна и неотрицательна, Из формулы (15.9.4) следует, что дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей: )~.
(!) = О. (г)+!~у (!). Корреляционная функция комплексной случайной функции определяется как корреляционный момент ее сечений 1 и !'. К (Ф, 1') = Л4 (2 (8) Е (г')1, (15.9.15) (15.9. 14) где л. (!') = Х (~') — 1Г (С') — комплексная величина, сопряженная величине л. (1'). При !'=! корреляционная функция, очевидно, обращается в дисперсию: К*И О=О.(~) (1 5.9.16) Пользуясь формулой (15.9.9), можно выразить корреляционную функцию комплексной случайной функции через характеристики ее действительной и мнимой частей.
Рассматривая в качестве случайных величин л., и 29, фигурирующих в втой форму.че, сечения случайной функции Я(1) и л(!'), получим: К,(8, Ф) =К„(Ю, 1)+ К. (1, Г)+ ! (Ял~ (!', 1) — Й„у ((, ()), (15.9.17) где ус' у(1, г') — взаимная корреляционная функция случайных функУги Х ( ) и 1 (.) (Уыйс.зителыюй .' «ихой 'ыс'.ы слу'ы!Пш«функ" ции л.
(~)). В случае, когда лействительная и мнимая части случзйной функции не коррелированы (уг (г, К)=0), формула (15.9.17) имеет вяд: Ка(! ~')=Куй ~')+КУР у')' (!5'9'!5) В дальнейшем изложении мы будем пользоваться как действительной, так и комплексной формой записи слуучзйных функций. В последнем случае мы будем всегда оговаривать зто. дисперсия комплексной случайной функции у.'!Г) определяется как математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной функции: О, (!) = Л4 [ ~ 2 (() (91, (1 5.9.12) где ГЛАВА 16 КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 16.1. Иден метода каионическик разложений.
Представление случайной функции в виде суммы влементарных случайных функций В и' 16.7 мы познакомились с общими правилами линейных преобразований случайных функций. Эти правила сводятся к тому, что при линейном преобразовании случайной функции ее математическое ожидание подвергается тому же линейному преобразованию, а корреляционная функция подвергается этому преобразованию дважды: по одному н другому аргументу. Правило преобразования математического ожидания очень просто и при практическом применении затруднений не вызывает.
Что касается двойного преобразования корреляционной функции, то оно в ряде случаев приводит к чрезвычайно сложным и громоздким операциям, что затрудняет практическое применение изложенных общих методов. Действительно, рассмотрим, например. простейший интегральный оператор: у (г) = ~ Х (с) ~й. е (16.1.1) Очень часто бывает, что полученная из опыта корреляционная функция К (Е 1') не имеет аналитического выражения и задана таблично; тогда интеграл (16.1.2) приходится вычислять численно, определяя его как функцию обоих пределов.
Это — задача очень Согласно общему правилу корреляционная функция преобразуется тем же оператором дважды: К ($, т') = ~ ~ К„ (е, с') Фс Ж'. (16.1.2) а о !з.п пэядстлвления слгчлпнои екнкции в вида скммы 407 громоздкая и трудоемкая. Если даже аппроксимировать подынтегральную функцию каким-либо аналитическим выражением, то н в этом случае чаще всего интеграл (16.1.2) через известные функции не выражается. Так обстоит дело даже при простейшей форме оператора преобразования. Если же, как часто бывает, работа динамической системы описывается дифференциальными уравнениями, решение которых не выражается в явной форме, задача об определении корреляционной функции на выходе еше более осложняется: я!с!' она требует интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными. В связи с этим на практике применение изложенных общих методов линейных преобразований случайных функций, как правило, оказывается слишком сложным и себя не оправдывает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
