Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 71
Текст из файла (страница 71)
17.12, ционарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания осн прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела на неподви>кную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер. Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии — с 'так называемого «переходного процесса».
После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессь>. протекзюп>не з и;и, ь>о» т счнтс«ьс- с >,щчонср«:.:ип. Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестацнонарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестацнонарных.
В связи с этим на практике получила широкое применение специальная тео)>ня с>ннкноннг'ных случайных яуоцессол, плн, точнее, теория сталионарных случайных 1буннйий (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе, ИОнятив О стлционАРном случАйнОм ПРОцессв 421 Случайнаи функция Х(!) называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от Г (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов.
от которых онн зависят, по оси Г). В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такимн вероятностными характеристиками. как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия н корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик, Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным: лг, (е) = Ач = сопя !.
(17.1.!! Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции Х(!) всегда можно перейти к центрированной случайной функции Х (!), для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и. следовательно, удовлетворяет условию (!7.1.!). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не помешает нам изучать его как стационарный процесс. Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, †э условие постоянства дисперсии: Аг (г) =0 =сопя!. (17.!.2) Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции.
Рассмотрим случайную функцию Х(!) (рис. 17.!.3). Положим в выражении К„(1, г') г' = г+ т и рассмотрим К (К !+т) — корреляционг х© ный момент двух сечений случайной функции, разделен-,' , '/ !.4, ных интервалом времени ч. ! ' 7, ',,' 1Р, -т ' Очевидно, если случайный, г т Г т(„,г' ',г г, т' I процесс Х(Г) действительно чГ с ' е'а~ еч, тс этог корреляционный момент не должен зависеть от того, г д е именно на оси ОГ мы взяли участок т, а должен зависеть только от длин ы этого участка, Например, для участков I и П на рис.
17.1.3, имеющих одну и ту же длину т, значения корреляционной функции К,(! Г+т) и К,(гн 1,+т) лолжны быть одинаковыми. Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от и о л о >к е н и я ! первого аргумента на осн абсцисс, а только от п р о м ежу тк а т между первым н вторым аргументами: К, (1, ! + Т) = !г, (т).
(17.1.3) 422 стдционаиныи слкчлпныв отнкции 1гл. !т Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух. а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случая!ь вильно уцрощяат, операции над стационарцыми случайными, функциями.
Заметим, что условие (17.1.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (17,1,3). Действительно, налагая в формуле (17.1.3) (+с =. ! 7), (г) =К„(1, ~) =А„(О) =. (17.1.4) таким образом, условие (17.1.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция. Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов ! и !', а только от разности * между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции. Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии: Кг(! ~) Кх() О Отсюда для стационарного процесса, полагая р — ! = т, имеем: Рис.
17.1.4 А (т) =А ( — т), (17.1.5) т. е. корреляционная функция А (т) есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рис. 17.1.4). На практике, вместо корреляционной функции А (т), часто пользуются нормированной «орреллцколкой Кунка!пей (17.1.6) к где 0 = А„(0) — постоянная дисперсии стационарного процесса. Функция рх(т) есть ие что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом -.
по времени. Очевидно, что р (6)~=1. В качестве примеров рассмотрим два образца приблнзительно стационарных случайных процессов и построим их характеристики. Припер 1. Случайная функция Х(!) задана совокупностью 12 реализаций (рис. 17.1.5), а) Найти ее характеристики жх(!), Кк(Г Р) )>х(!) и 11 1) понятия о стлпионлвном слкчлинои пяоцвссв 423 нормированную корреляционную функцию г„(г, г'). б) приближенно рассматривая случайную функцию Х(г) как стационарную, найти ее характеристики. Решение.
