Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 76
Текст из файла (страница 76)
л л л-1 игл-1 ... + а, — „[Ф(1а) е'"']+ аз[Ф(1а) е]"'] = иа йа-1 и е1о] +Ь е]че + +Ь егчн+Ь е]ог (17 5 б) а — о Имея в виду, что при любом Ь йгл — е = (1а) е "1, — [Ф (1а) е]"1] = (1а) е™Ф(1а), йгг и деля обе части уравнения (17.5.6) на е'"', получим: Ф (1а) ]ал (1а)" + ал, (1а)л ' + ... + а, (1а) -+ ао] =Ь (101)а+Ь,(1а)а + ... +Ь, (1а)+Ьа (17.5.7) Мы видим, что множитель при Ф(1а) представляет собой не что иное, как многочлен Ал(р)=перл+а„,рл-'+ ...
-+а,р+ао. в который вместо оператора дифференцирования р подставлено (1а); аналогично правая часть равенства (17.5.7) есть не что иное, как В (1а). Уравнение (17.5.7) можно записать в виде: Ф(1а) Ал(1а)=Ва(1а), откуда Вт (1а) Ф(1а)ал А ( ) .
Функция Ф (га) НОСИТ СПЕцИаЛЬнОе Название частО1ПНОй ХараКлгЕ- ристики линейной системы. Для определения частотной характеристики достаточно в оператор системы, записанный в явной форме (17.5.3), вместо оператора дифференцирования р подставить 1а. Таким образом, если на вход линейной системы с постоянмими параметрами постугает гармоническое гсолебанае нида е'л', то реакция системы представляется е епде того оке гармонического колебания, умногкенного на чистотную характеристику системы Ф(1а).
Пусть на вход системы поступает воздействие вида х(1) =(1е]"1. (17.5.9) 29 Р. С. Веотлель 450 стАционАРные случАйные Функции 1гл гг откуда получаем математическое ожидание на выходе системы: лгу лгл' (17.5.12) аа Перейдем к преобразованию линейной системой существенно случайной части функции Х (1), а именно функции Х (1) = Х (г) — гв„. (17.5.13) Для этого представим функцию Х(7) на участке (О, 7) в виде спектрального разложения: Х(7)= Х (7 а (17.5.14) где (7а — некоррелированные случайные величины, дисперсии которых образуют спектр случайной функции Х(1). Рассмотрим отдельное слагаемое этой суммы: Хь(Г) = ('аз Реакция системы на это воздействие будет иметь вил: У.
(() =(7, Ф('Ф,) а'-" Согласно принципу суперпозиция реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на отдсльнью воздействия. Следовательно, реакшно системы на воздействие (17.5,14) можно предсгавить в виде спектрального разложению )'(г) = 2, ил Ф (1Ф ) е' "»'. (17.5.16) где (7 — некоторая величина, не зависящая от 1. В силу линейности системы величина (7 выходит за знак оператора, и реакция системы на воздействие (17.5.9) будет равна: у(()= УФ(гм)е' '.
(17 5.10) Очевидно, это свойство сохранится н в том случае, когда величина (7 будет случайной (лишь бы она не зависела от 1). Применим изложенные приемы преобразования гармонических колебаний линейной системой к математическому ожиданию случайной функции Х(1) и координатным функциям ее спектрального разложения.
Представим математическое ожидание ш стационарной случайной функции Х(7) как гармоническое колебание нулевой частоты в=0 и положим в формуле (17.5.8) о=О: Ф(О) =— в,„(о) а (17.5.11) А„(о) ао ы 51 позови зованив стлционлвнон лннвпнои смствмон 451 илн, обозначая УьФ(йоь)=[ь'в, у(г)= ~в В'ье где Вгь — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю. Определим спектр этого разложения. Для этого найдем дисперсию комплексной случайной величины [е'ь в разложении (17.5.17).
Имея в виду, что дисперсия комплексной случайной величины равна иатематическому ожиданию квадрата ее модуля, имеем; Е>[Ю [=Л4 [[У Ф(1а )[а[=А[ [[У [т[Ф([ш )['[= =[Ф(сыь)[ М[[(Уь[е[=[Ф(сыь)[впь. (17.5.15) Мы приходим к следующему выводу: при преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой каждая из ординат ее спектра умножается на квадрат модуля частотной характеристики системы для соотеетствуюгцей частоты. Таким образом, при прохождении стационарной случайной функции через линейную стационарную систему ее спектр определенным образом перестраивается: некоторые частоты усиливаются, некоторые, напротив, ослабляются (фильтруются). Квадрат модуля частотной характеристики (в зависимости от ыь) и 'показывает, как реагирует система на колебания той или иной частоты, Аналогично тому, как это делалось раньше, перейдем в спектральном представлении случайной функции к пределу при Т-ьсо и от дискретного спектра — к спектральной плотности.
Очевидно, спектральная плотность на выходе линейной системы получается из спектральной плотности на входе тем же умножением на [Ф (1ы)[а, как и ординаты дискретного спектра; Я (ы) , [ Ф (г„)[2 Я (м) (17.5.19) Таким образом, получено весьма простое правило: При преобразовании стационарной случайной функции стаиионарной линейной системой ее спектральная плотность умножается на квадрат модуля частотнои характеристики састемы.
