Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Сравнивая формулу (17.4.13) и ранее выведенную (для действительной формы спектрального раз- у гла' ложения) формулу (17.3.2), мы видим, что они различаются лишь тем, что в фор-,лл',.' Ф;, ' муле (!7.4.13) стоит несколько иная функция спе- д ктральной плотности 8„(Ф), Рнс. ! 7.4.2. определенная не от 0 до от до Р зато г вдвое м~ пуп емн оодя н лта зпь Ес ли пзоб р злить оо е. фу и кцн и спектральной плотное гп на ') Заметим, что в ~лаве 13, рассматривая характернстпческге функция, мн уже встоечалчс.
с преобоазочзчкчык тако"о тнкл а именно: хаоактернстнческая функция н плотность вероятностя выражаются одна через другую с помощью преобразований Фурье. 444 стАционАРнь!е случАнные Функции !гл. 1т графике, они различаются только масштабом по осн ординат и тем, что функция Я (ю) для отрицательных частот не определена (рис.
17.4.2). На практике в качестве спектральной плотности применяются как та, так и другая функции. Иногда в качестве аргумента спектральной плотности рассматривают не круговую частоту (ю), а частоту' колебаний 7', выраженную в герцах: В этом случае подстановкой а=2кг' формула (17.4.!1) приводится к виду: л (т)= 2я / 5„(2яУ) е "~'г(У, или, вводя обозначение 6,(! ) = 2к8к(2кУ), (! 7.4.! 4) функция 0„(у) также может применяться как спектральная плотность дисперсии. Ее выражение через корреляционную функцию, очевидно, имеет вид: 0 Я ~ д (т)е-а;17 с(т (17 4 15) Все приведенные нами и некоторые другие применяемые на практике выражения спектральной плотности, очевидно, отличаются друг от друга т '1олько масшгабои.
Каждую нз ьнх можно нормировать, деля соответствующу1о фуисцию спектральной плотности на дио1ерсию случайной функции. !! Ркс. 17.4.3. и р и м е р 1. корреляционная функция случайной функции х (т) задана формулой: Л (т) = !7Е (17.4,16) где к > О (рис. 17.4.3). Пользуясь комплексной формой преобразования Фурье, определгиь спектральную плотность 3„(Ф). сиектРАлъное РАзлОжения в комплексной ФОРме 44О ! 7.4! Р е ш е н и е.
По формуле (17.4.12) находим: к —, / -гш» ° -а» -гаа 2 1,,1 аэ а~г 2«,/ о о — „+ш«" а+4Ш о Ва + а + !ш ( т.(ат + ша) о( 'в (а — 4 2а а — ош График спектральной плотности ° Ва к (и), (аа + ш 4) представлен на рнс. 17.4ой Посмотрим, как будут вести себя корреляционная функция и спектраль. ная плотность при изменении а.
При уменьшении а корреляционная функция будет убыяать медленнее; характер изменения случайной функции становится более плавным; соответственно в спектре случайной функции больший удельный вес приобретают малые частоты: кривая спектральной плотности вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков; в пределе прв а -» О случайная функции выродится в обычную случайную величину с дискретным с4юктром, состоящим из единственной линии с частотой шо = О. Прн увелпчении а корреляционная функция убывает быстрее, характер колебаний случайной функции становится более резким и беспорядочным; соответственно атому в спектре случайной функции преобладание ,о /г/ малых частот становится все / р ка 0 Рис.
17 4.4. Рис, 17.4.5. МЫЕЕ Шайажш4иым; прн а-»со снектр слУчайной функции пРпбл.скается к равномерному (так называемому «белому») спектру, в котором нет преобладания каких-лнбо частот. 446 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. И Пример 2. Нормированная корреляционная функция случайной функцни Х(/) имеет вид: рп(т) = е "!" совр« (рнс, 17.4Л), Определить нормированную спектральную цлотность.
Решение. Представляем р (т) в комплексной форме: !р« ,(т)= -"' ' +' ' Нормированную спектральную плотность з («!) находим по формуле (17.4.12), подставляя в нее рп(«) вместо й„(ч): Р Ш ! е-И« э(а)= — /е"'' + е! «/«па 2п,/ 2 р е «а 1 /' еа«(еш«+е-гр«)е-!«»гг/т+ е-а«(егр«+е-гр«)е-!«!«гт« 4п,/ — «о откуда после элементарных преобразований получаем: 1 ( а а Вид трафшш спектральной плотности зависит от соотыошения параметров а и й, т.
е, от тото, что преобладает в корреляционной функции; убывание ыо закону е !'! или колеба. /ы/ нне по эаноиу соя()т. Очевидно, ыри сравыитекьио малых а пре! ! ! обладает колебаыие, при срэв- 1 ннтельно больших а — убывз/ нне. В первом случае случайнзя функция близка к периодическкм колебаниям частоты р со ! случайной амплитудой н фазой; ! ! 1 г7 соответственно в спектре слу! чейной фюпцнн нрсо лсдсюг частоты, бяиэхне к чзстоте Р.
-7 е +Я М Во в~ором случае спектраль- ный состав случайной функции Рис. 174.6. более равномерев, преобладания тех ивн иных частот не наблюдается; в пределе при а »со спектр случайыой функции приближается к «бел!Оыу» спектру. В качестве иллюстрации на рнс. 17 46 изображены иормвровзнные 1) й = 2, а = 1 (кривая /); 2) Р = 2, а = 3 (кривая /7). Как видно иэ чсртсжа, при а = 1 спектр случайной функции обнаруживает ярко выраженный максимум в области частот а= жр.