Так как случайная функция Х(() меняется сравнительно плавно, можно брать сечения не очень часто, например через 0,4 сек. Тогда хй/ хб /// и/ йт Ф /// /// ,Ш я/ бд/ кбйт кебу бгб 4 (б /б 6 !б йб (б Рис. 173 ай случайная функция будет сведена к системе сема случайных величин, отвечающих сечениям ( =О; 04; 0,8; 1,2; 1,6; 2;О; 2,4. Намечая вти сеченнв на графине и сииман с графика значения случайной функцки в этих сечениях, получим таблицу (табл.
17.1.1). Таблица 171.1 тд 1,6 т,'з т, — 0,09 — 0,69 — 0,72 0,75 — 0,42 0,43 0,07 — 0,22 — 0,56 0,73 0,18 — 0,58 Таблицу рекомендуетсп заполнять во строчкам, переивигавсь все время вдоль одноа реялняянни. Лалее (находим оценки Пия кврактеристик случайнмх велнтнн Х (О), Х(0,4), ..., Х(2,4). Суиппрув значения по столбцам н деля сумму иа число 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 12 064 054 ' 0,34 0,23 0,12 — 0,16 0,18 0,74 0,37 0,50 0,26 0,20 — 0,12 — 0,29 0,13 — 0,40 — 0,79 ' , 0,62 0,06 0,37 0,35 0,24 — Оой — 0,38 — 0,70 — 0,68 0,75 Ол)8 — 0,56 6,59 — 0,32 0,26 0,55 0,18 0,05 — 0,24 — 0,62 0,84 0,16 — 0,39 0,35 — 0,60 — 0,52 0,69 — 0,20 0,29 — 0,06 — 6,43 — 0,68 0,78 0,12 — 0,42 — 0,39 — 6,67 0,42 0,80 — 0,46 0,63 — 0,16 0,29 0,71 0,33 стлпионлрнып слкчлпнып юкнкции !гл 1т реализаций л =12, найдем приближенно зависимость математического ожи- дания от времени: 0 0,4 ! о.о 2,0 1,6 2,4 , И вЂ” оооо ( — оооо о,ооо — 0,057 — 0,093 0,037- 0,036 12 1а 20 .
21 0,2 — О 0106 ! О 0642 — О 0648 0,0827 0,0229 0,0251 0,1527; 0,0982 0 0896 0,1910 0,1491 0,1322 0,2407 0,2348 О,! 71 ! 0,2691 0,2114 0.2878 ! ' 0,1632 0,0457 0,1621 0,2152 0,2207 О,!379 0,2385 0,0795 0,2029 0,2356 0 0,4 0,8 1,6 2,0 2,4 По главной диагонали таблицы стоят оценки дисперсий: 0 ~ 0,4 ) 0,8 ! 1,2 ~ 1,6 2,0 ~ 2,4 Вл(2) ! 0,1632 ! 0,2385 ) 0,2356 ~ 0,2207 ( 0,2407 0,2691 ~ 0,2878 ) Ц данном слу ищ оказалось возможным негюсредственно вести обработку через начальные моменты, так как математическое ожидание функции Х(2) близко к пул1О. Если зто не так, то перед обработкой необходимо перенести начало отсчета поближе к математическому ожиданию. На графике рис. 17.1.5 математическое ожидание показано жирной линией. Далее находим оценки для злементов корреляционной матрицы: дисперсий н корреляционных моментов. Вычисления удобнее всего производить по следующей схеме.
Для вычисления статистической днсперсии суммируются квадраты чисел, стоящих в соответствующем столбце; сумма делится иа и =!2; из результата вычитается квадрат соответствующего математического ожидания. Для получения несмещенной оценки результат множится на поправку и 12 — — Аналогично оцениваются корреляционные моменты. Для выл — 1 11' числения статистического момента, отвечающего двум заданным сечениям, перемножаются числа, стоящие з соответствующих столбцах; произведения складываются алгебраическн; колученная сумма делится иа л = 12! нз результата вычитается произведение соответствующих математических ожиданий; для получения несмещенной оценки корреляционного момента результат миол житса на —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