Пользуясь этим правилом, мы легко можем решить поставленную выше задачу: по характеристикам случайной функции на входе линейной системы найти характеристики случайной функции иа ее выходе. Пусть на вход стационарной линейной систсмга с операаороч (17.5.3) посвупает стационарная случайная функция Л (г) с математическим ожиданием т„и корреляционной функцией й (ч).
Требуется п.яги матсме:нческое ожи апис т., п корреляционную функцию й„(ч) в случайной функции У(г) на выходе системы. 452 стлциоиляиые слзчлииые етнкции !гл и Задачу будем решать в следующем порядке. 1, Находим математическое ожидание на выходе: ьО лг = — гл а, (17.5.20) (17 5.2!) 3. По формуле (17.5.8) находим частотную характеристику системы н квадрат ее модуля: !ф( М = —,—.—,.'. !В,з(Гм) ! !Ал()м) !з (17.5,22) 4. Умножая спектральную платность на входе на квадрат модуля частотной характеристики, находим спектральную плотность нз выходе: Я (и) = ~Ф((гз)~'8 (и). (1 7.5.23) 5. По спектральной плотности 5„(м) находим корреляционную функцию )г (т) на выходе системы: й (т) = ( Я„(~)е'"'И~.
т Таким образом, поставленная задача решена. Во многих задачах практики нас интересует не вся корреляциоьшая функция (г„(т) на выходе системы, а только дисперсия В . разная О =й (О). Тогда из формулы (!7.5.24) получаем при .=0 гораздо более простую формулу: Е) = ) 5 (м)г)м, или, учитывая четность функции 5„(гз), О =2 ~ о (а)г(а. (17.5.2о) з ') Ллз простоты запасы мы здесь опускаем знак з в обозначения спектральной плотности. 2. По корреляционной функции й (т) находим спектральную плотность на входе (см.
формулу (!7.4,12)): о (и)= — — / Й„(т) е '"'Фт'). 1 Р гт 21 ппеОЕРАЗОЕАние стлционАРнои динеинои системои 453 П р и и е р. Работа линейной динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка: (ак р+ аз) у (г) = (Ь,р+ Ьо) -" (т) (17.5.26) или у (г) = — — — х(г). Ь! р+ Ьо ,р+а Нз вход системы поступает стационарная случайная функция Х(Г) с математическим ожиданием га и корреляционной функцией Ь к (т) = о~х е (17.о.27) где а — положительный коэффициент (см.
пример 1 и' 17.4). Найти математическое ожидание га и дисперсию 17 на выходе системы'). Решение. По формуле (17.5.20) имеем: Ь яг = — игх. ао Очевидно, величина аг ие зависит от параметра и, растет при возрастзиии Ь, и убывает при возрастании а,, Спектральную плотность на входе определяем как в примере 1 и' 17.42 оо( ) = ~ / Ьх(т) е '""г(т = (см. рис. 17.4.4).
По формуле (17.5.8) находим частотную характеристику системы: ;Ь( ) ЬПР+Ьо а~1~+ ао и квадрат ее модуля: ~агй +Ьо! Ьга +Ьо ) Ф ((н) / 2 = !. 1-+ае~' 4-'+ 3' Затем определяем спектральную плотность на выходе системы: 1 + 0 Зу (м) =! Ф ((н) ~ Яо (ю) =— У о 1(злее по Формуле (17.5.25) определяем дисперсию на выходе: У / 22+22(2 ) Выбирая для корреляцкоииой функции случайной функции Х(2) выражение типа (17.5.27), широко прнь связное па пРактнке вниду его простопе, необходимо иметь в виду следующее. Строго говоря, случайная функция Х(Г), имеющая корреляционную функцию такого вида, педифференцируема, и, следовательно, для нее нельзя писать дифференциальные уравнения в обычном с»ысле слова.
Эзо загруднение можно обойти, если рассматривать выражение (17.5.27) для корреляционной функции только как приближенное. 454 СТАЦИОНАРНЫВ СЛУЧАННЫВ ФУНКЦИИ (гл. 17 Для вычисления интеграла разложим подыитегральное выражение на простые дроби: «г-'-(-Ьй Л В вЂ” + г г+ г г+ г г+ г г г+ г и определим коэффициенты: агЬ вЂ” а Ь ,4 = а а а — ао го ) Ь а — Ьо г г г а аг — ао 1 После интегрирования получим: а,Ьо + аозга г г 7) =В аоаг (аг~+ ао) В ааключение данного и' упомянем о том, как преобразуется линейной системой стационарная случайная функция, содержащая в качестве слагаемого обычную случайную величину:" х,(!)=и„+х(!), (17.5.28) где (7о — случайная величина с дисперсией с)о, Х (!) — стационарная случайная функция. Реакция системы на воздействие Х,(Г) найдется как сумма реакций на отдельные воздействия в правой части (17.5.28).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