При ар й (крнваз /7) спектральная плотность в эначительнон диапазоне частот остается по гги постоянной. гхз) ппиовалзовхнне стлцнонлгнон линаннон систвмон 447 17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой В главе 16 мы познакомились с общими правилами линейных преобразований случайных функций, представленных в виде канонических разложений. Эти правила сводятся к тому, что прн линейных преобразованиях случайных функций их математические ожидания и координатные функции подвергаются тем же линейным преобразованиям.
Таким образом, задача линейного преобразования случайной функции сводится к задаче такого же линейного преобразования нескольких неслучайных функций. В случае, когда речь идет о линейных преобразованиях стационарных случайных функций, задачу удается упростить еще больше.
Если н входное воздействие Х (1) и реакция системы Г(1) стационарны, аадачу преобразования случайной функции можно свести к преобразованию одной-единственной неслучайной функции †спектральной плотности 8 (и). Для того чтобы при стационарном возлействии реакция системы могла быть тоже стационарной. очевидно необходимо, чтобы парзметры системы (например, входящие в нее сопротивления, емкости, иидуктивности и т. п.) были постоянными, а не переменными.
Условимся называть линейную систему с постоянными параметрами стационарной линейной системой. Обычно работа стационарной линейной системы описывается линейными дифференциальными а)гl г10 УРавнениЯми с постоамнымм коэфз и 1 ! фкциентами. ~' ~.,/ Рассмотрим задачу о преоб- ю~„, заГг) разовании стационарной случай- — ьной функцяв стационзрнюй линей- Рис. 1 7.5.1. ноя системой. Пусть на вход линейной системы Е иоступает стационарная случайная функция Х (1); еа~:„,и. с. степы есть ст: ча11ная гйтпкзия У(1) оис, (1т.5.11. Ггззес'чы характеристики случайной функции Х (1): математическое ожидание яг, и корреляционная функшез (е, (т). Требуется опрелелить характеристики случайной функции У(г) на выходе линейной системы. Так как для решения задачи нам придется преобразовывать неслучайные функции †математическ ожидание н координатные функ- системы Е на неслучайное воздействие х(1). Напишем в операторной форме линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, связывающее реакцию 448 (гл..
ж СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ФУНКЦИИ системы у(1) с воздействием х(1): (а„р" +ил 1р" '+ ... +а,р+а„)у(1) = =(Ьмр" +Ь,р '+ ... +Ь,р+Ье)х(1), (17.5.1) д где р = — — — оператор дифференцирования. аг Уравнение (17.5.1) короче можно записать в аиде: А„(р)у(г)=В (р)х(1). (17.5.2) или, наконец, условно разрешая уравнение (17 5.2) относительно у ®, записать оператор системы в «явном» виде: у(1) — х(1). Ал (р) (17.5.3) Реакцию системы 7. на воздействие х(Г) можно найти путем ре.
шения 'линейного дифференциального уравнения (17.5.!). Как известно иа теории дифференциальных уравнений, это решение состоит из двух слагаемых'. у,(1) и уц(1). Слагаемое уц(1) представляет собой решение уравнения без правой части и определяет так называемые свободные или собственные колебания системы. Это — колебания, совершаемые системой при отсутствии входного воздействия, если система в начальный момент как-то была выведена из состояния равновесия.
На практике чаше всего встречаются так называемые устоачиеые сиеглемгы; в этих системах свободные колебания с течением времени затухают. Если ограничиться рассмотрением участков времени, достаточно удаленных от начала процесса, когда все переходные процессы в системе мои~но считать законченными, и система работает в установившемся режиме, можно отбросить второе слагаемое уц(1) и ограничиться рассмотрением только первого слагаемого у,(1). Это первое слагаемое определяет так называемые вынужденные колебания системы под влиянием воздействия на нее заданной функции х(1).
В случае, когда воздействие х (1) представляет собой достаточно простую ана.итнческую функцию, часто удастся найти реакцию системы также в виде простой аналитической функции, В частности, когда воздействие представляет собой гармоническое колебание определенной частоты, система отвечает на него также гармоническим колебанием той же частоты, но измененным по амплитуде н фазе. Так как коорлинатные функции спектрального разложения стационарной случайной функции Х(1) представляют собой гармонические колебания.
то нам прежде всего необхолиио нзучнтьсч определять реакцию системы на гармоническое колебание ваданной частоты Ф. Эта задача решается очень просто, особенно если гармоническое колебание представлено в комплексной форме. 116] пРБОБРАВОВАние стлциОнАРИОЙ линейнОЙ системОи 449 Пусть на вход системы поступает гармоническое колебание вида: х (1) = е'"". (1 7.5.4) Будем искать реакцию системы у(1) также в виде гармонического колебания частоты а, но умноженного на некоторый комплексный множитель Ф (1а)1 у(1) = Ф (1а) е'"'. (17.5.5) Множитель Ф(1а) найдем следующим образом. Подставим функ- цию (17.5.4) в правую, а функцию (17.5.5) в левую часть уравнения (17.5.1). Получим: ,гл йл-1 а — [Ф(1а) е'"11.+а [Ф(1а) е'"']+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
